湖南南县一中2011届高三数学一轮复习 7.1数列的概念学案

用心 爱心 专心 7 17 1 数列的概念数列的概念 一 学习目标 一 学习目标 理解数列的概念 了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法 并能 根据递推公式写出数列的前几项 理解 n a与 n S的关系 培养观察能力和化归能力 二 自主学习 二 自主学习 课前检测课前检测 1 数列 2 则 2是该数列的 B 2525 A 第 6 项 B 第 7 项 C 第 10 项 D 第 11 项 2 已知 1 1 1 1 1 2 n n aan a 则 5 a 8 5 3 在数列 n a中 1 1 n a nn 且9 n S 则n 99 考点梳理考点梳理 1 在数列 an 中 前 n 项和 Sn与通项 an的关系为 Nn 2 1 1 11 nSS nSa a nn n 数列 n a的前 n 项的和为 12nn saaa 2 求数列的通项公式的方法 未完 待续 未完 待续 方法方法 1 1 观察归纳法 观察归纳法 先观察哪些因素随项数 n 的变化而变化 哪些因素不变 初步归纳 出公式 再取 n 的特珠值进行检验 最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明 方法方法 2 2 由由 a an n与与 S Sn n的关系求通项公式 的关系求通项公式 方法方法 3 3 归纳 猜想 证明法 有的数列求出通项公式时 常先由递推公式算出前几项 发现规律 归纳 猜想出通项公式再加以证明 方法方法 4 4 递推关系法 先观察数列相邻项间的递推关系 将它们一般化 得到的数列普遍 的递推关系 再通过代数方法由递推关系求出通项公式 3 数列与函数的关系 研究数列可联系函数的相关知识 如数列的表示法 列表法 图象法 公式法等 数 列的分类 有限和无穷 有界无界 单调或摆动等 应注意用函数的观点分析问题 1 判定数列 an 的单调性考查的是an 1与an的大小关系 2 待定系数法 解读 解读 1 比差法或比商法 2 使用待定系数法的一般步骤是 确定所求问题含待定系数的解析式 2 根 据恒等条件 列出一组含待定系数的方程 3 解方程 组 使问题得到解决 三 合作探究 三 合作探究 题型题型 1 1 归纳 从特殊到一般 归纳 从特殊到一般 猜想 证明的思想方法 猜想 证明的思想方法 科学研究的思维方法科学研究的思维方法 例例 1 1 已知数列中求数列的通项公式 解法解法 1 1 由得 猜想 猜想 再由数学归纳法进行证明 等式成立 假设时等式成立 即 用心 爱心 专心 那么 即时等式也成立 综合 对任意都有成立 解法解法 2 2 变式训练变式训练 1 1 已知数列 n a 中 1 a 1 nn a n n a 1 1 1 写出数列的前 5 项 2 猜想数列的通 项公式并用数学归纳法证明你的猜想 答案 答案 1 略 2 n 1 an 证明略 小结与拓展 小结与拓展 有的数列用一般方法不易求出通项公式 常先由递推公式算出前几项 发现规 律 归纳 猜想出通项公式再加以证明 归纳 猜想 证明 的思想方法是通过观察 尝试 探索规律 从而对命题的结论予以猜测 然后再用数学归纳法证明 归纳猜想是探索 发现真理的重要手段 题型题型 2 2 周期数列周期数列 例例 2 2 数列 an 中 a1 3 an anan 1 1 n 1 2 An表示数列 an 的前 n 项之积 则 求 A2005 解 解 可求出 a1 3 a2 a3 a4 3 a5 a6 数列 an 每 3 项重复一次 2 3 1 2 2 3 1 2 可以理解为周期数列 由 2005 668 3 1 且 a1 a2 a3 1 则 A2005 a1 a2 a3 a2002 a2003 a2004 a2005 a1 a2 a3 668a1 3 变式训练变式训练 1 1 在数列 an 中 a1 1 a2 5 an 2 an 1 an n N 则 a1000 D A 5 B 5 C 1 D 1 解 解 由 a1 1 a2 5 an 2 an 1 an n N 可得该数列为 1 5 4 1 5 4 1 5 4 此数列为周期数列 由此可得 a1000 1 小结与拓展 小结与拓展 1 1 周期数列是无穷数列 其值域是有限集 2 周期数列必有最小正周期 这一点与周期函数不同 题型题型 3 3 数列与函数 方程的融合数列与函数 方程的融合 单调性等单调性等 例例 3 3 已知函数 xf 2x 2 x 数列 an 满足 log2 n af 2n 求数列 an 通项公式 解 解 naf n a n a n 222 log 2 log 2 log 2 n a a n n 2 1 得nnan 1 2 变式训练变式训练 3 3 已知数列 an 的通项公式是 an 其中 a b 均为正常数 那么 an与 na n 1 b an 1的大小关系是 B A an an 1 B an an 1 C an an 1 D 与 n 的取值有关 解 解 1 an 1 0 an an 1 an an 1 na n 1 b n 1 a n 2 b n n 2 n 1 2 n2 2n n2 2n 1 用心 爱心 专心 变式训练变式训练 4 4 待定系数法 待定系数法 已知数列 n a 满足 1 a 1 1n a c n a b 且 2 a 3 4 a 15 求常 数 b c 的值 答案 答案 b c 分别为 6 3 或 1 2 小结与拓展 小结与拓展 把 an看成关于 n 的函数 其图象是离散的点 可用研究函数的方法研究数列 数列 也具有它的定义域 值域 单调性与周期性等 同样 Sn 也是这样 四 课堂总结 以学生为主 师生共同完成 四 课堂总结 以学生为主 师生共同完成 1 递推关系包含两种 一种是项和项之间的关系 另一种是项和前n项和Sn之间的关系 要 用转化的数学思想方法 转化是数学中最基本 最常用的解题策略 Sn和an的转化 可给出 数列 问题总是在一步步的转化过程中得到解决 在运用转化的方法时 一定要围绕转化目 标转化 2 重视函数与数列的联系 重视方程思想在数列中的应用 五 检测巩固 五 检测巩固 1 求下面各数列的一个通项 14916 1 2 4 5 78 10 11 13 2 数列的前n项的和 2 21 n Snn 3 数列 n a的前n项和rraS nn 1 为不等于0 1的常数 解 1 2 1 31 31 n n n a nn 2 当1n 时 11 4aS 当2n 时 1nnn aSS 41n 显然 1 a 不适合 41 n an 4 1 41 2 n n a nn 3 由 nn raS 1可得当2 n时 11 1 nn raS 11 nnnn aarSS 1nnn arara 1 1 nn a rra 1 r 1 1 r r a a n n 0r n a是公比为 1 r r 的等比数列 又当1 n时 11 1raS r a 1 1 1 1 1 11 n n r a r r 2 根据下面各个数列 n a的首项和递推关系 求其通项公式 1 11 1 n aa 2 Nnnan 2 11 1 n aa 1 n n Nnan 用心 爱心 专心 3 11 1 n aa1 2 1 n a Nn 解 1 naa nn 2 1 1 2 nn aan 121321 nnn aaaaaaaa 12 12 22 1 n 2 1 1 1nnnn 2 1 1 n n a a n n 32 1 121 n n n aaa aa aaa 1 211 1 2 3 n nn 又解 由题意 nn naan 1 1 对一切自然数n成立 11 1 11 nn nanaa 1 n a n 3 2 2 2 1 21 2 1 11 nnnnn aaaaa 是首项为12 1 a 公比为 2 1 的等比数列 11 11 21 2 22 nn nn aa 说明 1 本例复习求通项公式的几种方法 迭加法 迭乘法 构造法 2 若数列 n a满足 n a 1n paq 则数列 1 n q a p 是公比为p的等比数列 3 设 n a是正数组成的数列 其前n项和为 n S 并且对所有自然数n n a与2的 等差中项等于 n S与2的等比中项 1 写出数列 n a的前三项 2 求数列 n a的通项公式 写出推证过程 3 令 1 1 1 2 nn n nn aa b aa nN 求 123n bbbbn 解 1 由题意 2 2 2 n n a S 0 n a 令1n 1 1 2 2 2 a a 解得 1 2a 令2n 2 12 2 2 2 a aa 解得 2 6a 令3n 3 123 2 2 2 a aaa 解得 3 10a 该数列的前三项为2 6 10 2 2 2 2 n n a S 2 1 2 8 nn Sa 由此 2 11 1 2 8 nn Sa 用心 爱心 专心 22 111 1 2 2 8 nnnnn aSSaa 整理得 11 4