2012高考数学总复习 40椭圆练习 新人教版

用心 爱心 专心 1 第四十讲第四十讲 椭圆椭圆 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后的 括号内 1 精选考题 天门 设P是椭圆 1 上一动点 F1 F2是椭圆的两个焦点 则 x2 9 y2 4 cos F1PF2的最小值是 A B 1 2 1 9 C D 1 9 5 9 解析 设 PF1 m PF2 n 由题意m n 6 c 则 cos F1PF2 1 1 5 m2 n2 2c 2 2mn m n 2 4c2 2mn 2mn 4b2 2mn 2 4 m n 2 2 1 9 答案 C 2 精选考题 新创题 定义 离心率e 的椭圆为 黄金椭圆 已知椭圆 5 1 2 E 1 a b 0 的一个焦点为F c 0 c 0 P为椭圆E上的任意一点 若a b c不 x2 a2 y2 b2 是等比数列 则 A E是 黄金椭圆 B E一定不是 黄金椭圆 C E不一定是 黄金椭圆 D 可能不是 黄金椭圆 解析 假设E为黄金椭圆 则e c a 5 1 2 用心 爱心 专心 2 即c a 5 1 2 b2 a2 c2 a2 2 a2 ac 5 1 2 即a b c成等比数列 与已知矛盾 故椭圆E一定不是 黄金椭圆 答案 B 3 精选考题 长沙模拟 已知F1 F2分别为椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点 x2 a2 y2 b2 过F1且垂直于x轴的直线交椭圆C于A B两点 若 ABF2为钝角三角形 则椭圆C的离心 率e的取值范围为 A 0 1 B 0 1 23 C 1 1 D 1 1 23 解析 由 ABF2为钝角三角形 得AF1 F1F2 2c 化简得 b2 a c2 2ac a2 0 e2 2e 1 0 又 0 e 1 解得 0 eb 0 x2 a2 y2 b2 用心 爱心 专心 3 令x c得y2 PF1 b4 a2 b2 a PF1 OB2 b2 a b b a 又由 F1B2 2 OF1 B1B2 得a2 2bc a4 4b2 a2 b2 a2 2b2 2 0 a2 2b2 b a 2 2 答案 B 5 椭圆M 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 P为椭圆M上任一点 且 x2 a2 y2 b2 最大值的取值范围是 其中c 则椭圆M的离心率e的取值范 12 PF PF A c2 3c2 a2 b2 围是 A B 1 4 1 2 1 2 2 2 C D 2 2 1 1 2 1 解析 设与的夹角为 由于 12 PFPF 与 PF2 12 PF PF A cos 的夹角为 0 时取 12 PFPF 12 PFPF 12 PFPF 与 所以的最大值为 a c a c 12 PF PF A 因此c2 a2 c2 3c2 所以e2 1 e2 3e2 又e 0 1 所以e 故选 B 1 2 2 2 答案 B 6 设椭圆 1 a b 0 的离心率为e 右焦点为F c 0 方程ax2 bx c 0 x2 a2 y2 b2 1 2 的两个实根分别为x1和x2 则点P x1 x2 A 必在圆x2 y2 2 内 用心 爱心 专心 4 B 必在圆x2 y2 2 上 C 必在圆x2 y2 2 外 D 以上三种情形都有可能 解析 x1 x2 x1 x2 b a c a x x x1 x2 2 2x1 x2 2 12 2 b2 a2 2c a b2 2ac a2 e c a c a 1 2 1 2 b2 a2 c2 a2 2 a2 3 4 x x b 0 的左 右焦点分别为F1 c 0 F2 c 0 若椭圆上存在 x2 a2 y2 b2 点P使 则该椭圆的离心率的取值范围为 a sin PF1F2 c sin PF2F1 解析 e 1 c a sin PF2F1 sin PF1F2 PF1 PF2 2a PF2 PF2 2a PF2 用心 爱心 专心 5 PF2 1 2a PF2 2a a c 即e 1 e2 2e 1 0 2 1 e 又 0 e 1 1 eb 0 的离心率为 短轴一个端点到右焦点的距离为 x2 a2 y2 b2 6 33 1 求椭圆C的方程 2 设直线l与椭圆C交于A B两点 坐标原点O到直线l的距离为 求 AOB面积 3 2 的最大值 解 1 设椭圆的半焦距为c 依题意 6 3 3 c a a b 1 所求椭圆方程为 y2 1 x2 3 2 设A x1 y1 B x2 y2 当AB x轴时 AB 3 当AB与x轴不垂直时 设直线AB的方程为y kx m 由已知 得 m 1 k2 3 2 m2 k2 1 把y kx m代入椭圆方程 整理得 3 4 3k2 1 x2 6kmx 3m2 3 0 x1 x2 x1x2 6km 3k2 1 3 m2 1 3k2 1 AB 2 1 k2 x2 x1 2 1 k2 36k2m2 3k2 1 2 12 m2 1 3k2 1 12 k2 1 3k2 1 m2 3k2 1 2 3 k2 1 9k2 1 3k2 1 2 3 3 k 0 12k2 9k4 6k2 1 12 9k2 1 k2 6 3 4 12 2 3 6 用心 爱心 专心 7 当且仅当 9k2 即k 时等号成立 AB 2 1 k2 3 3 当k 0 时 AB 3 综上所述 AB max 2 当 AB 最大时 AOB面积取最大值 S AB max 1 2 3 2 3 2 点评 一般地 在涉及直线与曲线交点的问题时 先设出交点的坐标 再由方程组转化 的一元二次方程中 利用根与系数的关系转化为待求的系数方程 像这种设交点坐标但不具 体求出的方法称为 设而不求 12 如图 已知 A B C 是长轴为 4 的椭圆上三点 点 A 是长轴的一个顶点 BC 过椭圆 中心 O 且0 2 AC BCBCAC A 1 建立适当的坐标系 求椭圆方程 2 如果椭圆上两点 P Q 使直线 CP CQ 与 x 轴围成底边在 x 轴上的等腰三角形 是否 总存在实数 使 请给出证明 PQAB 解 1 以 O 为原点 OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系 则 A 2 0 椭 圆方程可设为 1 0 bb 0 的左 右两个焦点 x2 a2 y2 b2 1 若椭圆 C 上的点 A 1 到 F1 F2两点的距离之和等于 4 写出椭圆 C 的方程和焦点 3 2 坐标 2 设点 K 是 1 中所得椭圆上的动点 求线段 F1K 的中点的轨迹方程 3 若 M N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点 点 P 是椭圆上任意一点 当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为 kPM kPN时 用心 爱心 专心 9 求证 kPM kPN是与点 P 位置无关的定值 解 1 椭圆 C 的焦点在 x 轴上 由椭圆上的点 A 到 F1 F2两点的距离之和是 4 得 2a 4 即 a 2 又点 A在椭圆上 因此 1 得 b2 3 1 22 3 2 2 b2 于是 c2 1 所以椭圆 C 的方程为 1 x2 4 y2 3 焦点 F1 1 0 F2 1 0 2 设椭圆 C 上的动点为 K x1 y1 线段 F1K 的中点 Q x y 满足 x y 1 x1 2 y1 2 即 x1 2x 1 y1 2y 因此 1 2x 1 2 4 2y 2 3 即 2 1 为所求的轨迹方程 4y2 3 3 设点 M m n 是椭圆 1 x2 a2 y2 b2 上的任一点 N m n 是 M 关于原点的中心对称点 则 1 m2 a2 n2 b2 又设 P x y 是椭