浙江省高三数学六校联考测试（理） 新人教版

用心 爱心 专心 浙江六校浙江六校联联考考 数学数学 理理 试卷试卷 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么棱柱的体积公式 P A B P A P B V Sh 如果事件 A B 相互独立 那么其中 S 表示棱柱的底面积 h 表示棱柱的高 P A B P A P B 棱锥的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p 那么 nV 3 1 Sh 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率其中 S 表示棱锥的底面积 h 表示棱锥的高 Pn k C k np k 1 p n k k 0 1 2 n 球的表面积公式 棱台的体积公式S 4 R2 2211 3 1 SSSShV 球的体积公式 其中 S1 S2分别表示棱台的上 下底面积 V 3 4 R3 h 表示棱台的高 其中 R 表示球的半径 一 选择题一 选择题 本大题共本大题共 1010 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 5050 分 在每小题给出的四个选项中分 在每小题给出的四个选项中 只有只有 一项是符合题目要求的 一项是符合题目要求的 1 已知a R 则 2a 是 2 2aa 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 复数 3 2 zai aR 且 2 13 22 zi 则a的值为 A 1 B 2 C 1 2 D 1 4 3 已知函数 2 2 2 3 fnxfxxf 则二项式 n x x 2 展开式中常数项 用心 爱心 专心 是 A 第 7 项 B 第 8 项 C 第 9 项 D 第 10 项 4 某程序框图如图所示 则该程序运行后输出的 B 等于 A 15B 29C 31 D 63 5 已知一个空间几何体的三视图如图所示 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个 几何体的体积是 A 3 4cm B 3 5cm C 3 6cm D 3 7cm 6 在ABC 中 AB3 BC1 coscosACBBCA 则AC AB A 3 2 或2 B 3 2 或2 C 2 D 3 2 或2 7 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a 得 2 分的概率为b 不得分的概率为c a b 0 1 c 已知他投篮一次得分的数学期望为 2 不计其它得分情况 则ab的 最大值为 A 1 6 B 1 12 C 1 24 D 1 48 8 已知函数 yf x 的定义域为 R 当0 x 时 1f x 且对任意的实数 x y R 等式 f x f yf xy 成立 若数列 n a满足 1 0 af 且 1 1 2 n n f a fa n N 则 2010 a的值为 2 2 主视图 2 侧视图 4 俯视图 第 5 题图 第 4 题图 用心 爱心 专心 A 4016 B 4017 C 4018 D 4019 9 已知点A在平面 内 线段PA与平面 所成角为 60 且2 PA Q为平面 内动点 满足 3 2 APQ S 则动点Q所在圆锥曲线的离心率为 1 A 2 3 B 2 C 1 D 2 高考资源网 10 如图 在OAB 中 点 P 是线段OB及AB AO的延长线所围成的阴影区域内 含边界 的任意一点 且OPxOAyOB 则在直角坐标平 面上 实数对 x y 所表示的区域在直线3yx 的 右下侧部分的面积是 A 9 2 B 7 2 C 4D 5 二 填空题 填空题 本大题共本大题共 7 小题 每题小题 每题 4 分 共分 共 28 分 分 11 已知命题 pRx 02 2 aaxx 若命题p是假命题 则实数a的取值范围是 12 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 3xyr 的图像上 则实数r w w w k s 5 u c o m 13 已知 0 2 3 35 sin 则sin 14 已知 1 F 2 F分别为椭圆1 925 22 yx 的左 右焦点 P 为椭圆上一点 Q 是y轴上的 一个动点 若4 21 PFPF 则 21 PFPFPQ 15 如图 正五边形 ABCDE 中 若把顶点 A B C D E 染 上红 黄 绿 三种颜色中的一种 使得相邻顶点所染颜色不 相同 则不同的染色方法共有 种 P M O A B N 第 10 题图 第 15 题图 用心 爱心 专心 16 观察下列数表 其中第 1 行有 100 个数 第 2 行有 99 个数 依次继续 则第 100 行只有 1 个数 这 个数等于 17 设函数 3 13 x x f x 若 x表示不大于x的最大整数 则函数 11 22 f xfx 的值域是 三 解答题 解答题 本大题共本大题共 5 小题 共小题 共 72 分 分 18 已知 ABC 的顶点 3 0 0 3 AB cos sin C 其中 若 AC BC 求角 的值 若ABC 的面积为 7 2 ABC S 求sincos 的值 19 在一个盒子中 放有标号分别为1 2 3的三张卡片 现从这个盒子中 有放回地先 后抽得两张卡片的标号分别为x y 记xyx 2 求随机变量 的最大值 并求事件 取得最大值 的概率 求随机变量 的分布列和数学期望 20 如图 1 在直角梯形ABCD中 90ADC CDAB 4 2ABADCD M为线段AB的中点 将ADC 沿AC折起 使平面ADC 平面ABC 得到几何体 DABC 如图 2 所示 求证 BC 平面ACD 求二面角ACDM 的余弦值 A B C D 图图 2 M B A CD 图图 1 M 第 20 题图 1 2 3 4 97 98 99 100 3 5 7 195 197 199 8 12 392 396 20 788 用心 爱心 专心 21 如图 已知圆A过定点 0 2 B 圆心A在抛物线 2 4C xy 上运动 MN为圆A在 x 轴上所截得的弦 证明 MN是定值 讨论抛物线C的准线l与圆A的位置关系 设D是抛物线C的准线l上任意一点 过 D向抛物线作两条切线 DS DT 切点是 S T 判断直线ST是否过定点 并证明 你的结论 22 设函数 ln 0 f xaxx a 当2a 时 判断函数 4 1 g xf xx 的零点的个数 并且说明理由 若对所有1x 都有 2 1f xx 求正数a的取值范围 第 21 题图 用心 爱心 专心 数学数学 理理 答案答案 ACCCA DADAB 11 10 a 12 1r 13 34 3 5 14 20 15 30 16 98 101 2 17 0 1 18 解 1 AC BC 得 22 sin 3 cos 22 3 sincos 即 sincos 分 又 4 分 2 直线AB方程为 30 xy 3 2AB 点C到直线AB的距离为 cossin33 cossin 22 d 113 cossin 7 3 2 2222 ABC SAB d 2 sincos 3 9 分 5 2sincos 9 11 分 又 sin 0 cos 0 12 分 2 14 sincos 1 2sincos 9 sin cos 3 14 14 分 用心 爱心 专心 19 解 x y可能的取值为1 2 3 12 x 2 xy 3 且当3 1 yx或1 3 yx时 3 4 分 因此 随机变量 的最大值为3 有放回抽两张卡片的所有情况有933 种 9 2 3 P 7 分 的所有取值为3 2 1 0 8 分 0 时 只有2 2 yx这一种情况 1 时 有1 1 yx或1 2 yx或3 2 yx或3 3 yx四种情况 2 时 有2 1 yx或2 3 yx两种情况 9 1 0 P 9 4 1 P 9 2 2 P 11 分 则随机变量 的分布列为 0 123 P 9 1 9 4 9 2 9 2 12 分 因此 数学期望 9 14 9 2 3 9 2 2 9 4 1 9 1 0 E 14 分 20 解解 在图 1 中 可得2 2ACBC 从而 222 ACBCAB 故ACBC 取AC中点O连结DO 则DOAC 又面ADE 面ABC 面ADE 面ABCAC DO 面ACD 从而OD 平面ABC ODBC 又ACBC ACODO BC 平面ACD 7 分 另解另解 在图 1 中 可得2 2ACBC 从而 222 ACBCAB 故ACBC 面ADE 面ABC 面ADE 面ABCAC BC 面ABC 从而BC 平面ACD 建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示 则 0 2 0 M 2 0 0 C 0 0 2 D 2 2 0 CM 2 0 2 CD 设 1 nx y z 为面CDM的法向量 则 1 1 0 0 n CM n CD 即 220 220 xy xz 解得 yx zx 令1x 可得 1 1 1 1 n 又 2 0 1 0 n 为面ACD的一个发向量 x A B C D M y z O 用心 爱心 专心 12 12 12 13 cos 3 3 n n n n nn 二面角ACDM 的余弦值为 3 3 7 分 21 解 设 00 A xy 则 2 00 4xy 则圆A的半径r 22 00 2 ABxy 则圆A的方程为 2222 0000 2 xxyyxy 2 分 令0y 并将 2 00 4xy 代入得 22 00 240 xx xx 解得 1020 2 2xxxx 12 4MNxx 为定值 4 分 圆心A到抛物线准线l 1y 的距离为 0 1dy 则 222 000 6323dryxy 6 分 所以 当 0 3 0 2 y 时 dr 抛物线C的准线l与圆A相交 当 0 3 2 y 时 dr 抛物线C的准线l与圆A相切 当 0 3 2 y 时 dr 抛物线C的准线l与圆A相离 9 分 设切点为 22 12 12 44 xx S xT x 由 1 2 k yx 则切线为1 2 k x yxt 所以 2 1 1 1 2 42 k k x x tk 消去 t 可得 12 4x x 12 分 又 22 1212 12 4 4 ST xxxx k xx 所以直线ST的方程是 2 112 1 44 xxx yxx 即 1212 44 xxx x yx 13 分 把 12 4x x 代人得 12 1 4 xx yx 故直线ST是过定点 0 1 F 15 用心 爱心 专心 分 另解 直线ST是过定点 0 1 F 即 S T F三点共线 证明如下 由题意设 D t 1 切线方程为1 yk xt 代人 2 4xy 得 2 1 1 0 4 xkxkt 令 2 10ktk 则有 12 1k k 2 分 由此可得 切点坐标 22 1122 2 2 Sk kTkk 所以 22 1212 12 222 ST kkkk k kk 又 22 111212 11 1 222 FS kkk kkk k kk 2 分 所以 STFS kk 即 S T F三点共线 故直线ST是过定点 0 1 F 2 分 22 解 当2a 时 4 1 2 ln44g xf xxxxx 的定义域是 0 求导 得 0 0 2 ln1 0 0 xe g xxxe xe 所以 g x在 0 e上为减函数 在 e 上为增函数 min 2 2 0g xg ee 3 分 又 1 0 g 根据 g x在 0 e上为减函数 则 g x在 0 e上恰有一个零点 又 2 40g e 则 2 0g e g e 所以 g x在 2 e e上恰有一个零点 再根据 g x在 e 上为增函数 g x在 e 上恰有一个零点 5 分 综上所述 函数 4 1 g xf xx 的零点的个数为 2 7 分 令 22 1 ln1 0 1 F xf xxaxxxax 求导 再令 ln1 2G xF xaxx 则 2 a G x x 9 分 若02a 当1x 时 20 a G x x 故 G x在 1 上为减函数 所以当1x 时 1 20G