2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练25 不等式选讲 理

1 训练训练 2525 不等式选讲不等式选讲 A 组 供高考题型为选择 填空题的省份使用 1 不等式x 2x 1 3 的解集为 2 不等式 x 1 x 2 5 的解集为 3 已知a b c是正实数 且a b c 1 则 的最小值为 1 a 1 b 1 c 4 2012 广州模拟 不等式 x 1 x 2 4a对任意实数x恒成立 则a的取值范围 是 5 使关于x的不等式 x 1 ka的解集是全体实数 则 a的取值范围是 7 2011 陕西 若关于x的不等式 a x 1 x 2 存在实数解 则实数a的取值范 围是 8 2012 江西 在实数范围内 不等式 2x 1 2x 1 6 的解集为 9 2011 江西重点盟校二次联考 若不等式 x 1 x 3 m 1 恒成立 则m的取值 范围为 10 2012 临沂模拟 对任意x R R 2 x 3 x a2 4a恒成立 则a满足 11 若不等式 3x b a 5 1 对于任一非零实数x均成立 则实数a的取值范围是 x 1 x B 组 供高考题型为解答题的省份使用 1 设函数f x 2x 1 x 4 1 解不等式f x 2 2 求函数y f x 的最小值 2 设a b c为正实数 求证 abc 2 1 a3 1 b3 1 c33 3 已知a b c均为正数 证明 a2 b2 c2 2 6 并确定a b c为何值 1 a 1 b 1 c 3 2 时 等号成立 4 若对任意x 0 a恒成立 求a的取值范围 x x2 3x 1 5 设函数f x x 1 x a 1 若a 1 解不等式f x 3 2 如果 x R R f x 2 求a的取值范围 6 2012 沈阳模拟 已知关于x的不等式 ax 2 ax a 2 a 0 1 当a 1 时 求此不等式的解集 2 若此不等式的解集为 R R 求实数a的取值范围 参考答案 训练 25 不等式选讲 A 组 1 解析 原不等式可化为 Error 或Error 解得 x 或 2 x 1 2 4 3 1 2 所以原不等式的解集是 x 2 x 4 3 答案 x 2 x 4 3 2 解析 法一 由 2 1 把数轴分成三部分 x1 当x 2 时原不等 式即 1 x 2 x 5 解得 3 x 2 当 2 x 1 时 原不等式即 1 x 2 x 5 因为 31 时 原不等式即x 1 2 x 5 解得 1 x 2 综上 原不等式的解集为 x 3 x 2 法二 不等式 x 1 x 2 5 的几何意义为数轴上到 2 1 两个点的距离之和小于 5 的点组成的集合 而 2 1 两个端点之间的距离为 3 由于分布在 2 1 以外的点到 2 1 的距离在 2 1 外部的距离要计算两次 而在 2 1 内部的距离则只计算一次 因此只要找出 2 左边到 2 的距离等于 1 的点 3 以及 1 右边到 1 的距离等于 5 3 2 1 的点 2 这样就得到原不等式的解集为 x 3 x 2 5 3 2 答案 x 3 x 2 3 3 解析 1 a 1 b 1 c a b c a a b c b a b c c 3 3 2 2 2 9 b a a b c a a c c b b c 答案 9 4 解析 x 1 x 2 x 1 2 x x 1 2 x 3 a 3 答案 3 5 解析 x 1 k x k x x 1 又x x 1 Error x x 1 的最大值为 1 k 1 答案 1 6 解析 令f x x 3 x 4 则 x 3 x 4 x 3 4 x 1 则f x min 1 故a 1 答案 1 7 解析 令t x 1 x 2 得t的最小值为 3 即有 a 3 解得a 3 或a 3 答案 3 3 8 解析 原不等式可化为Error 或Error 或Error 解得 x 即原不等式的解集为 3 2 3 2 Error 答案 Error 9 解析 x 1 x 3 x 1 x 3 4 不等式 x 1 x 3 m 1 恒成立 只需 m 1 4 即 3 m 5 答案 3 5 10 解析 2 x 3 x 5 要使 2 x 3 x a2 4a恒成立 即 5 a2 4a 解得 1 a 5 答案 1 5 11 解析 3x b 4 x Error 5 b 7 即b的取值范围为 5 7 b 4 3 b 4 3 答案 5 7 12 解析 x 1 x a x 1 a x a 1 要使关于x的不等式不是空集 则 a 1 8 7 a 9 即a的最小值为 7 答案 7 4 13 解析 二次方程x2 x a 0 有实根 则由 1 4 0 得 a 1 4 a 1 4 a a 由绝对值的几何意义知 0 a a 1 4 1 4 1 4 答案 0 1 4 14 解析 x 2 所以 a 5 1 2 x 1 x 1 x 即 a 5 1 4 a 6 答案 4 6 B 组 1 解 1 f x 2x 1 x 4 Error 当x2 得x 7 x 7 1 2 当 x2 得x x2 得x 3 x 4 故原不等式的解集为 Error 2 画出f x 的图象如图 f x min 9 2 2 证明 因为a b c为正实数 由均值不等式可得 3 1 a3 1 b3 1 c3 3 1 a3 1 b3 1 c3 即 1 a3 1 b3 1 c3 3 abc 所以 abc abc 1 a3 1 b3 1 c3 3 abc 而 abc 2 2 3 abc 3 abc abc3 所以 abc 2 1 a3 1 b3 1 c33 3 证明 法一 因为a b c均为正数 由平均值不等式得 a2 b2 c2 3 abc 2 3 3 abc 1 a 1 b 1 c 1 3 所以 2 9 abc 1 a 1 b 1 c 2 3 5 故a2 b2 c2 2 3 abc 9 abc 1 a 1 b 1 c 2 3 2 3 又 3 abc 9 abc 2 6 2 3 2 3273 所以原不等式成立 当且仅当a b c时 式和 式等号成立 当且仅当 3 abc 9 abc 时 式等号成立 2 3 2 3 即当且仅当a b c 3 时 原式等号成立 1 4 法二 因为a b c均为正数 由基本不等式得 a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 所以a2 b2 c2 ab bc ac 同理 1 a2 1 b2 1 c2 1 ab 1 bc 1 ac 故a2 b2 c2 2 ab bc ac 3 3 3 6 1 a 1 b 1 c 1 ab 1 bc 1 ac3 所以原不等式成立 当且仅当a b c时 式和 式等号成立 当且仅当a b c ab 2 bc 2 ac 2 3 时 式等号成立 即当且仅当a b c 3 时 原式等号成立 1 4 4 解 a 对任意x 0 恒成立 设u x 3 只需a 恒成立 x x2 3x 1 1 x 1 x 3 1 x 1 u 即可 x 0 u 5 当且仅当x 1 时取等号 由u 5 知 0 a 1 u 1 5 1 5 5 解 1 当a 1 时 f x x 1 x 1 f x Error 作出函数f x x 1 x 1 的图象 6 由图象可知 不等式的解集为Error 2 若a 1 f x 2 x 1 不满足题设条件 若a1 f x Error f x 的最小值为a 1 对于 x R R f x 2 的充要条件是 a 1 2 a的取值范围是 1 3 6 解 1 当a 1 时 不等式