第一章-计数原理单元测试题

1 第一章 计数原理单元测试题 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的报名方法共 有 A 10 种B 20 种 C 25 种 D 32 种 2 甲 乙 丙 3 位同学选修课程 从 4 门课程中 甲选修 2 门 乙 丙各选修 3 门 则不同的 选修方案共有 A 36 种 B 48 种 C 96 种 D 192 种 3 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照 要求排成一排 2 位老人相邻但不排在两 端 不同的排法共有 1440 种 960 种 720 种 480 种 4 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成 其中 4 个数字互不相同的牌照号 码共有 个 个 2 14 2610 CA 24 2610 A A 个 个 2 14 26 10C 24 2610 A 5 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期 五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选派方法共有 A 40 种 B 60 种 C 100 种 D 120 种 6 由数字 0 1 2 3 4 5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有 A 72 B 60 C 48 D 52 7 用 0 1 2 3 4 组成没有重复数字的全部五位数中 若按从小到大的顺序排列 则数字 12340 应是第 个数 A 6 B 9 C 10 D 8 8 AB 和 CD 为平面内两条相交直线 AB 上有 m 个点 CD 上有 n 个点 且两直线上各有一个与交 点重合 则以这 m n 1 个点为顶点的三角形的个数是 A B C D 2121 mnnm CCCC 21 1 21 mnnm CCCC 2121 1mnnm CCCC 2 1 1 1 21 1 mnnm CCCC 9 设 则 10 10 2 210 10 2xaxaxaax 的值为 2 921 2 1020 aaaaaa A 0 B 1 C 1 D 2 10 2006 年世界杯参赛球队共 32 支 现分成 8 个小组进行单循环赛 决出 16 强 各组的前 2 名 小组出线 这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛 决出 8 强 再决出 4 强 直到决出冠 亚军和 第三名 第四名 则比赛进行的总场数为 A 64 B 72 C 60 D 56 11 用二项式定理计算 9 985 精确到 1 的近似值为 A 99000 B 99002 C 99004 D 99005 12 从不同号码的五双靴中任取 4 只 其中恰好有一双的取法种数为 A 120 B 240 C 360 D 72 二 二 填空题 本大题共填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 今有 2 个红球 3 个黄球 4 个白球 同色球不加以区分 将这 9 个球排成一列 有 种不同的方法 用数字作答 14 用数字 0 1 2 3 4 组成没有重复数字的五位数 则其中数字 1 2 相邻的偶数有 个 用数字作答 15 若 2x3 n的展开式中含有常数项 则最小的正整数n x 1 16 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 则不同的选法共有 种 用数字作答 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7474 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 如图 电路中共有 7 个电阻与一个电灯 A 若灯 A 不亮 分析因电阻断路的可能性共有多 少种情况 A RR R R R R R 3 18 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数 试问 能组成多少个没有重复数字的七位数 上述七位数中三个偶数排在一起的有几个 在 中的七位数中 偶数排在一起 奇数也排在一起的有几个 在 中任意两偶然都不相邻的七位数有几个 19 把 1 2 3 4 5 这五个数字组成无重复数字的五位数 并把它们按由小到大的顺序排列 成一个数列 1 43251 是这个数列的第几项 2 这个数列的第 96 项是多少 3 求这个数列的各项和 20 本小题满分 12 分 求证 能被 25 整除 4 21 本小题满分 14 分 已知的展开式的各项系数之和等于展 n a a 3 3 5 3 5 1 4 b b 开式中的常数项 求展开式中含的项的二项式系数 n a a 3 3 22 本小题满分 14 分 若某一等差数列的首项为 公差为展 22 311 211 5 n n n n PC m x x 32 5 2 2 5 开式中的常数项 其中 m 是除以 19 的余数 则此数列前多少项的和最大 并求出这个157777 最大值 5 单元测试卷参考答案单元测试卷参考答案 排列 组合 二项式定理排列 组合 二项式定理 一 选择题 每题一 选择题 每题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 D 解析 5 位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中的一个小组 则不同的 报名方法共有 25 32 种 选 D 2 C 解析 甲 乙 丙 3 位同学选修课程 从 4 门课程中 甲选修 2 门 乙 丙各选修 3 门 则不同的选修方案共有种 选 C 233 444 96CCC 3 解析 5 名志愿者先排成一排 有种方法 2 位老人作一组插入其中 且两位老人有左右 5 5 A 顺序 共有 960 种不同的排法 选 B 5 5 2 4 A 4 A 解析 某城市的汽车牌照号码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成 其中 4 个数字互不相 同的牌照号码共有个 选 A 2 14 2610 CA 5 B 解析 从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五 星期六 星期日参加公益活动 每人一天 要求星期五有 2 人参加 星期六 星期日各有 1 人参加 则不同的选派方法共有种 22 53 60C A 选 B 6 B 解析 只考虑奇偶相间 则有种不同的排法 其中 0 在首位的有种不符合题意 所 3 3 3 3 2AA 3 3 2 2A A 以共有种 3 3 3 3 2AA60 3 3 2 2 AA 7 C 解析 比 12340 小的分三类 第一类是千位比 2 小为 0 有个 第二类是千位为 2 百6 3 3 A 位比 3 小为 0 有个 第三类是十位比 4 小为 0 有 1 个 共有 6 2 1 9 个 所以 12340 是第2 2 2 A 10 个数 8 D 解析 在一条线上取 2 个点时 另一个点一定在另一条直线上 且不能是交点 9 C 解析 由可得 10 10 2 210 10 2xaxaxaax 6 当时 1 x 10 10 2 210 10 11112aaaa 10210 aaaa 当时 1 x 103210 10 12aaaaa 10210 aaaa 2 921 2 1020 aaaaaa 10210 aaaa 103210 aaaaa 112121212 101010 10 A 解析 先进行单循环赛 有场 在进行第一轮淘汰赛 16 个队打 8 场 在决出 4488 2 4 C 强 打 4 场 再分别举行 2 场决出胜负 两胜者打 1 场决出冠 亚军 两负者打 1 场决出三 四名 共举行 48 8 4 2 1 1 64 场 11 C 解析 5 5 9 98100 02 2 51423 55 10100 02100 02CC 323 5 02 0 10C 9900406 0 41010 35 12 A 解析 先取出一双有种取法 再从剩下的 4 双鞋中取出 2 双 而后从每双中各取一只 有 1 5 C 种不同的取法 共有种不同的取法 1 2 1 2 2 4 CCC 1 5 C120 1 2 1 2 2 4 CCC 二 二 填空题填空题 每小题每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 1260 解析 由题意可知 因同色球不加以区分 实际上是一个组合问题 共有 423 953 1260C C C AA 14 24 解析 可以分情况讨论 若末位数字为 0 则 1 2 为一组 且可以交换位置 3 4 各为 1 个数字 共可以组成个五位数 若末位数字为 2 则 1 与它相邻 3 3 212A 其余 3 个数字排列 且 0 不是首位数字 则有个五位数 若末位数字为 4 则 2 2 24A 1 2 为一组 且可以交换位置 3 0 各为 1 个数字 且 0 不是首位数字 则有 8 个五位数 所以全部合理的五位数共有 24 个 2 2 2 2 A 7 15 7 解析 若 2x3 n的展开式中含有常数项 为常数项 x 1 3 1 1 2 n rn rr rn TCx x 即 0 当n 7 r 6 时成立 最小的正整数n等于 7 7 3 2 r n 16 36 种 解析 从班委会 5 名成员中选出 3 名 分别担任班级学习委员 文娱委员与体育 委员 其中甲 乙二人不能担任文娱委员 先从其余 3 人中选出 1 人担任文娱委员 再从 4 人 中选 2 人担任学习委员和体育委员 不同的选法共有种 12 34 3 4 336CA 三 解答题 共六个小题 满分三 解答题 共六个小题 满分 7474 分 分 17 解 每个电阻都有断路与通路两种状态 图中从上到下的三条支线路 分别记为支线 a b c 支线 a b 中至少有一个电阻断路情况都有 22 1 3 种 4 分 支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有 22 1 7 种 6 分 每条支线至少有一个电阻断路 灯 A 就不亮 因此灯 A 不亮的情况共有 3 3 7 63 种情况 10 分 18 解 分步完成 第一步在 4 个偶数中取 3 个 可有种情况 3 4 C 第二步在 5 个奇数中取 4 个 可有种情况 4 5 C 第三步 3 个偶数 4 个奇数进行排列 可有种情况 7 7 A 所以符合题意的七位数有个 3 分 3 4 C 4 5 C100800 7 7 A 上述七位数中 三个偶数排在一起的有个 6 分 3 4 C14400 3 3 5 5 4 5 AAC 上述七位数中 3 个偶数排在一起 4 个奇数也排在一起的有 个 9 分 3 4 C5760 2 2 2 4 3 3 5 5 4 5 AAACC 上述七位数中 偶数都不相邻 可先把 4 个奇数排好 再将 3 个偶数分别插入 5 个 空档 共有个 12 分28800 3 5 3 4 4 5 ACA 19 解 先考虑大于 43251 的数 分为以下三类 第一类 以 5 打头的有 24 4 4 A 第二类 以 45 打头的有 6 3 3 A 第三类 以 435 打头的有 2 2 分 2 2 A 8 故不大于 43251 的五位数有 个 88 2 2 3 3 4 4 5 5 AAAA 即 43251 是第 88 项 4 分 数列共有 A 120 项 96 项以后还有 120 96 24 项 即比 96 项所表示的五位数大的五位数有 24 个 所以小于以 5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第 96 项 即为 45321 8 分 因为 1 2 3 4 5 各在万位上时都有 A 个五位数 所以万位上数字的和为 1 2 3 4 5 A 10000 10 分 同理它们在千位 十位 个位上也都有 A 个五位数 所以这个数列各项和为 1 2 3 4 5 A 1 10 100 1000 10000 15 24 11111 12 分 20 证明 因 3 分4532 2 n nn 4564 n n 45154 n n 8 分 45155555 4 1222211 nCCCC n n n n n n n n n 10 分 nCCC n n n n n n n 255555 4 222211 显然能被 25 整除 25n 能被 25 整除 222211 5555 n n n n n n n CCC 所以能被 25 整除 12 分4532 2 n nn 21 设的展开式的通项为 5 3 5 1 4 b b r r r r b bCT 5 1 4 5 3 51 6 分 5 4 3 2 1 0 4 5 1 6 510 5 5 rbC r rr r 若它为常数项 则 代入上式 2 0 6 510 r r 7 3 2 T 即常数项是 27 从而可得中 n 7 10 分 n a a 3 3 9 同理由二项展开式的通项公式知 含的项是第 4 项 7 3 3 a a 其二项式系数是 35 14 分 22 由已知得 又 2 分 nn nn 31122 5211 2 nNn 2 5 3 10 2 5 7 10 22 311 211 5 PCPCPC n n n n 10045 23 8910 所以首项 4 分100 1 a 151761577 7777 151767676 1 77 761 77 77 CC 所以除以 19 的余数是