浙江省绍兴市2010年高三数学高考复习优质教案：含参不等式恒成立问题 新人教版

用心 爱心 专心 高三专题复习 含参不等式恒成立问题的求解策略 教学目标 知识与技能 理解有关恒成立问题成立的充要条件 并掌握解决此类问题的基本技能 过程与方法 培养分析 解决问题的能力 体验函数思想 分类讨论思想 数形结合思想 转化与化归思 想 情感 态度与价值观 通过对问题的探究 理解事物间普遍联系与辩证统一观点 体验成功的喜悦 教学重点与难点 重点 理解解决恒成立问题的实质 有效掌握恒成立问题的基本技能 难点 利用转化思想 通过函数的性质与图像化归至最值问题来处理恒成立问题 教学方法 诱导探究法 教学手段 多媒体辅助教学 教学过程 例题 1 已知不等式对恒成立 其中 求实数的取值范围 012 2 axx 2 1 x0 aa 分析 思路 1 通过化归最值 直接求函数的最小值解决 即 12 2 axxxf0 min xf 思路 2 通过分离变量 转化到解决 即 1 2 1 2 1 2 x x x x a min 2 2 1 x x a 思路 3 通过数形结合 化归到作图解决 即图像在图像的上方 axx21 2 1 2 xyaxy2 简解 思路 1 按对称轴与区间的关系分类讨论 当时 ax 2 1 10 a 当时 此时不存在 022 1 min afxf10 a21 a01 2 min aafxfa 当时 此时亦不存在 综上所述 的取值范围是 2 a045 2 min afxfaa10 a 思路 2 得 1 2 1 2 1 012 2 2 x x x x aaxx 2 1 x10 a 思路 3 图略 思考 该如何处理 012 2 axx 012 3 axx012ln axx 小结 解决恒成立问题的实质是合理转化到函数 通过函数性质 最值 或图像进行求解 设计意图 从简单问题入手 让学生自己归纳与分析解题思路 最后提炼解决此问题的实质是解决 函数的最值问题 例题 2 已知函数 其中 12 2 axxxf x a xg 0 a0 x 1 对任意 都有恒成立 求实数的取值范围 2 1 x xgxf a 2 对任意 都有恒成立 求实数的取值范围 4 2 2 1 21 xx 21 xgxf a 分析 1 思路 等价转化为函数恒成立 在通过分离变量 创设新函数求最值解决 0 xgxf 2 思路 对在不同区间内的两个函数和分别求最值 即只需满足即 xf xg maxmin xgxf 用心 爱心 专心 可 简解 1 由成立 只需满足的最小值大于即可 12 012 2 3 2 x xx a x a axx 12 2 3 x xx x a 对求导 故在是增函数 12 2 3 x xx x 0 12 12 22 24 x xx x x 2 1 x 3 2 1 min x 所以的取值范围是 2 略 a 3 2 0 a 例题 3 设函数 对任意 都有在恒成立 求实数的取值bx x a xh 2 2 1 a10 xh 1 4 1 xb 范围 分析 思路 解决双参数问题一般是先解决一个参数 再处理另一个参数 以本题为例 实质还是通过函数 求最值解决 方法 1 化归最值 10 10 max xhxh 方法 2 变量分离 或 10 x x a b xbxa 10 2 方法 3 变更主元 010 1 bxa x a 2 2 1 a 简解 方法 1 对求导 bx x a bxxgxh 22 1 x axax x a xh 得 极小值点 极大值点 故增 减 减 ax ax a 0 a 0 a 增 a 由此可知 在上的最大值为与中的较大者 xh 1 4 1 4 1 h 1 h 对于任意 得的取值范围是 ab ab ba ba h h 9 4 4 39 101 10 4 1 4 10 1 10 4 1 2 2 1 ab 4 7 b 方法 2 3 略 设计意图 通过变式 逐步增加思考难度 例 2 是两个函数间的恒成立问题 例 3 是有关双参数的 恒成立问题 再次让学生懂得解决此类问题的实质是解决函数最值问题和让学生体会转化到利用 函数思想求解的重要性 思考 2010 年绍兴市一模数学试卷理第 17 题改编 在区间上满足不等式恒成立 求实数 的取值范围 1t t 1 13 3 xxt 分析 利用数形结合思想 对函数作图 13 3 xxxf 图解 设计意图 通过对一模试卷第 17 题的改编 补充了有关区间变动所引起的恒成立问题 让学生重 视解决这类问题 体现其考查的价值与意义 13 3 xxy 1 y y xO 133 2 1 用心 爱心 专心 课堂小结 通过今天这堂复习课 我们再次领略了解决恒成立问题的