2012年高考数学知识点备忘 文VIP

用心 爱心 专心1 20122012 年高考数学考前知识点再回顾年高考数学考前知识点再回顾 1 AB 时 A 有两种情况 A 与 A 2 例 1 集合 若 那么的值是 1 1 2 axxQxxPPQ a A 1 B C D 1 11 或110 或 例如 已知集合若 则实数 p 的取值范围 121 52 pxpxBxxAABA 是 3 p 2 数形结合是解集合问题的常用方法 解题时要尽可能地借助数轴 直角坐标系或韦恩图等工具 将抽 象的代数问题具体化 形象化 直观化 然后利用数形结合的思想方法解决 3 3 已知集合 A B 当时 你是否注意到 极端 情况 或 求集合的子集时 BA A B 是否忘记 例 若 A x 3 x 4 B x 2m 1 x m 1 当时 求实数 m 的取值范围 AB 4 4 对于含有n个元素的有限集合M 其子集 真子集 非空子集 非空真子集的个数依次为 n 2 12 n 12 n 2 2 n 5 5 BCACBAC III BCACBAC III 6 6 是任何集合的子集 是任何非空集合的真子集 空集只有一个子集 7 集合用描述法表示时 你是否注意其代表元素 如 lgx yx lgy yx lgx y yx 8 p 且 q 的否定是 非 p 或非 q p 或 q 的否定是 非 p 且非 q 命题的否定只否定结论 否命题是条件和结论都否定 四种命题四种命题中 逆 者 交换 也 否 者 否定 也 9 9 函数的几个重要性质 如果函数对于一切 都有 那么函数的图象关于直线 xfy Rx xafxaf xfy 对称 是偶函数 ax yf xa 若都有 那么函数的图象关于直线对称 xbfxaf xfy 2 ba x 函数与函数的图象关于直线对称 xafy xbfy 2 ba x 特例 1 函数与函数的图象关于直线对称 xafy xafy 0 x 2 函数与函数的图象关于直线 轴 对称 xfy xfy 0 yx 用心 爱心 专心2 3 函数与函数的图象关于坐标原点中心对称 xfy yfx 4 函数与它的反函数的图象关于直线对称 xfy yx 类比 三角函数图象 得 若图象有两条对称轴 则必是周期函数 且一周期为 yf x xa xb ab yf x 2 Tab 若图象有两个对称中心 则是周期函数 且一周期为 yf x 0 0 A aB bab yf x 2 Tab 如果函数的图象有一个对称中心和一条对称轴 则函数必是周期函 yf x 0 A a xb ab yf x 数 且一周期为 4 Tab 如果是 R R 上的周期函数 且一个周期为 那么 yf x T f xnTf x n Z 特别 特别 如果函数对于一切 xfy Rx 若恒成立 则 T 2a axfaxf 0 a 若恒成立 则 0 f xaf x a 2Ta 若恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 若 恒成立 则 1 0 f xaa f x 2Ta 例 1 已知函数 f x是 上的偶函数 若对于0 x 都有 且当 0 2 x 时 1 f xf x 2 log 1f xx 则 2011 2012 ff 的值为 A 2 B 1 C 1 D 2 例 2 定义在 R 上的函数 则f 2011 A 021 01log 2 xxfxf xx xf A 1 B 0 C 1 D 2 例 3 已知定义在 R 上的奇函数 xf 满足 4 f xf x 且在区间 0 2 上是增函数 A 25 11 80 fff B 80 11 25 fff C 11 80 25 fff D 25 80 11 fff 用心 爱心 专心3 10 求一个函数的解析式时 你注明了该函数的定义域了吗 你注明了该函数的定义域了吗 求值域 单调区间 判断奇偶性 求极值 最值等 切记都要优先考虑定义域优先考虑定义域 11 求二次函数的最值问题时你注意到 x 的取值范围了吗 例 1 函数上的最大值和最小值分别为 2 232 4yxxx 在 例 2 已知 x 2 2 1 求 x2 y2的取值范围 由于 x 2 2 1 得 x 2 2 1 1 3 x 4 2 y 4 2 y 4 2 y 1 从而当 x 1 时 x2 y2有最小值 1 x2 y2的取值范围是 1 3 28 12 你知道函数的单调区间 奇偶性和值域吗 0 a yxa x 13 切记定义在 R R 上的奇函数 y f x 必定过原点 即 f 0 0 14 解对数函数问题时 你注意到真数与底数的限制条件了吗 真数大于零 底数大于零且不等于 1 字母底数还需讨论呀 例 函数的值域是 R 则的取值范围是 2 1 2 log4yxax a 4 4 15 对数的换底公式及它的变形 你掌握了吗 bb a b b a n a c c a n loglog log log log 16 你还记得对数恒等式吗 ba b a log 17 实系数一元二次方程有实数解 转化为 你是否注意到必须0 2 cbxax04 2 acb 当a 0 时 方程有解 不能转化为 若原题中没有指出是 二次 方程 函0 a04 2 acb 数或不等式 你是否考虑到二次项系数可能为零的情形 例如 对一切恒成立 求 a 的取值范围 你讨论了 a 2 的情况了吗 0222 2 xaxaRx 例 1 若实数为常数 则 且 是 对任意 有cba 0 a04 2 acbRx 的 条件 充分不必要 0 2 cbxax 2 关于 x 的方程 2kx2 8k 1 x 8k 0 有两个不相等的实根 则 k 的取值范围是 k 1 16 且 k 0 18 切记函数的零点 不是 点 是函数图象与 x 轴交点的横坐标 极值点也不是 点 是函数取得极值时对应的 x 的值 最优解是 点点 是目标函数取得最值时的可行解 是点点的坐标 19 等差数列中的重要性质 若 m n p q 则 mnpq aaaa 等比数列中的重要性质 若 m n p q 则 mnpq a aa a 20 等差数列的一个性质 设是数列的前 n 项和 为等差数列的充要条件是 n S n a n a a b 为常数 即Sn是n的二次式 且不含常数项 bnanSn 2 用心 爱心 专心4 22 你是否注意到在应用等比数列求前 n 项和时 需要分类讨论 时 时 1 q 1 naSn 1 q 在等比数列中你是否注意了各项不能为 0 且 q qa S n n 1 1 1 0 q 例 1 已知数列是等比数列 求公比的值 n a 32 2 4aS q 例 2 已知等比数列 an 的前n项和12 1 n n ts 则实数t的值为 A 2 B 0 或 2 C 2 D 1 2 21 你还记得裂项求和吗 如 1 11 1 1 nnnn 11 11 n nkk nnk 1111 1 2 2 1 1 2 n nnn nnn 22 你知道怎样的数列求和时要用 错位相减 法吗 若 其中是等差数列 是等 nnn bac n a n b 比数列 求的前 n 项的和 n c 23 用求数列的通项公式时 an有时是分段形式对吗 你注意到 n 1 时 了吗 1 nnn SSa 11 Sa 24 常见的放缩法你会吗 22 11111 1211kkkk 2 1111111 1 1 1 1kkkkkkkkk 1 2 1 2 1 nnnn n 例 已知函数 1 axb f x x 的图象经过原点 且关于点 1 1 成中心对称 1 求函数 f x的解析式 2 若数列 n a满足0 n a 1 1a 2 1 nn afa 求数列 n a的通项公式 3 在 2 的条件下 设数列 n a的前n项和为 n S 试判断 n S与2的大小关系 并证 明你的结论 解 1 1a 所以 1 x f x x 2 1 11 1 nn aa 所以 2 1 n a n n N 3 当1n 时 11 12Sa 当2n 时 2 1111 1 1 n a nn nnn 所以 123 222 111 1 23 nn Saaaa n 111111 1 1 22 2231nnn 综上所述 2 n S n N 用心 爱心 专心5 25 求简单的递推数列的通项公式 叠加法 叠乘法 待定系数法等你会吗 例如 1 已知 求 11 1 2 nn aaan n a 2 已知 求 11 1 2n nn aaa n a 3 已知 求 11 1 32 nn aaa n a 26 在三角函数中 你注意到正切函数定义域了吗 你注意到正弦函数 余弦函数的有界性了吗 在 ABC 中 sinA sinB A B 对吗 正确 是充要条件 若 能否一定得出 不能得出 是既不充分也不必要条件 R sinsin 27 降幂公式你知道吗 2 2cos1 sin 2 2 2cos1 cos2 28 务必记住务必记住 为锐角 三角函数线 sintan 29 正弦曲线 余弦曲线 正切曲线的对称轴 对称中心你知道吗 30 在三角函数中 你知道 1 等于什么吗 这些统称xx 22 cossin1 tansincos0 42 为 1 的代换 常数 1 的种种代换有着广泛的应用 31 在三角的恒等变形中 要特别注意角的各种变换 如 等 222 例1 已知向量 且 其中 0 2 a sin 2 b cos 1 a b 1 求 sin和 cos的值 2 若 求的值 3 sin 0 52 cos 提示 coscos 32 你还记得诱导公式吗 怎么看待角所在的象限 33 你还记得三角化简的通性通法吗 常用的技巧有 切化弦 降幂公式 用三角公式转化出现特殊角 异角化同角 异名化同名 高次化低次 34 你还了解某些特殊角的三角函数值吗 6262 sin15cos75 sin75cos15 44 35 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗 lrSrl 2 1 扇形 36 辅助角公式 要弄清时对应的角 xbaxbxasincossin 22 1 1 1 3a ba b 在求最值 化简时起着重要作用 37 直线的倾斜角 两向量的夹角 两条异面直线所成的角等 你是否注意到它们各自的取值范围及意义 用心 爱心 专心6 异面直线所成的角 直线与平面所成的角 二面角的取值范围依次是 0 2 0 2 0 直线的倾斜角的取值范围依次是 向量的夹角的取值范围是 0 0 注意注意 为锐角且不同向 a b 0a b a b 为直角且 a b 0a b 0ab 0 为钝角且不反向 a b 0a b a b 是为钝角的必要非充分条件 反向时 cos 1 0a b a b a b a b 例 1 已知向量 若与的夹角为锐角 则实数 K 的取值范围是 4 2 3 abk a b 3 6 2 kk 且 例 2 设向量 满足的夹角为 600 若向量与的夹角为钝角 21 ee 12 21 ee 21 ee 21 72ee t 21 e te 则实数 的取值范围是 t 且不共线 答案 21 72ee t 21 e te 0 2 1 2 14 2 14 7 38 若 则 的充要条件是什么 11 ax y 22 bxy ba ab 39 如何求向量的模 在方向上的投影为什么 求向量的夹角时 你注意向量的方向了吗 a b 例 已知等边三角形 ABC 的边长为 1 那么等于 BCa CAb ABc a bb cc a 40 1 AB AB AB 与共线的单位向量是 2 中 为的重心 ABC 0PAPBPCP ABC 为的垂心 PA PBPB PCPC PAP ABC 41 不等式的解集的规范书写格式是什么 一般要写成集合的形式 42 分式不等式的一般解题思路是什么 移项通分 0 aa xg xf 43 注意弄清不等式的解集与相应方程的根之间的关系 解含参数的一元二次不等式时 注意二次项系数 正负的讨论了吗 重视对两根大小的比较了吗 44 利用基本不等式 以及变式等求函数的最值时 你是否注意到验证 一正 abba2 2 2 ba ab 二定 三相等 的条件了吗 用心 爱心 专心7 例 1 求函数的最小值 4 01 yxx x 例 2 求函数的最大值 15 2152 22 yxxx 例 3 已知 且 则的最小值为 0 ab 12 ba ba 11 223 45 在解含有参数的不等式时 怎样进行讨论 特别是指数和对数的底或 讨论完之后 10 a1 a 要写出 综上所述 原不等式的解是 时 时 10 a1 a 在分类讨论时 要做到 不重不漏 层次分明不重不漏 层次分明 46 恒成立不等式问题通常解决的方法 借助相应函数的单调性求解 其主要技巧有数形结合法 分离变 量法 换元法 1 不等式恒成立问题 恒成立 等价于成立 f xm min f xm 恒成立 等价于成立 f xm max f xm 对任意 都有成立的充要条件是 12 x xD 12 f xg x maxmin f xg x 2 不等式能成立 存在性 问题 存在在 D 上能成立 等价于成立 xD f xm max f xm 存在在 D 上能成立 等价于成立 xD f xm min f xm 47 直线方程的几种形式 点斜式 斜截式 两点式 截矩式 一般式 以及各种形式的局限性 如点 斜式不适用于斜率不存在的直线 所以设方程的点斜式或斜截式时 就应该先考虑斜率不存在先考虑斜率不存在的情形 48 设直线方程时 一般可设直线的斜率为 k 你是否注意到直线垂直于 x 轴时 斜率 k 不存在的情况 例如 一条直线经过点 且被圆截得的弦长为 8 求此弦所在直线的方程 该 2 3 3 25 22 yx 题就要注意 不要漏掉 x 3 0 这一解 49 简单线性规划问题的可行域求作时 要注意不等式表示的区域是相应直线的上方 下方 是否包括边 界上的点 利用特殊点进行判断 50 对不重合的两条直线 有0 1111 CyBxAl0 2222 CyBxAl 1221 1221 21 CACA BABA ll 0 212121 BBAAll 51 直线在坐标轴上的截矩可正 可负 也可为 0 坚决打击 截距是距离 这种论调 注意注意 平面向量中 在方向上的投影投影也是数量 可正 可负 也可为 0 a b 52 直线在两坐标轴上当 a 0 时 直线 y kx 在两条坐标轴上的截距都是 0 也是截距相等 例 经过点 1 2 A并且在两个坐标轴上的截距相等的直线 53 与直线平行平行的直线可表示为 0l AxByC 1 0AxByC 1 CC 用心 爱心 专心8 与直线垂直垂直的直线可表示为 0l AxByC 1 0BxAyC 例 必修 2 课本 A 组第 10 题 101 P 54 处理直线与圆的位置关系有两种方法 1 点到直线的距离 2 直线方程与圆的方程联立 判别式法 一般来说 前者更简捷 55 处理圆与圆的位置关系 可用两圆的圆心距与半径之间的关系 也可以用公切线的个数来判断 56 在圆中 注意利用半径 r 半弦长 及弦心距 d 组成的直角三角形 2 l 22 2 lrd 57 在解析几何中 研究两条直线的位置关系时 有可能这两条直线重合 在立体几何中一般提到的两 条直线可以理解为它们不重合 两个平面也默认为不重合 但线在面内不是重合 不可忽略 向量共线 就是平行 58 1 圆的标准方程 222 xaybR 一般式方程 一般方程中不能忽视 22 xyDx 22 0 40 EyFDEF 22 40DEF 圆心坐标和半径分别是 221 4 222 DE RDEF 参数方程为参数 cos sin xaR ybR 直径式方程 为圆的直径端点 121 xxxxyy 2 0yy 2211 yxByxA 点 2 2 过圆 过圆上一点上一点圆的切线方程切线方程是 222 xyR 00 P xy 2 00 xxyyR 过圆上一点圆的切线方程是 222 xaybR 00 P xy 2 00 xa xayayaR 如果点如果点在圆外在圆外 那么上述直线方程表示过点两切线上两切点的 切点弦 方程 00 P xyP 59 椭圆方程和双曲线方程中三参数 a b c 分别应满足什么关系 注意椭圆中长轴长是 2 而不是 aa 中心在原点 焦点在坐标轴上 椭圆方程一般设为 双曲线方程一般设为 22 1 0 0 mxnymnmn 22 1 0 mxnymn 60 1 椭圆中 注意焦点 中心 短轴端点所组成的直角三角形 2 椭圆的通径的长是1 2 2 2 2 b y a x 0 ba a b22 3 与椭圆共焦点的椭圆系方程是1 2 2 2 2 b y a x 0 ba1 2 2 2 2 kb y ka x 4 双曲线的通径的长是 渐近线方程是 1 2 2 2 2 b y a x a b22 0 2 2 2 2 b y a x 用心 爱心 专心9 B C N M P 5 与双曲线共渐近线的双曲线系方程是 1 2 2 2 2 b y a x 2 2 2 2 b y a x 0 6 与双曲线共焦点的双曲线系方程是 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 kb y ka x 61 在用圆锥曲线与直线联立求解时 消元后得到的方程中要注意 二次项的系数是否为零 判别式 的限制 求交点 弦长 中点 斜率 对称 存在性问题都在下进行 0 0 62 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦 2p 熟记抛物线的焦半径 63 过抛物线 y2 2px p 0 焦点的弦交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 则 焦半 2 21 pyy 4 2 21 p xx 径公式 AB x1 x2 p 64 若 A x1 y1 B x2 y2 是二次曲线 C F x y 0 的弦的两个端点 则 F x1 y1 0 且 F x2 y2 0 涉及 弦的中点和斜率时 常用点差法点差法作 F x1 y1 F x2 y2 0 求得弦 AB 的中点坐标与弦 AB 的斜率的关系 65 求点到面的距离的常规方法是什么 直接法 三棱锥的体积变换法 66 立体几何中常用一些结论 棱长为的正四面体的高为 体积为 V aah 3 6 3 2 12 a 67 异面直线所成角利用 平移法 求解时 一定要注意平移后所得角是所求角或其补角 例 如图 已知空间四边形 ABCD 的对角线 AC 14cm BD 14cm M N 分别是 AB CD 的中点 MN 7cm 求异面直线 AC 与 BD 所成的角 3 0 60 线面角如何求 若求线面角 先把射影找 构造三角形 计算角大小 68 平面图形的翻折 立体图形的展开等一类问题 要注意翻折 展开前后 有关几何元素的 不变量 与 不变性 69 空间平行垂直关系平行垂直关系的证明 主要依据相关定义 公理 定理 线线关系 线面关系面面关系 请重视线面平行关系 线面垂直关系的桥梁作 用 注意 书写证明过程需规范 特别声明特别声明 证明计算过程中 若有若有 中点中点 等特殊点线 则常借助于等特殊点线 则常借助于 中位线 重心中位线 重心 等知识转化 在证明计算过程中常将运用转化思想 将具体问题转化 构造 为特殊几何体 如三棱锥 正方体 三棱锥 正方体 长方体 三棱柱 四棱柱等长方体 三棱柱 四棱柱等 中问题 并获得去解决 例 1 正四面体的棱长为 则其外接球的表面积为 2 例 2 某多面体的一条棱的正视图是一条长为6的线段 它的俯视图和侧视图是两条长度都等于7的 线段 那么这条棱长为 A A 10 B 7 C 6 D 3 求几何体体积的常规方法是 公式法 割补法 等积 转换 法 比例 性质转换 法等 球的组合体 球与长方体的组合体 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长 球与正方体的组合体 正方体的内切球内切球的直径是正方体的棱长 用心 爱心 专心10 正方体的棱切球棱切球的直径是正方体的面对角线长 正方体的外接球外接球的直径是正方体的体对角线长 球与正四面体的组合体 棱长为的正四面体的内切球的半径为 外接球的半径为 a 6 12 a 6 4 a 三棱锥三棱锥中 侧棱长相等 侧棱与底面所成角相等 顶点在底上射影为底面外心 侧棱两两垂直 两对对棱垂直 顶点在底上射影为底面垂心 斜高长相等 侧面与底面所成相等 且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心 70 简单随机抽样和分层抽样的共同点是每个个体被抽到的概率相等 71 用样本估计总体中 掌握一 表 频率分布表 一 图 频率分布直方图 72 熟悉茎叶图 众数 中位数 平均数 标准差 用频率分布直方图估计众数 中位数 平均数你会吗 73 会求回归直线方程 会进行回归分析 相关系数 r 回归方程一定经过样本点的中心abxy yx 残差平方和 对相关指数有何影响 越接近 1 回归效果如何 2 1 n ii i yy 2 R 2 R 74 掌握独立性检验中的列联表 会通过随机变量和临界表分析判断两个分类变量是否有关2 2 2 K 75 你理解导数的定义吗 00 xx f xxf xy fxlimlim xx 76 几个常用函数的导数公式你记得吗 11 ln aa log xlog e xxa Inaaa xx 77 利用导数如何判断函数的单调性 78 导数与极值 导数与最值如何求 求函数极值的方法 先找定义域 再求导 找出定义域的分界点 列表求出极值 利用导数求最值的步骤 先找定义域 再求出导数为 0 及导数不存在的的点 然后比较定义域的端 点值和导数为 0 的点对应函数值的大小 其中最大的就是最大值 最小就为最小值 注意 在处有是函数在处取极值的必要非充分条件必要非充分条件 0 x 0 0fx f x 0 x 79 应用导数求曲线的切线方程 要以 切点坐标 为桥梁 注意题目中是 在点处处 还是 过过点 80 注意曲线上某点处的导数值就是切线的斜率 导数的几何意义 81 掌握古典概型和几何概型的运算公式和特点 区别有限 无限 82 复数相等和复数等于 0 的充要条件分别是什么 1 a bi c di a c b d a b c d R 2 a b R a bi 0 a b 0 83 复数 z a bi的模如何求 z a bi 22 ba 模的运算性质 z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 2 1 2 1 z z z z 用心 爱心 专心11 z1 z2 n n zz 例 1 已知复数 则 6 3zi z 2 已知复数则 12 3 22 zi zi 1 2 z z 84 复数 a bi a b R 满足什么条件是实数 纯虚数 虚数 85 注意共轭复数的概念及性质 z 2 z 86 注意实部和虚部的概念 虚部有没有包括i呢 注意注意 不全是实数的两个复数之间没有大小关系 87 平面直角坐标系中的伸缩变换公式 例 选修 4 4