2011高考数学萃取精华试题（16）新人教A版

20112011 高考数学萃取精华高考数学萃取精华 3030 套 套 1616 1 广州市第八十三二模广州市第八十三二模 19 本题满分 14 分 从社会效益和经济效益出发 某地投入资金进行生态环境建设 并以此发展旅游产业 打算 本年度投入 800 万元 以后每年投入将比上年平均减少20 本年度旅游收入为 400 万元 由于该项建设对旅游的促进作用 预计今后的旅游业收入每年会比上年平均增加25 设第n年 本年度为第一年 的投入为 n a万元 旅游业收入为 n b万元 写出 n a n b的表达式 至少经过几年旅游业的总收入超过总投入 19 理 同解法一 19 解 依题意每年投入构成首项为 800 万元 公比为 4 5 的等比数列 每年旅游业收入组织首项为 400 万元 公比为 5 4 的等比数列 2 分 所以 11 45 800 400 54 nn nn ab 4 分 解 经过n年 总收投入 4 800 1 4 5 4000 1 4 5 1 5 n n n s 5 分 经过n年 总收入 5 400 1 5 4 1600 1 5 4 1 4 n n n T 6 分 设经过n年 总收入超过总投入 由此 0 nn TS 5 1600 1 4 n 4 4000 1 5 n 0 化简得 45 5 2 70 54 nn 8 分 设 4 5 n x 代入上式整理得 2 5720 xx 解得 2 5 x 或1x 舍去 10 分 由 42 55 n 4n 时 4 5 n 256 625 2 5 5n 4 5 n 10242 31255 12 分 因为 4 5 x y 在定义域上是减函数 所以 5n 13 分 答 至少经过 5 年旅游业的总收入超过总投入 14 分 20 本小题满分 14 分 O y X H Q P 0 2 GR N M D C B A O y X 设圆Q过点 P 0 2 且在x轴上截得的弦 RG 的长为 4 求圆心Q的轨迹 E 的方程 过点F 作轨迹E的两条互相垂直的弦AB CD 设AB CD 的中点 分别为M N 试判断直线MN是否过定点 并说明理由 20 解 1 设圆心Q的坐标为 x y 如图过圆心Q作QHx 轴于 H 则 H 为 RG 的中点 在Rt RHQ 中 222 QRQHRH 2 分 2QRQP RH 222 2 4xyy 即 2 4xy 6 分 2 设 BBAA yxByxA NNMM yxNyxM 直线 AB 的方程为1ykx 则 2 4 AA xy 2 4 BB xy 由 得 4 4 AB AB AB yy xxk xx 2 M xk 点 MM M xy在直线1ykx 上 2 121 MM ykxk 点 的坐标为 2 2 21 kk 10 分 同理可得 4 CD xx k 2 N x k 2 12 11 NN yx kk 点N的坐标为 2 22 1 k k 12 分 直线MN的斜率为 2 2 2 1 1 1 MN MN MN k yyk k k xxk k k 其方程为 2 2 1 21 2 k ykxk k 整理得 2 3 1 k ykx 显然 不论k为何值 点 0 3 均满足方程 直线MN恒过定点 0 3 14 分 21 本小题满分 14 分 已知函数 2 1 ln1 2 f xxx 1 试证明 0 1 2 x 使得 0 0f x 2 已知不等式 f xm 0 对 0 xe e 2 718 恒成立 求实数m的取 值范围 3 求证 在区间 1 上 函数 f x的图象在函数 3 2 3 g xx 的图象的下方 21 1 证明 11 1 10 22 f 2 1 ln20f 1 2 0ff 且函数 f x在 1 2 上连续 函数 f x在 1 2 上有零点 即 0 1 2 x 使得 0 0f x 4 分 2 1 fxx x 5 分 当 0 xe 时 0fx 函数 f x在 0 e上为增函数 7 分 2 max 1 2 f xf ee 不等式 f xm 0 对 0 xe 恒成立等价于m max f x 0 xe m 2 1 2 e 9 分 3 证明 令 23 12 ln1 23 F xf xg xxxx 10 分 则 232 2 11 2 1 1 2 xxxxx F xxx xxx 12 分 当1x 时 0F x 函数 F x在区间 1 上为减函数 12 1 10 23 F xF 即在 1 上 f xg x 在区间 1 上 函数 f x的图象在函数 3 2 3 g xx 的图象的下方 14 分 2 合肥一模合肥一模 19 本小题满分 13 分 某电视生产厂家有 A B 两种型号的电视机参加家电下乡活动 若厂家投放 A B 型号电 视机的价值分别为 p q万元 农民购买电视机获得的补贴分别为 12 ln 105 pq万元 已 知厂家把总价值为 10 万元的 A B 两种型号电视机投放市场 且 A B 两型号的电视机 投放金额都不低于 1 万元 请你制定一个投放方案 使得在这次活动中农民得到的补贴 最多 并求出其最大值 精确到0 1 参考数据 ln41 4 19 解 设 B 型号电视机的价值为x万元 19x 农民得到的补贴为y万元 则 A 型号电视机的价值为 10 x 万元 由题意得 1221 10 lnln1 105510 yxxxx 6 分 21 510 y x 由0 4 yx 得 当 1 4x 时 0y 当 4 9x 时 y 0 所以当4x 时 y取最大值 max 2 ln40 4 11 2 5 y 即厂家分别投放 A B 两型号电视机 6 万元和 4 万元时 农民得到补贴最我 最多补贴 约1 2万元 13 分 20 本小题满分 13 分 各项均不为零的数列 n a 首项 1 1a 且对于任意 nN 均有 11 1 620 nnnnn n aaaab a 1 求数列 n b的通项公式 2 数列 n a的前n项和为 n T 求证 2 n T 20 解 1 由 11 620 nnnn aaaa 得 131 12 n aa 则 1 1111 3 44 nn aa 11 13 44 nn bb 所以 1 4 n b 是以 3 为公比 3 4 为首项的等比数列 1 13331 3 4444 n n nn bb 6 分 2 21 4444 31313131 n nn T 21 1111 4 3333 nn 11 1 1 33 42 1 2 1 3 1 3 n n 13 分 21 本小题满分 13 分 已知焦点在x轴上 中心在坐标原点的椭圆 C 的离心率为 4 5 且过点 10 2 1 3 1 求椭圆 C 的方程 2 直线l分别切椭圆 C 与圆 222 M xyR 其中35R 于 A B 两点 求 AB 的最大值 21 解 1 设椭圆的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 则 44 55 c ca a 2222 9 25 baca 椭圆过点 10 2 1 3 2 2 200 1 9 1 9 25 a a 解处 22 25 9ab 故椭圆 C 的方程为 22 1 259 xy 6 分 2 设 1122 A x yB xy分别为直线l与椭圆和圆的切点 直线 AB 的方程为 ykxm 因为 A 既在椭圆上 又在直线 AB 上 从而有 22 1 259 xy ykxm 消去y得 222 259 5025 9 0kxkmxm 由于直线与椭圆相切 故 222 50 4 259 25 9 0kmkm 从而可得 22 925mk 1 25k x m 由 222 xyR ykxm 消去y得 2222 1 0kxkmxmR 由于直线与圆相切 得 222 1 mRk 2 2 kR x m 由 得 2 2 2 9 25 R k R 22222 212121 1 ABxxyykxx 222222 2 22222 25 9 25 225 259 25 mkRRR R RmRRR 2 2 225 34234304R R 即 2AB 当且仅当15R 时取等号 所以 AB 的最大值为 2 13 分 3 衡水一模衡水一模 20 本小题满分 12 分 函数 xf对任意x R 都有 1 2 1 xfxf I 求 1 1 Nn n n f n f 的值 II 数列 1 1 2 1 0 nnn af n n f n f n ffaa求数列满足 的通 项公式 III 令 n SbbbbT a b nnn n n 16 32 14 4 22 3 2 2 2 1 试比较 Tn与 Sn的大小 20 解 1 令 1 1 2 1 1 1 1 1 n n f n f n f n f n x 得 2 分 2 1 1 1 0 f n n f n ffan 又 0 1 1 1 f n f n n ffan 两式相加 0 1 1 1 1 0 2ff n n f n fffan 2 1 n 4 1 Nn n an 2 1 1 0 1 ffa满足上式 故 4 1 Nn n an 6 分 3 na b n n 4 14 4 222 22 2 2 1 1 3 1 2 1 1 16 n bbbT nn 1 1 32 1 21 1 1 16 nn 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 1 16 nn 1 2 16 n n S n 16 32 所以 nn ST 当 n 1 时等号成立 12 分 21 本小题满分 12 分 已知圆O 8 22 yx交x轴于BA 两点 曲线C是以AB为长轴 直线 4 x为 准线的椭圆 I 求椭圆的标准方程 II 若M是直线上的任意一点 以OM为直径的圆K与圆O相交于QP 两点 求证 直线PQ 必过定点E 并求出点E的坐标 III 如图所示 若直线PQ与椭圆C交于HG 两点 且HEEG3 试求此时弦PQ的 长 21 解 设椭圆的标准方程为 22 22 10 xy ab ab 则 2 2 2 4 a a c 从而 2 2 2 a c 故2b 所以椭圆的标准方程为 22 1 84 xy 4 分 设 4 Mm 则圆K方程为 2 2 2 24 24 mm xy 与圆 22 8O xy 联 立消去 22 xy得PQ的方程为480 xmy 所以直线过定点 2 0E 8 分 解法一 设 1122 G x yH xy 则 22 11 22 22 28 28 xy xy 3EGHE 1122 2 32 xyxy 即 12 12 83 3 xx yy 代入 解得 2 2 8 3 2 3 x y 由图舍去正值 3 2 3 8 2 0 2 0 1 1 HG y x 1 GHPQ KK 1 PQ k 所以 20PQ xy 从而圆心 0 0O到直线PQ的距离 2 2 2 d 从而622 22 dRPQ 12 分 P Q O A H G M XB y 解法二 将 PQ480 xmy 与椭圆方程 22 1 84 xy 联立成方程组消去x得 22 3216640mymy 设 1122 G x yH x y 则 1212 22 1664 3232 m yyy y mm HEEG3 1122 2 32 xyxy 所以 12 3yy 代入韦达定理得 2 22 22 864 3 3232 m yy mm 消去 2 y得 2 16m 4m 由图得 4m 所以 20PQ xy 以下同解法一 22 本小题满分 12 分 设函数 2 1ln xxbxf I 若对定义域的任意x 都有 1 fxf 成立 求实数 b 的值 II 若函数 xf在定义域上是单调函数 求实数b的取值范围 III 若1b 证明对任意的正整数 n 不等式 333 1 1 3 1 2 1 1 1 n k f n k 都成立 22 解 1 由 x 1 0 得 x 1 f x 的定义域为 1 对 x 1 都有 f x f 1 f 1 是函数 f x 的最小值 故有 f 1 0 0 2 2 1 2 b x b xxf 解得 b 4 4 分 2 1 22 1 2 2 x bxx x b xxf 又函数 f x 在定义域上是单调函数 f x 0 或 f x 0 在 1 上恒成立 若 f x 0 x 1 0 2x2 2x b 0 在 1 上恒成立 即 b 2x2 2x 2 1 2 1 2 2 x恒成立 由此得 b 2 1 6 分 若 f x 0 x 1 0 2x2 2x b 0 即 b 2x2 2x 恒成立 因 2x2 2x 在 1 上没有最小值 不存在实数 b 使 f x 0 恒成立 综上所述 实数