2012高考物理 专题复习精品 简谐振动 振动图像（教师版）

用心 爱心 专心 1 第十三章第十三章 机械振动和机械波机械振动和机械波 第一节第一节 简谐振动 振动图像简谐振动 振动图像 基础知识基础知识 一 机械振动一 机械振动 1 机械振动 物体 或物体的一部分 在某一中心位置两侧做的往复运动 振动的特点 存在某一中心位置 往复运动 这是判断物体运动是否是机械振动的条件 产生振动的条件 振动物体受到回复力作用 阻尼足够小 2 回复力 振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力 回复力时刻指向平衡位置 回复力是按效果命名的 可由任意性质的力提供 可以是 几个力的合力也可以是一个力的分力 合外力 指振动方向上的合外力 而不一定是物 体受到的合外力 在平衡位置处 回复力为零 而物体所受合外力不一定为零 如单摆 运动 当小球在最低点处 回复力为零 而物体所受的合外力不为零 3 平衡位置 是振动物体受回复力等于零的位置 也是振动停止后 振动物体所在位置 平衡位置通常在振动轨迹的中点 平衡位置平衡位置 不等于不等于 平衡状态平衡状态 平衡位置是指回复力 为零的位置 物体在该位置所受的合外力不一定为零 如单摆摆到最低点时 沿振动方 向的合力为零 但在指向悬点方向上的合力却不等于零 所以 并不处于平衡状态 二 简谐振动及其描述物理量二 简谐振动及其描述物理量 1 振动描述的物理量 1 位移 由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段 是矢量 其最大值等于振幅 始点是平衡位置 所以跟回复力方向永远相反 位移随时间的变化图线就是振动图象 2 振幅 离开平衡位置的最大距离 是标量 表示振动的强弱 同一装置 振幅越大 振动能量越大 3 周期和频率 完成一次全振动所用的时间为周期 T 每秒钟完成全振动的次数为频率 f 二者都表示振动的快慢 二者互为倒数 T 1 f 当 T 和 f 由振动系统本身的性质决 定时 非受迫振动 则叫固有频率与固有周期是定值 固有周期和固有频率与物体所处的 状态无关 2 简谐振动 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比 并且总指向平衡位置的回复力的 作用下的振动 叫简谐运动 受力特征 回复力 F KX 运动特征 加速度 a 一 kx m 方向与位移方向相反 总指向平衡位置 简谐运动是 一种变加速运动 在平衡位置时 速度最大 加速度为零 在最大位移处 速度为零 加速 度最大 说明 判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特 征 简谐运动中涉及的位移 速率 加速度的参考点 都是平衡位置 三 弹簧振子 三 弹簧振子 1 一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子 一般 来讲 弹簧振子的回复力是弹力 水平的弹簧振子 或弹力和重力的合力 竖直的弹簧振子 提供的 弹簧振子与质点一样 是一个理想的物理模型 2 弹簧振子振动周期 T 2km 只由振子质量和弹簧的劲 度决定 与振幅无关 也 a o c b 图 24 A 4 用心 爱心 专心 2 与弹簧振动情况 如水平方向振动或竖直方向振动或在光滑的斜面上振动或在地球上或在月 球上或在绕地球运转的人造卫星上 无关 3 可以证明 竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动 周期公式也是 k m T 2 这个结 论可以直接使用 4 在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力 在竖直方向上振动的弹簧振子的 回复力是弹簧弹力和重力的合力 例例 1 1 如图所示 在质量为 M 的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为 m M m 的 D B 两物体 箱子放在水平地面上 平衡后剪断 D B 间的连线 此后 D 将做简谐运动 当 D 运动到最高点时 木箱对地压力为 A Mg B M m g C M m g D M 2m g 解析 当剪断 D B 间的连线后 物体 D 与弹簧一起可当作弹簧振子 它 们将作简谐运动 其平衡位置就是当弹力与 D 的重力相平衡时的位置 初 始运动时 D 的速度为零 故剪断 D B 连线瞬间 D 相对以后的平衡位置的距 离就是它的振幅 弹簧在没有剪断 D B 连线时的伸长量为 x1 2 mg k 在振动过程中的平衡位置时的伸长量为 x2 mg k 故振子振动过程中的振幅为 A x2 x1 mg k D 物在运动过程中 能上升到的最大高度是离其平衡位移为 A 的高度 由于 D 振动过程 中的平衡位置在弹簧自由长度以下 mg k 处 刚好弹簧的自由长度处就是物 D 运动的最高点 说明了当 D 运动到最高点时 D 对弹簧无作用力 故木箱对地的压力为木箱的重力 Mg 点评点评 一般说来 弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置 然后找出当 振子速度为零时的位置 这两个位置间的距离就是振幅 本题侧重在弹簧振子运动的对称 性 解答本题还可以通过求 D 物运动过程中的最大加速度 它在最高点具有向下的最大加速 度 说明了这个系统有部分失重 从而确定木箱对地面的压力 四 振动过程中各物理量的变化情况四 振动过程中各物理量的变化情况 说明 简谐运动的位移 回复力 加速度 速度都随时间做周期性变化 正弦或余弦函数 变化周期为 T 振子的动能 势能也做周期性变化 周期为 T 2 凡离开平衡位置的过程 v Ek均减小 x F a EP均增大 凡向平衡位置移动时 v Ek均增大 x F a EP均减小 振子运动至平衡位置时 x F a 为零 EP最小 v Ek最大 当在最大位移时 x F a EP最大 v Ek最为零 在平衡位置两侧的对称点上 x F a v Ek EP的大小均相同 但要注意方向 例例 2 2 如图所示 一弹簧振子在振动过程中 经 a b 两点的速度相同 若它从 a 到 b 历时 0 2s 从 b 再回到 a 的最短时间为 0 4s 则该振子的振动频率为 A 1Hz B 1 25Hz C 2Hz D 2 5Hz 解析解析 振子经 a b 两点速度相同 根据弹簧振子的运动特 点 不难判断 a b 两点对平衡位置 O 点 一定是对称的 振子由 b 经 O 到 a 所用的时间也是 0 2s 由于 从 b 再回 到 a 的最短时间是 0 4s 说明振子运动到 b 后是第一次回 到 a 点 且 Ob 不是振子的最大位移 设图中的 c d 为最大位移处 则振子从 b c b 历时 0 2s 同理 振子从 a d a 也历时 0 2s 故该振子的周期 T 0 8s 根据周期和频率 互为倒数的关系 不难确定该振子的振动频率为 1 25Hz 综上所述 本题应选择 B 五 简谐运动图象五 简谐运动图象 用心 爱心 专心 3 1 物理意义 表示振动物体 或质点 的位移随时间变化的规律 2 坐标系 以横轴表示时间 纵轴表示位移 用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得 3 特点 简谐运动的图象是正弦 或余弦 曲线 4 应用 可直观地读取振幅 A 周期 T 以及各时刻的位移 x 判定各时刻的回复力 速度 加速度方向 判定某段时间内位移 回复力 加速度 速度 动能 势能 等物理量的变化情况 注意 振动图象不是质点的运动轨迹 计时点一旦确定 形状不变 仅随时间向后延伸 简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关 规律方法规律方法 1 1 简谐运动的特点 简谐运动的特点 例例 3 3 一弹簧振子作简谐振动 周期为 T A 若 t 时刻和 t t 时刻振子运动位移的大小相等 方 向相同 则 t 一定等于 T 的整数倍 B 若 t 时刻和 t t 时刻振子运动速度的大小相等 方 向相反 则上 t 一定等于 T 2 的整数倍 C 若 t T 则在 t 时刻和 t t 时刻振子运动的加速 度一定相等 D 若 t T 2 则在 t 时刻和 t 十 t 时刻弹簧的长度一 定相等 解析解析 做简谐运动时 振子由平衡位置到最大位移 再由最大位移回到平衡位置 两次经过 同一点时 它们的位移大小相等 方向相同 其时间间隔并不等于周期的整数倍 选项 A 错 误 同理在振子由指向最大位移 到反向最大位移的过程中 速度大小相等 方向相反的位 里之间的时间间隔小于 T 2 选项 B 错误 相差 T 2 的两个时刻 弹黄的长度可能相等 振 子从平衡位置开始振动 再回到平衡位置时 弹簧长度相等 也可能不相等 选项 D 错误 若 t T 则根据周期性 该振子所有的物理量应和 t 时刻都相同 a 就一定相等 所以 选项 C 正确 本题也可通过振动图像分析出结果 请你自己尝试一下 例例 4 4 如图所示 一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动 O 为平衡位置 A B 为最大位移处 当振子由 A 点从静止开始振动 测得第二次经过平衡位置所用时间为 t 秒 在 O 点上方 C 处 有一个小球 现使振子由 A 点 小球由 C 点同时从静止释放 它们恰好到 O 点处相碰 试求 小球所在 C 点的高度 H 是多少 解析解析 由已知振子从 A 点开始运动 第一次经过 O 点的时间是 1 4 周期 第二次经过 O 点是 3 4 周期 设其周期 T 所以有 t 3T 4 T 4t 3 振子第一次到 O 点的时间为 3 t 振子第二次到点的时间为 32 tT 振子第三次到 O 点的时间为2 32 tT A 第 n 次到 O 点的时 间为 32 tT n A n 0 1 2 3 C 处小球欲与振子相碰 它和振子运动的时间应该是相等的 小球做自由落体运动 所以有 22 2 2 11 4 21 232232 318 tTgttg Hgnnnt A 2 2 弹簧振子模型 弹簧振子模型 例例 5 5 如图所示 质量为 m 的物块 A 放在木板 B 上 而 B 固定在竖直的轻弹簧 用心 爱心 专心 4 上 若使 A 随 B 一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离 则充当 A 的回复力的是 当 A 的速度达到最大时 A 对 B 的压力大小为 解析解析 根据题意 只要在最高点 A B 仍能相对静止 则它们就会始终不脱离 而在 最高点 外界对 A 所提供的最大回复力为 mg 即最大加速度 amax g 故 A B 不脱离 的条件是 a g 可见 在振动过程中 是 A 的重力和 B 对 A 的支持力的合力充当回 复力 因为 A 在系统的平衡位置时 速度最大 此时 A 所受重力与 B 对它的支持力的 合力为零 由牛顿第三定律可知 a 对 B 的压力大小等于其重力 mg 3 3 利用振动图像分析简谐振动 利用振动图像分析简谐振动 例例 6 6 一弹簧振子沿 x 轴振动 振幅为 4 cm 振子的平衡位置位于 x 袖上的 0 点 图 甲中的 a b c d 为四个不同的振动状态 黑点表示振子的位置 黑点上箭头表示运动的方 向 图乙给出的 四条振动图线 可用于表示振子的振动图象是 AD A 若规定状态 a 时 t 0 则图象为 B 若规定状态 b 时 t 0 则图象为 C 若规定状态 c 时 t 0 则图象为 D 若规定状态 d 时 t 0 则图象为 解析解析 若 t 0 质点处于 a 状态 则此时 x 3 cm 运动方向为正方向 只有图 对 若 t 0 时质点处于 b 状态 此时 x 2 cm 运动方向为负方向 图不对 若取处于 C 状态 时 t 0 此时 x 2 cm 运动方向为负方向 故图 不正确 取状态 d 为 t 0 时 图 刚好 符合 故 A D 正确 点评 对振动图象的理解和掌握要密切联系实际 既能根据实际振动画出振动图象 又能根 据振动图象还原成一个具体的振动 达到此种境界 就可熟练地用图象分析解决振动 第二节第二节 单摆 振动中的能量单摆 振动中的能量 基础知识基础知识 一 单摆一 单摆 1 单摆 在细线的一端挂上一个小球 另一端固定在悬点上 如果线的伸缩和质量可以忽 略 球的直径比线长短得多 这样的装置叫做单摆 这是一种理想化的模型 一般情况下细线 杆 下接一个小球的装置都可作为单摆 2 单摆振动可看做简谐运动的条件是 在同一竖直面内摆动 摆角 50 3 单摆振动的回复力是重力的切向分力 不能说成是重力和拉力的合力 在平衡位置振子 所受回复力是零 但合力是向心力 指向悬点 不为零 4 单摆的周期 当 L g 一定 则周期为定值 T 2 gl 与小球是否运动无关 与摆球 质量m 振幅A都无关 其中摆长 l 指悬点到小球重心的距离 重力加速度为单摆所 在处的测量值 要区分摆长和摆线长 5 小球在光滑圆弧上的往复滚动 和单摆完全等同 只要摆角足够小 这个振动就是 简谐运动 这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差 6 秒摆 周期为 2s 的单摆 其摆长约为 lm 例例 7 7 如图为一单摆及其振动图象 回答 1 单摆的振幅为 频率为 摆长为 一周期内位 移 x F回 a Ep 最大的时刻为 解析解析 由纵坐标的最大位移可直接读取振幅为 3crn 横坐标 可直接读取完成一个全振动即一个完整的正弦曲线所占据的 时间 轴长度就是周期 T 2s 进而算出频率 f 1 T 0 5Hz 用心 爱心 专心 5 算出摆长 l gT2 4 2 1m 从图中看出纵坐标有最大值的时刻为 0 5 s 末和 1 5s 末 2 若摆球从 E 指向 G 为正方向 为最大摆角 则图象中 O A B C 点分别对应单摆中 的 点 一周期内加速度为正且减小 并与速度同方向的时间范围是 势 能增加且速度为正的时间范围是 解析解析 图象中 O 点位移为零 O 到 A 的过程位移为正 且增大 A 处最大 历时 1 4 周期 显然摆球是从平衡位置 E 起振并向 G 方向运动的 所以 O 对应 E A 对应 G A 到 B 的过程分 析方法相同 因而 O A B C 对应 E G E F 点 摆动中 EF 间加速度为正 且靠近平衡位置过程中加速度逐渐减小 所以是从 F 向 E 的 运动过程 在图象中为 C 到 D 的过程 时间范围是 1 5 2 0s 间 摆球远离平衡位置势能增加 即从 E 向两侧摆动 而速度为正 显然是从 E 向 G 的过 程 在图象中为从 O 到 A 时间范围是 0 0 5 s 间 3 单摆摆球多次通过同一位置时 下述物理量变化的是 A 位移 B 速度 C 加速度 D 动量 E 动能 F 摆线张力 解析解析 过同一位置 位移 回复力和加速度不变 由机械能守恒知 动能不变 速率也不变 摆线张力 mgcos m v2 L 也不变 由运动分析 相邻两次过同一点 速度方向改变 从而 动量方向也改变 故选 B D 4 当在悬点正下方 O 处有一光滑水平细钉可挡住摆线 且EO EO 则单摆周期 为 s 比较钉挡绳前后瞬间摆线的张力 解析解析 放钉后改变了摆长 因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期 前已求出摆线长为 lm 所以 T左 gl 1s 钉右侧的半个周期 T右 gl 4 0 5s 所以 T T左十 T右 1 5s 由受力分析 张力 T mg mv2 L 因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变 球重力不变 挡后摆线长为挡前的 1 4 所以挡后绳张力变大 5 若单摆摆球在最大位移处摆线断了 此后球做什么运动 若在摆球过平衡位置时摆线 断了 摆球又做什么运动 解析解析 问题的关键要分析在线断的时间 摆球所处的运动状态和受力情况 在最大位移处线 断 此时球速度为零 只受重力作用 所以球做自由落体运动 在平衡位置线断 此时球有 最大水平速度 又只受重力 所以做平抛运动 例例 8 8 有一个单摆 其摆长为 l 摆球的质量为 m 从和竖直方向成摆角 的位置无初速度 开始运动 如图所示 问 1 已知全振动的次数为 n 次 用了时间 t 重力加速度 g 多大 2 摆球的最大回复力多大 3 摆球经过最低点时速度多大 4 此时悬线拉力为多大 解析 1 50 单摆做简谐运动 其周期 T t n 60 8 30 s 2 027 s 根据 T 2gL 得 g 4 1 02 2 0272 9 791 m s2 2 最大回复力为 F1 mgsin4o 0 1 9 791 0 0698 N 0 068 N 3 单摆振动过程中 重力势能与动能互相转化 不考虑阻力 机械能守恒 其总机械能 E 等于摆球在最高处的重力势能 E 或在最低处的速度 v 0 4cos12 gL 0 219 m s 用心 爱心 专心 6 4 由 T mg mv2 L 得 悬线拉力为 T mg 十 mv2 L 0 l 10 十 0 l 0 2l92 1 02 0 52 N 5 秒摆的周期 T 2 s 设其摆长为 L0 根据 T 2gL 得 g 不变 则 T L即 T T0 L 0 L 故 L0 T02L T2 22 l 02 2 0272 0 993m 其摆长要缩短 L L L0 l 02 m 0 993 m 0 027m 二 振动的能量二 振动的能量 1 对于给定的振动系统 振动的动能由振动的速度决定 振动的势能由振动的位移决定 振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和 2 振动系统的机械能大小由振幅大小决定 同一系统振幅越大 机械能就越大 若无能量 损失 简谐运动过程中机械能守恒 做等幅振动 3 阻尼振动与无阻尼振动 1 振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动 2 振幅不变的振动为等幅振动 也叫做无阻尼振动 注意 注意 等幅振动 阻尼振动是从振幅是否变化的角度来区分的 等幅振动不一定不受阻力 作用 4 受迫振动 1 振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动 2 受迫振动稳定时 系统振动的频率等于驱动力的频率 跟系 统 的固有频率无关 5 共振 1 当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时 物体的振幅最 大的现象叫做共振 2 条件 驱动力的频率等于振动系统的固有频率 3 共振曲线 如图所示 例例 9 9 行驶着的火车车轮 每接触到两根钢轨相接处的缝隙时 就受到一次撞击使车厢在支 着它的弹簧上面振动起来 已知车厢的固有同期是 0 58s 每根钢轨的长是 12 6 m 当车 厢上 下振动得最厉害时 火车的车速等于 m s 解析解析 该题应用共振的条件来求解 火车行驶时 每当通过铁轨的接缝处就会受到一次 冲击力 该力即为策动力 当策动周期 T策和弹簧与车厢的国有周期相等时 即发生共振 即 T策 T固 0 58 s T策 t L v 将 代入 解得 v L 0 58 21 7 m s 答案答案 21 7m s 规律方法规律方法 1 1 单摆的等效问题 单摆的等效问题 等效摆长 如图所示 当小球垂直纸面方向运动时 摆长为 CO 等效重力加速度 当单摆在某装置内向上运动加速度为 a 时 T 2 agl 当向上减速时 T 2 agl 影响回复力的等效加速度可以 这样求 摆球在平衡位置静止时 摆线的张力 T 与摆球质量的比值 3 3 单摆的综合应用 单摆的综合应用 例例 1010 图中两单摆摆长相同 平衡时两摆球刚好触 现将摆球 A 在两摆线所在平面向左拉开 一小角度后释放 碰撞后 两球分开各自做简谐运动 以 mA mB分别表示摆球 A B 的质量 用心 爱心 专心 7 则 A 如果 mA mB 下一次碰撞将发生在平衡位置右侧 B 如果 mA mB 下一次碰撞将发生在平衡位置左侧 C 无论两摆球的质量之比是多少 下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧 D 无论两摆球的质量之比是多少 下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧 解析解析 由于两球线长相等 所以两球做单摆运动的周期必然相等 两球相碰后有这几种可能 碰后两球速度方向相反 这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等 故两 球只能在平衡位置相遇 碰后两球向同一方向运动 则每个球都先到达最大位移处然后返回 平衡位置 所用的时间也都是半个周期 两球仍只能在平衡位置相遇 碰后一球静止 而另一 球运动 则该球先到最大位移又返回到平衡位置 所用时间还是半个周期 在平衡位置相遇 因此 不管 mA mB 还是 mA mB 还是 mA mB 无论摆球质量之比为多少 下一次碰撞 都只能发生在平衡位置 也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧 所以选项 C D 正 确 拓展拓展 两球的碰撞是否是弹性碰撞 例例 1111 如图所示 AB 为半径 R 7 50 m 的光滑的圆弧形导轨 BC 为长 s 0 90m 的光滑水平 导轨 在 B 点与圆弧导轨相切 BC 离地高度 h 1 80 m 一质量 m1 0 10 kg 的小球置于边缘 C 点 另一质量 m2 0 20 kg 的小球置于 B 点 现给小球 m1一个瞬时冲量使它获得大小为 0 90 m s 的水平向右速度 当 m1运动到 B 时与 m2发生弹性正碰 g 取 10 m s2 求 1 两球落地的时间差 t 2 两球落地点之间的距离 s 解析 1 m1与 m2发生弹性正碰 则设碰后 m1和 m2速度分别为 v1 和 v2 有 101 122 mvmvm v 2 2 2 101122 111 222 mvmvm v 得 v1 一 0 3 m s v 2 0 6 m s 可见 m1以 0 3 m s 速度反弹 从 B 到 C t s v1 3s m2以 0 6 m s 速度冲上圆弧轨道 可 证明 m2运动可近似为简谐运动 在圆弧上运动时间为 2 TR g 2 72 s 再从 B 到 C t2 s v2 1 5s 则 t t2 T 2 一 t1 1 22 s 2 利用平抛运动知识不难求得 s 0 18 m 第三节第三节 波的性质与波的图像波的性质与波的图像 基础知识基础知识 一 机械波一 机械波 1 定义 机械振动在介质中传播就形成机械波 2 2 产生条件 产生条件 1 有做机械振动的物体作为波源 2 有能传播机械振动的介质 3 3 分类 分类 横波 质点的振动方向与波的传播方向垂直 凸起部分叫波峰 凹下部分叫波谷 纵波 质点的振动方向与波的传播方向在一直线 上 质点分布密的叫密部 疏的部分叫疏部 液体和 气体不能传播横波 4 机械波的传播过程 1 机械波传播的是振动形式和能量 质点只在各自的平衡位置附近做振动 并不 用心 爱心 专心 8 随波迁移 后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动 2 介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同 3 由波源向远处的各质点都依次重复波源的振动 二 描述机械波的物理量二 描述机械波的物理量 1 波长 两个相邻的 在振动过程中相对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波 长 在横波中 两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离 在纵波中两相邻的的密部 或 疏部 中央间的距离 振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长 2 周期与频率 波的频率由振源决定 在任何介质中传播波的频率不变 波从一种介质进 入另一种介质时 唯一不变的是频率 或周期 波速与波长都发生变化 3 波速 单位时间内波向外传播的距离 v s t T fv s t T f 波速的大小由介质决定 三 说明三 说明 波的频率是介质中各质点的振动频率 质点的振动是一种受迫振动 驱动力来 源于波源 所以波的频率由波源决定 是波源的频率 介质对波的传播速度由介质决定 与振动频率无关 介质对波的传播速度由介质决定 与振动频率无关 波长是质点完成一次全振动所传播的距离 所以波长的长度与波速 v 和周期 T 有关 即波 长由波源和介质共同决定 由以上分析知 波从一种介质进入另一种介质 频率不会发生变化波从一种介质进入另一种介质 频率不会发生变化 速度和波长将发生 改变 振源的振动在介质中由近及远传播 离振源较远些的质点的振动要滞后一些 这样各 质点的振动虽然频率相同 但步调不一致 离振源越远越滞后 沿波的传播方向上 离波源 一个波长的质点的振动要滞后一个周期 相距一个波长的两质点振动步调是一致的 反之 相距 1 2 个波长的两质点的振动步调是相反的 所以与波源相距波长的整数倍的质点与波源 的振动同步 同相振动 与波源相距为 1 2 波长的奇数倍的质点与波源派的振动步调相反 反相振动 例例 1212 一简谐横波的波源的振动周期为 1s 振幅为 1crn 波速为 1m s 若振源质点从平 衡位置开始振动 且从振源质点开始振动计时 当 t 0 5s 时 A 距振源 处的质点的位移处于最大值 B 距振源 处的质点的速度处于最大值 C 距振源 处的质点的位移处于最大值 D 距振源 处的质点的速度处于最大值 解析解析 根据题意 在 0 5s 内波传播的距离 x vt 0 5m 即 x 也就是说 振动刚好传播到 处 因此该处的质点刚要开始振动 速度和位移都是零 所以选项 C D 都是不对的 振源的振动传播到距振源 位置需要的时间为 T 4 0 25s 所以在振源开始 振动 0 5 s 后 处的质点 振动了 0 25 s 即 1 4 个周期 此时该质点应处于最大位 移处 速度为零 答案答案 A 四 波的图象四 波的图象 1 波的图象 坐标轴 取质点平衡位置的连线作为 x 轴 表示质点分布 的顺序 取过波源质点的振动方向作为 Y 轴表示质点位移 意义 在波的传播方向上 介质中质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移 形状 正弦 或余弦 图线 因而画波的图象 要画出波的图象通常需要知道波长 振幅 A 波的传播方向 或波源的方位 横轴上某质点 在该时刻的振动状态 包括位移和振动方向 这四个要素 2 简谐波图象的应用 从图象上直接读出波长和振幅 可确定任一质点在该时刻的位移 x yc m m m 0 0 6 1 2 0 05 0 05 图 26 A 1 用心 爱心 专心 9 可确定任一质点在该时刻的加速度的方向 若已知波的传播方向 可确定各质点在该时刻的振动方向 若已知某质点的振动方向 可 确定波的传播方向 若已知波的传播方向 可画出在 t 前后的波形 沿传播方向平移 s v t 规律方法规律方法 1 1 机械波的理解 机械波的理解 例例 1313 地震震动以波的形式传播 地震波有纵波和横波之分 1 图中是某一地震波的传播图 其振幅为 A 波长为 某一时刻某质点的坐标为 0 经 1 4 周期该质点的坐标是多少 该波是纵波还是横波 A 纵波 5 4 0 B 横波 A C 纵波 A D 横波 5 4 A 解析 1 由题图知 该地震波为横波 即传播方向与振动方向垂直 某质点的坐标 0 即为图中 a 点 经 1 4 周期 a 点回到平衡位置下面的最大位移处 即位移大小等于振幅 坐标为 A 水平方向质点并不随波逐流 故答案为 B 2 2 质点振动方向和波的传播方向的判定 质点振动方向和波的传播方向的判定 1 在波形图中 由波的传播方向确定介质中某个质点 设为质点 A 的振动方向 即振动时的速度方向 逆着波的传播方向 在质 点 A 的附近找一个相邻的质点 B 若质点 B 的位置在质点 A 的负方向 处 则 A 质点应向负方向运动 反之 则向正方向运动如图中所示 图中的质点 A 应向 y 轴的正方向运动 质点 B 先于质点 A 振动 A 要 跟随 B 振动 2 在波形图中 由质点的振动方向确定波的传播方向 若质点 C 是沿 Y 轴负方向运动 在 C 质点位置的负方向附近找一相邻的质点 D 若质点 D 在质点 C 位置 X 轴的正方向 则波 由 X 轴的正方向向负方向传播 反之 则向 X 轴的正方向传播 如图所示 这列波应向 X 轴 的正方向传播 质点 c 要跟随先振动的质点 D 的振动 具体方法为 带动法 根据波的形成 利用靠近波源的点带动它邻 近的离波源稍远的点的道理 在被判定振动方向的点 P 附近 不超过 4 图象上靠近波源一方找另一点 P 若 P 在 P 上方 则 P 带动 P 向上运动如图 若 P 在 P 的下方 则 P 带动 P 向下运动 上下坡法 沿着波的传播方向走波形状上下坡法 沿着波的传播方向走波形状 山路山路 从 从 谷谷 到到 峰峰 的上坡阶段上各点都的上坡阶段上各点都 是向下运动的 从是向下运动的 从 峰峰 到到 谷谷 的下坡阶段上各点都是向上运动的 即的下坡阶段上各点都是向上运动的 即 上坡下 下坡上上坡下 下坡上 微平移法 将波形沿波的传播方向做微小移动 x v t 4 则可判定 P 点沿 y 方 向的运动方向了 反过来已知波形和波形上一点 P 的振动方向也可判定波的传播方向 例例 1414 如图所示 a b 是一列横波上的两个质点 它们在 X 轴上的距离 s 30m 波沿 x 轴正 方向传播 当 a 振动到最高点时 b 恰好经过平衡位置 经过 3s 波传播了 30m 并且 a 经过 平衡位置 b 恰好到达最高点 那么 A 这列波的速度一定是 10 m s B 这列波的周期可能是 0 8s C 这列波的周期可能是 3s D 这列波的波长可能是 24 m 解析解析 因波向外传播是匀速推进的 故 v S t 10m s 设这列波 的振动周期为 T 由题意知经 3s a 质点由波峰回到平衡位置 可得 T 4 十 nT 2 3 n 1 2 用心 爱心 专心 10 另由 v T 得波长 12 120 n n 0 1 2 在 n 2 时 对应的波长 24 m 在 n 7 时 T 0 8s 故选项 A B D 正确 答案答案 ABD 点评点评 本题在写出周期 T 的通式时即应用了 特殊点法 对 a 质点 同波峰回到平衡位置 需 T 4 时间 再经 T 2 又回到平衡位置 这样即可写出 T 的通式 当然 若考虑质点 b 也能写出这样的通式 同时须注意到开始时 b 恰好经过平衡位置 包括向上通过平衡位 置和向下通过平衡位置这两种情况 例例 1515 一列波在介质中向某一方向传播 图所示的为此波在某一时刻的波形图 并且此时振 动还只发生在 M N 之间 此列波的周期为 T Q 质点速度方向在波形图中是向下的 下列判 断正确的是 A 波源是 M 由波源起振开始计时 P 质点已经振动的时间为 T B 波源是 N 由波源起振开始计时 P 点已经振动的时间为 3 T 4 C 波源是 N 由波源起振开始计时 P 点已经振动的时间为 T 4 D 波源是 M 由波源起振开始计时 P 点已经振动的时间为 T 4 解析 若波源是 M 则由于 Q 点的速度方向向下 在 Q 点的下向找一相邻的质点 这样的质 点在 Q 的右侧 说明了振动是由右向左传播 N 点是波源 图示时刻的振动传到 M 点 P 与 M 点相距 4 则 P 点已经振动了 T 4 故 C 选项正确 点评点评 本题关键是由质点的运动方向确定波的传播方向 从而确定波源的位置 例例 1515 如图所示 O 为上下振动的波源 振动频率为 100Hz 它所产生的横波同时向左 向右传播 波速为 80 m s M N 两质点距波源的距离分别为 OM 17 4m ON 16 2m 当波源通过平衡位置向 上振动时 M N 两质点的位置分别为 A M 点在波峰 N 点在波谷 B M N 两点均在波峰 C N 点在波峰 M 点在波谷 D M N 两点均在波谷 解析 由题意可知该列波的波长为 v f 80 100m 0 8m M N 两点与波源的距离分 别为 OM 17 4m 21 3 4 ON 16 2m 20 l 4 A 这说明 M N 两点为反 相点 当波源 O 在平衡位置向上振动时波形图如图所示 图中的 P 点与 M 点是同相点 Q 点 与 N 点是同相点 所以 M 在波峰 N 点在波谷 A 选项正确 点评点评 本题关键有两点 当波源 O 由平衡位置向上运动时 波源两侧的质点的波形图的形状 也就是确定如图的波形图 O 两侧相邻的质点均追随 O 点向上运动且在 O 点的下方 在 O 点 的附近寻找 M N 两点的同相点 P Q 3 3 已知波速 已知波速 V V 和波形 画出再经和波形 画出再经 t t 时间波形图的方法 时间波形图的方法 1 平移法 先算出经 t 时间波传播的距离上 x V t 再把波形沿波的传播方向平 移动 x 即可 因为波动图象的重复性 若知波长 则波形平移 n 时波形不变 当 x n 十 x 时 可采取去整 n 留零 x 的方法 只需平移 x 即可 2 特殊点法 若知周期 T 则更简单 在波形上找两特殊点 如过平衡位置的点和与它相邻的峰 谷 点 先确定这两点的振 动方向 再看 t nT t 由于经 nT 波形不变 所以也采取去整 nT 留零 t 的方法 分 别做出两特殊点经 t 后的位置 然后按正弦规律画出新波形 例例 1616 图是某时刻一列横波在空间传播的波形图线 已知波 是沿 x 轴正方向传播 波速为 4m s 试计算并画出经过此时 之后 1 25s 的空间波形图 解析 由波形图已知 0 08m 由 T v 0 08 4 0 02s 经过 M O N 用心 爱心 专心 11 t 1 25s 即相当于 1 25 0 02 62 5 个周期 而每经过一个周期 波就向前传播一个波长 经 过 62 5 个周期 波向前传播了 62 5 个波长 据波的周期性 当经过振动周期的整数倍时 波只是向前传播了整数倍个波长 而原有波形不会发生改变 所以可以先画出经过 1 2 周期 后的波形 如图 再将此图向前扩展 62 个波长即为题目要求 波形如图 例例 1717 一列简谐横波向右传播 波速为 v 沿波传播方向上有相距为 L 的 P Q 两质点 如 图 15 所示 某时刻 P Q 两质点都处于平衡位置 且 P Q 间仅有一个波峰 经过时间 t Q 质点第一次运动到 波谷 则 t 的可能 值 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 由题意 某时刻 P Q 两质点都处于平衡位置 且 P Q 间仅有一个波峰 符合这 一条件的波形图有 4 个 如图所示 显然 Q 质点第一次运动到 波谷所需的时间 t 的可能值有 4 个 故 D 选项正确 例例 1818 一列简谐横波在传播方向上相距为 3 米的两个质点 P 和 Q 的振动图象分别用图中的实 线和虚线表示 若 P 点离振源较 Q 点近 则该波的波长值可能为多少 若 Q 点离振源较 P 点 近 则该波的波长值又可能为多少 分析 由图可知 T 4s P 近 波由 P 向 Q 传 P 先振动 Q 后振动 t Kt 3T 4 所以 SPQ k 3 4 则 3k4 12 3k4 34 k 0 1 2 若 Q 近 波由 Q 向 P 传 Q 先振动 P 后振动 t Kt T 4 所以 SPQ k 4 则 1k4 12 1k4 34 k 0 1 2 4 4 已知振幅 已知振幅 A A 和周期和周期 T T 求振动质点在 求振动质点在 t t 时间内的路程和位移 时间内的路程和位移 求振动质点在 t 时间内的路程和位移 由于牵涉质点的初始状态 需用正弦函数较复 杂 但 t 若为半周期 T 2 的整数倍则很容易 在半周期内质点的路程为 2A 若 t n T 2 n 1 2 3 则路程 s 2A n 其中 n 2 T t 当质点的初始位移 相对平衡位置 为 x1 x0时 经 T 2 的奇数倍时 x2 x0 经 T 2 的偶数倍时 x2 x0 例例 1919 如图所示 在 xOy 平面内有一沿 x 轴正方向传播的简谐振动横波 波速为 1m s 振幅为 4cm 频率为 2 5Hz 在 t 0 时刻 P 点位于其平衡位置上方最大位移处 则距 P 点为 0 2m 的 Q 点 A 在 0 1s 时的位移是 4cm B 在 0 1s 时的速度最大 C 在 0 1s 时的速度向下 D 在 0 到 0 1s 的时间内路程是 4cm 解析 1 0 4 2 5 v m f P 与 Q 相距 2 先画出若干个波 ACBD P Q 用心 爱心 专心 12 长的波形 经过 0 1s 也就是 T 4 后 Q 点将回到平衡位置 且向上运动 B 项正确 在 0 到 0 1s 时间内通过的路程为振幅 即 4cm D 项正确 拓展 若求经 t 2 5s 时 Q 的路程和 Q 的位移 如何求 第四节第四节 专题 振动图像与波的图像及多解问题专题 振动图像与波的图像及多解问题 基础知识基础知识 一 振动图象和波的图象一 振动图象和波的图象 振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象 波动是全部质点联合起来共同呈现的现象 简谐运动和其引起的简谐波的振幅 频率相同 二者的图象有相同的正弦 余弦 曲线形 状 但二图象是有本质区别的 见表 振动图象波动图象 研究对象一振动质点沿波传播方向所有质点 研究内容一质点的位移随时间的变化规律某时刻所有质点的空间分布规律 图线 物理意义表示一质点在各时刻的位移表示某时刻各质点的位移 图线变化 随时间推移图延续 但已有形状 不变 随时间推移 图象沿传播方向平 移 一完整曲线占横坐标 距离 表示一个周期表示一个波长 例例 2020 如图 6 27 所示 甲为某一波动在 t 1 0s 时的图象 乙为参与该波动的 P 质点的振 动图象 1 说出两图中 AA 的意义 2 说出甲图中 OA B 图线的意义 3 求该波速 v 4 在甲图中画出再经 3 5s 时的波形图 5 求再经过 3 5s 时 p 质点的路程 S 和位 移 解析解析 1 甲图中 AA 表示 A 质点的振幅或 1 0s 时 A 质点的位移大小为 0 2m 方向为 负 乙图中 AA 表示 P 质点的振幅 也是 P 质点在 0 25s 的位移大小为 0 2m 方向为 负 2 甲图中 OA B 段图线表示 O 到 B 之间所有质点在 1 0s 时的位移 方向均为负 由乙图 看出 P 质点在 1 0s 时向一 y 方向振动 由带动法可知甲图中波向左传播 则 OA 间各质点 正向远离平衡位置方向振动 A B 间各质点正向靠近平衡位置 方向振动 3 甲图得波长 4 m 乙图得周期 T 1s 所以波速 v T 4m s 4 用平移法 x v t 14 m 3 十 所以只需将波形向 x 轴负向平移 2m 即可 如图 6 28 所示 用心 爱心 专心 13 5 求路程 因为 n 2 T t 7 所以路程 S 2An 2 0 2 7 2 8m 求位移 由于波动的重复性 经历时间为周期的整数倍时 位移不变 所以只需考查从 图示时刻 p 质点经 T 2 时的位移即可 所以经 3 5s 质点 P 的位移仍为零 例例 2121 如图所示 1 为某一波在 t 0 时 刻的波形图 2 为参与该波动的 P 点的振 动图象 则下列判断正确的是 A 该列波的波速度为 4m s B 若 P 点的坐标为 xp 2m 则该列波 沿 x 轴正方向传播 C 该列波的频率可能为 2 Hz D 若 P 点的坐标为 xp 4 m 则该列波沿 x 轴负方向传播 解析解析 由波动图象和振动图象可知该列波的波长 4m 周期 T 1 0s 所以波速 v T 4m s 由 P 质点的振动图象说明在 t 0 后 P 点是沿 y 轴的负方向运动 若 P 点的坐标为 xp 2m 则说明波是沿 x 轴负方向传播的 若 P 点的坐标为 xp 4 m 则说明波是沿 x 轴的正 方向传播的 该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定 频率也就唯一地被确定为 f l t 0Hz 综上所述 只有 A 选项正确 点评点评 当一列波某一时刻的波动图象已知时 它的波长和振幅就被唯一地确定 当其媒 质中某质点的振动图象已知时 这列波的周期也就被唯一地确定 所以本题中的波长 周 期 T 波速 v 均是唯一的 由于质点 P 的坐标位置没有唯一地确定 所以由其振动图象可知 P 点在 t 0 后的运动方向 再由波动图象确定波的传播方向 二 波动图象的多解二 波动图象的多解 波动图象的多解涉及 1 波的空间的周期性 2 波的时间的周期性 3 波的双向性 4 介质中两质点间距离与波长关系未定 5 介质中质点的振动方向未定 1 波的空间的周期性 相距为波长整数倍的多个质点振动情况完全相同 2 波的时间的周期性 波在传播过程中 经过整数倍周期时 其波的图象相同 3 波的双向性 4 介质中两质点间的距离与波长关系未定 在波的传播方向上 如果两个质点间的距离不确定 就会形成多解 解题时若不能联想 到所有可能情况 易出现漏解 5 介质中质点的振动方向未定 在波的传播过程中 质点振动方向与传播方向联系 若某一质点振动方向未确定 则波 的传播方向有两种 这样形成多解 说明 波的对称性 波源的振动要带动它左 右相邻介质点的振动 波要向左 右两方 向传播 对称性是指波在介质中左 右同时传播时 关于波源对称的左 右两质点振动情况 完全相同 例例 2222 一列在 x 轴上传播的简谐波 在 xl 10cm 和 x2 110cm 处的两个质点的振动图象如图所示 则质点振动的 周期为 s 这列简谐波的波长为 cm 解析 由两质点振动图象直接读出质点振动周期为 4s 由于没有说明波的传播方向 本题就有两种可能性 1 波沿 x 轴的正方向传播 在 t 0 时 x1在正最大位移处 x2在 用心 爱心 专心 14 平衡位置并向 y 轴的正方向运动 那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性 也 就 x2一 x1 n 十 1 4 400 1 十 4n cm 2 波沿 x 轴负方向传播 在 t 0 时 x1在正最大位移处 x2在平衡位置并向 y 轴的正方 向运动 那么这两个质点间的相对位置就有如图所示的可能性 x2一 x1 n 十 3 4 400 3 4n cm 点评点评 由于波在媒质中传播具有周期性的特点 其波形图每经过一个周期将重复出现以前的 波形图 所以由媒质中的质点的振动图象确定波长的值就不是唯一的 若要是唯一的 就得 有两个前提 一个是确定波传播方向 一个是确定波长的范围 例例 2323 如图实线是某时刻的波形图象 虚线是经过 0 2s 时的波形图象 求 波传播的可能距离 可能的周期 频率 可能的波速 若波速是 35m s 求波的传播方向 若 0 2s 小于一个周期时 传播的距离 周期 频率 波速 解析 题中没给出波的传播方向 所以有两种可能 向左传播 或向右传播 向左传播时 传播的距离为x n 3 4 4n 3 m n 0 1 2 向右传播时 传播的距离为x n 4 4n 1 m n 0 1 2 向左传播时 传播的时间为t nT 3T 4 得 T 4t 4n 3 0 8 4n 3 n 0 1 2 向右传播时 传播的时间为t nT T 4 得 T 4t 4n 1 0 8 4n 1 n 0 1 2 计算波速 有两种方法 v x t 或v T 向左传播时 v x t 4n 3 0 2 20n 15 m s 或v T 4 4n 3 0 8 20n 15 m s n 0 1 2 向右传播时 v x t 4n 1 0 2 20n 5 m s 或v T 4 4n 1 0 8 20n 5 m s n 0 1 2 若波速是 35m s 则波在 0 2s 内传播的距离为x vt 35 0 2m 7m 1 4 3 所以波向左传 播 若 0 2s 小于一个周期 说明波在 0 2s 内传播的距离小于一个波长 则 向左传播时 传播的距离x 3 4 3m 传播的时间t 3T 4 得 周期T 0 267s 波速 v 15m s 向右传播时 传播的距离为 4 1m 传播的时间t T 4 得 周期T 0 8s 波速v 5m s 点评 做此类问题的选择题时 可用答案代入检验法 第五节第五节 波的现象与声波波的现象与声波 基础知识基础知识 一 波的现象一 波的现象 1 1 波的衍射波的衍射 波可以绕过障碍物继续传播的现象 衍射是波的特性 一切波都能发生衍射 产生明显衍射现象的条件是 障碍物或孔