2019年中考专题复习第九讲分式方程(含详细参考答案)

2019 年中考专题复习年中考专题复习 第九讲第九讲 分式方程分式方程 基础知识回顾基础知识回顾 一 分式方程的概念 分母中含有 的方程叫做分式方程 名师提醒 分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据名师提醒 分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的根本依据 二 分式方程的解法 1 解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程 即 分式方程 整式方程 2 解分式方程的一般步骤 3 增根 在进行分式方程去分母的变形时 有时可能产生使原方程分母为 的 根称为方程的增根 因此 解分式方程时必须验根 验根的方法是代入最简公 分母 使最简公分母为 的根是增根应舍去 名师提醒 名师提醒 1 分式方程解法中的验根是一个必备的步骤 不被省略 分式方程解法中的验根是一个必备的步骤 不被省略 2 分式方程有增根与无解并非用一个概念 无解既包含产生增根这一情况 分式方程有增根与无解并非用一个概念 无解既包含产生增根这一情况 也包含原方程去分母后的整式方程无解 如 也包含原方程去分母后的整式方程无解 如 1 有增根 则有增根 则 a 1 xa x 3 x 若该方程无解 则 若该方程无解 则 a 三 分式方程的应用 解题步骤同其它方程的应用一样 不同的是列出的方程是分式方程 所以在 解分式方程应用题同样必须 既要检验是否为原方程的根 又要检 转化 去分母 验是否符合题意 名师提醒 分式方程应用题常见类型有行程问题 工作问题 销售问题等 名师提醒 分式方程应用题常见类型有行程问题 工作问题 销售问题等 其中行程问题中又出现逆水 顺水航行这一类型其中行程问题中又出现逆水 顺水航行这一类型 重点考点例析重点考点例析 考点一 分式方程的解考点一 分式方程的解 例例 1 2018 株洲 关于 x 的分式方程 解为 x 4 则常数 a 的值 3 0 2 xax 为 A a 1B a 2 思路分析思路分析 根据分式方程的解的定义把 x 4 代入原分式方程得到关于 a 的一 次方程 解得 a 1 解答解答 解 把 x 4 代入方程 得 3 0 2 xax 3 0 4 2 4a 解得 a 10 故选 D 点评点评 此题考查了分式方程的解 分式方程注意分母不能为 0 考点二 解分式方程考点二 解分式方程 例例 2 2018 广西 解分式方程 2 1 133 xx xx 分析分析 根据解分式方程的步骤 去分母 求出整式方程的解 检验 得出结论依次计算可得 解答解答 解 两边都乘以 3 x 1 得 3x 3 x 1 2x 解得 x 1 5 检验 x 1 5 时 3 x 1 1 5 0 所以分式方程的解为 x 1 5 点评点评 本题主要考查解分式方程 解题的关键是掌握解分式方程的步骤 去分母 求出整式方程的解 检验 得出结论 考点三 由实际问题抽象出分式方程考点三 由实际问题抽象出分式方程 例例 3 2018 嘉兴 甲 乙两个机器人检测零件 甲比乙每小时多检测 20 个 甲检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10 若设甲每小时检测 x 个 则 根据题意 可列出方程 思路分析思路分析 根据 甲检测 300 个比乙检测 200 个所用的时间少 10 建立方程 即可得出结论 解答解答 解 设设甲每小时检测 x 个 则乙每小时检测 x 20 个 根据题意得 300200 1 10 20 xx 故答案为 300200 1 10 20 xx 点评点评 此题主要考查了分式方程的应用 正确找出等量关系是解题关键 考点四 分式方程的应用考点四 分式方程的应用 例例 4 2018 玉林 山地自行车越来越受中学生的喜爱 一网店经营的一个型 号山地自行车 今年一月份销售额为 30000 元 二月份每辆车售价比一月份每 辆车售价降价 100 元 若销售的数量与上一月销售的数量相同 则销售额是 27000 元 1 求二月份每辆车售价是多少元 2 为了促销 三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了 10 销售 网店 仍可获利 35 求每辆山地自行车的进价是多少元 思路分析思路分析 1 设二月份每辆车售价为 x 元 则一月份每辆车售价为 x 100 元 根据数量 总价 单价 即可得出关于 x 的分式方程 解之经检 验后即可得出结论 2 设每辆山地自行车的进价为 y 元 根据利润 售价 进价 即可得出关于 y 的一元一次方程 解之即可得出结论 解答解答 解 1 设二月份每辆车售价为 x 元 则一月份每辆车售价为 x 100 元 根据题意得 3000027000 100 xx 解得 x 900 经检验 x 900 是原分式方程的解 答 二月份每辆车售价是 900 元 2 设每辆山地自行车的进价为 y 元 根据题意得 900 1 10 y 35 y 解得 y 600 答 每辆山地自行车的进价是 600 元 点评点评 本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用 解题的关键是 1 找准等量关系 正确列出分式方程 2 找准等量关系 正确列出一元 一次方程 聚焦山东中考聚焦山东中考 1 2018 德州 分式方程 的解为 1 3 2 1 1x x xx A x 1B x 2 C x 1D 无解 2 2018 临沂 新能源汽车环保节能 越来越受到消费者的喜爱 各种品牌 相继投放市场 一汽贸公司经销某品牌新能源汽车 去年销售总额为 5000 万元 今年 1 5 月份 每辆车的销售价格比去年降低 1 万元 销售数量与去年一整年 的相同 销售总额比去年一整年的少 20 今年 1 5 月份每辆车的销售价格是 多少万元 设今年 1 5 月份每辆车的销售价格为 x 万元 根据题意 列方程正 确的是 A 50005000 1 2 1 0 xx B 5005000 10 02 1xx C 50005000 1 2 1 0 xx D 5005000 10 02 1xx 3 2018 潍坊 当 m 时 解分式方程 会出现增根 5 33 xm xx 4 2018 威海 某自动化车间计划生产 480 个零件 当生产任务完成一半时 停止生产进行自动化程序软件升级 用时 20 分钟 恢复生产后工作效率比原来 提高了 结果完成任务时比原计划提前了 40 分钟 求软件升级后每小时生产 1 3 多少个零件 5 2018 东营 小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出 他们的家分别距离 剧院 1200m 和 2000m 两人分别从家中同时出发 已知小明和小刚的速度比是 3 4 结果小明比小刚提前 4min 到达剧院 求两人的速度 6 2018 菏泽 列方程 组 解应用题 为顺利通过国家义务教育均衡发展验收 我市某中学配备了两个多媒体教室 购买了笔记本电脑和台式电脑共 120 台 购买笔记本电脑用了 7 2 万元 购买 台式电脑用了 24 万元 已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的 1 5 倍 那么笔 记本电脑和台式电脑的单价各是多少 备考真题过关备考真题过关 一 选择题一 选择题 1 2018 张家界 若关于 x 的分式方程 的解为 x 2 则 m 的值为 3 1 1 m x A 5B 4 C 3D 2 2 2018 黑龙江 已知关于 x 的分式方程 的解是负数 则 m 的取值 2 1 1 m x 范围是 A m 3B m 3 且 m 2 C m 3D m 3 且 m 2 3 2018 荆州 解分式方程 时 去分母可得 14 3 22xx A 1 3 x 2 4B 1 3 x 2 4 C 1 3 2 x 4D 1 3 2 x 4 4 2018 成都 分式方程 的解是 11 1 2 x xx A x 1B x 1 C x 3D x 3 5 2018 通辽 学校为创建 书香校园 购买了一批图书 已知购买科普类图书 花费 10000 元 购买文学类图书花费 9000 元 其中科普类图书平均每本的价格 比文学类图书平均每本的价格贵 5 元 且购买科普书的数量比购买文学书的数 量少 100 本 求科普类图书平均每本的价格是多少元 若设科普类图书平均每 本的价格是 x 元 则可列方程为 A 900010 0 0 0 5 00 1 xx B 10090000 10 0 0 5xx C 910000000 100 5xx D 100090000 100 5xx 二 填空题二 填空题 6 2018 黄石 分式方程 的解为 2 415 1 121 x xx 7 2018 广州 方程 的解是 14 6xx 8 2018 常德 分式方程 的解为 x 2 13 0 24 x xx 9 2018 遂宁 A B 两市相距 200 千米 甲车从 A 市到 B 市 乙车从 B 市到 A 市 两车同时出发 已知甲车速度比乙车速度快 15 千米 小时 且甲车比乙 车早半小时到达目的地 若设乙车的速度是 x 千米 小时 则根据题意 可列方 程 三 解答题三 解答题 10 2018 连云港 解方程 32 0 1xx 11 2018 柳州 解方程 21 2xx 12 2018 贺州 解分式方程 2 41 1 11 x xx 13 2018 岳阳 为落实党中央 长江大保护 新发展理念 我市持续推进长江 岸线保护 还洞庭湖和长江水清岸绿的自然生态原貌 某工程队负责对一面积 为 33000 平方米的非法砂石码头进行拆除 回填土方和复绿施工 为了缩短工 期 该工程队增加了人力和设备 实际工作效率比原计划每天提高了 20 结 果提前 11 天完成任务 求实际平均每天施工多少平方米 14 2018 曲靖 甲乙两人做某种机械零件 已知甲每小时比乙多做 4 个 甲 做 120 个所用的时间与乙做 100 个所用的时间相等 求甲乙两人每小时各做几 个零件 15 2018 玉林 山地自行车越来越受中学生的喜爱 一网店经营的一个型号 山地自行车 今年一月份销售额为 30000 元 二月份每辆车售价比一月份每辆 车售价降价 100 元 若销售的数量与上一月销售的数量相同 则销售额是 27000 元 1 求二月份每辆车售价是多少元 2 为了促销 三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了 10 销售 网店 仍可获利 35 求每辆山地自行车的进价是多少元 16 2018 宁波 某商场购进甲 乙两种商品 甲种商品共用了 2000 元 乙种 商品共用了 2400 元 已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多 8 元 且购 进的甲 乙两种商品件数相同 1 求甲 乙两种商品的每件进价 2 该商场将购进的甲 乙两种商品进行销售 甲种商品的销售单价为 60 元 乙种商品的销售单价为 88 元 销售过程中发现甲种商品销量不好 商场决定 甲种商品销售一定数量后 将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售 乙种 商品销售单价保持不变 要使两种商品全部售完后共获利不少于 2460 元 问甲 种商品按原销售单价至少销售多少件 2019 年中考专题复习年中考专题复习 第九讲第九讲 分式方程分式方程 聚焦山东中考聚焦山东中考 1 思路分析思路分析 分式方程去分母转化为整式方程 求出整式方程的解得到 x 的 值 经检验即可得到分式方程的解 解答解答 解 去分母得 x2 2x x2 x 2 3 解得 x 1 经检验 x 1 是增根 分式方程无解 故选 D 点评点评 此题考查了分式方程的解 始终注意分母不为 0 这个条件 2 思路分析思路分析 设今年 1 5 月份每辆车的销售价格为 x 万元 则去年的销售价格 为 x 1 万元 辆 根据 销售数量与去年一整年的相同 可列方程 解答解答 解 设今年 1 5 月份每辆车的销售价格为 x 万元 则去年的销售价格 为 x 1 万元 辆 根据题意 得 50005000 1 2 1 0 xx 故选 A 点评点评 本题主要考查分式方程的应用 解题的关键是理解题意 确定相等关 系 3 思路分析思路分析 分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根 且使分式方 程的分母为 0 的未知数的值 解答解答 解 分式方程可化为 x 5 m 由分母可知 分式方程的增根是 3 当 x 3 时 3 5 m 解得 m 2 故答案为 2 点评点评 本题考查了分式方程的增根 增根问题可按如下步骤进行 让最简公分母为 0 确定增根 化分式方程为整式方程 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 4 思路分析思路分析 设软件升级前每小时生产 x 个零件 则软件升级后每小时生产 1 x 个零件 根据工作时间 工作总量 工作效率结合软件升级后节省的 1 3 时间 即可得出关于 x 的分式方程 解之经检验后即可得出结论 解答解答 解 设软件升级前每小时生产 x 个零件 则软件升级后每小时生产 1 x 个零件 1 3 根据题意得 24014020 240 1 360 60 x x 解得 x 60 经检验 x 60 是原方程的解 且符合题意 1 x 80 1 3 答 软件升级后每小时生产 80 个零件 点评点评 本题考查了分式方程的应用 找准等量关系 正确列出分式方程是解 题的关键 5 思路分析思路分析 设小明的速度为 3x 米 分 则小刚的速度为 4x 米 分 根据时间 路程 速度结合小明比小刚提前 4min 到达剧院 即可得出关于 x 的分式方程 解之经检验后即可得出结论 解答解答 解 设小明的速度为 3x 米 分 则小刚的速度为 4x 米 分 根据题意得 20001200 4 43xx 解得 x 25 经检验 x 25 是分式方程的根 且符合题意 3x 75 4x 100 答 小明的速度是 75 米 分 小刚的速度是 100 米 分 点评点评 本题考查了分式方程的应用 找准等量关系 正确列出分式方程是解 题的关键 6 思路分析思路分析 设台式电脑的单价是 x 元 则笔记本电脑的单价为 1 5x 元 利 用购买笔记本电脑和购买台式电脑的台数和列方程 247200000 1 00 1 20 5xx 然后解分式方程即可 解答解答 解 设台式电脑的单价是 x 元 则笔记本电脑的单价为 1 5x 元 根据题意得 247200000 1 00 1 20 5xx 解得 x 2400 经检验 x 2400 是原方程的解 当 x 2400 时 1 5x 3600 答 笔记本电脑和台式电脑的单价分别为 3600 元和 2400 元 点评点评 本题考查了分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤 设 列 解 验 答 备考真题过关备考真题过关 一 选择题一 选择题 1 思路分析思路分析 直接解分式方程进而得出答案 解答解答 解 关于 x 的分式方程的解为 x 2 3 1 1 m x x m 2 2 解得 m 4 故选 B 点评点评 此题主要考查了分式方程的解 正确解方程是解题关键 2 思路分析思路分析 直接解方程得出分式的分母为零 再利用 x 1 求出答案 解答解答 解 2 1 1 m x 解得 x m 3 关于 x 的分式方程 2 1 1 m x 的解是负数 m 3 0 解得 m 3 当 x m 3 1 时 方程无解 则 m 2 故 m 的取值范围是 m 3 且 m 2 故选 D 点评点评 此题主要考查了分式方程的解 正确得出分母不为零是解题关键 3 思路分析思路分析 分式方程去分母转化为整式方程 即可作出判断 解答解答 解 去分母得 1 3 x 2 4 故选 B 点评点评 此题考查了解分式方程 利用了转化的思想 解分式方程注意要检 验 4 思路分析思路分析 观察可得最简公分母是 x x 2 方程两边乘最简公分母 可 以把分式方程转化为整式方程求解 解答解答 解 11 1 2 x xx 去分母 方程两边同时乘以 x x 2 得 x 1 x 2 x x x 2 x2 x 2 x x2 2x x 1 经检验 x 1 是原分式方程的解 故选 A 点评点评 考查了解分式方程 1 解分式方程的基本思想是 转化思想 把分 5 思路分析思路分析 直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少 100 本得出 等式进而得出答案 解答解答 解 设科普类图书平均每本的价格是 x 元 则可列方程为 10090000 10 0 0 5xx 故选 B 点评点评 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程 正确得出等量关系是解 题关键 二 填空题二 填空题 6 思路分析思路分析 方程两边都乘以最简公分母 化为整式方程 然后解方程 再 进行检验 解答解答 解 方程两边都乘以 2 x2 1 得 8x 2 5x 5 2x2 2 解得 x1 1 x2 0 5 检验 当 x 0 5 时 x 1 0 5 1 0 5 0 当 x 1 时 x 1 0 所以 x 0 5 是方程的解 故原分式方程的解是 x 0 5 故答案为 x 0 5 点评点评 本题考查了解分式方程 1 解分式方程的基本思想是 转化思想 把分式方程转化为整式方程求解 2 解分式方程一定注意要验根 7 思路分析思路分析 分式方程去分母转化为整式方程 求出整式方程的解得到 x 的 值 经检验即可得到分式方程的解 解答解答 解 去分母得 x 6 4x 解得 x 2 经检验 x 2 是分式方程的解 故答案为 x 2 点评点评 此题考查了解分式方程 利用了转化的思想 解分式方程注意要检 验 8 思路分析思路分析 分式方程去分母转化为整式方程 求出整式方程的解得到 x 的 值 经检验即可得到分式方程的解 解答解答 解 去分母得 x 2 3x 0 解得 x 1 经检验 x 1 是分式方程的解 故答案为 1 点评点评 此题考查了解分式方程 利用了转化的思想 解分式方程注意要检 验 9 思路分析思路分析 直接利用甲车比乙车早半小时到达目的地得出等式即可 解答解答 解 设乙车的速度是 x 千米 小时 则根据题意 可列方程 2001 1 200 52xx 故答案为 2001 1 200 52xx 点评点评 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程 正确表示出两车所用时 间是解题关键 三 解答题三 解答题 10 思路分析思路分析 根据等式的性质 可得整式方程 根据解整式方程 可得答 案 解答解答 解 两边乘 x x 1 得 3x 2 x 1 0 解得 x 2 经检验 x 2 是原分式方程的解 点评点评 本题考查了解分式方程 利用等式的性质将分式方程转化成整式方程 是解题关键 要检验方程的根 11 思路分析思路分析 分式方程去分母转化为整式方程 求出整式方程的解得到 x 的 值 经检验即可得到分式方程的解 解答解答 解 去分母得 2x 4 x 解得 x 4 经检验 x 4 是分式方程的解 点评点评 此题考查了解分式方程 利用了转化的思想 解分式方程注意要检 验 12 思路分析思路分析 分式方程去分母转化为整式方程 求出整式方程的解得到 x 的 值 经检验即可得到分式方程的解 解答解答 解 去分母得 4 x2 1 x2 2x 1 解得 x 1 经检验 x 1 是增根 分式方程无解 点评点评 此题考查了解分式方程 利用了转化的思想 解分式方程注意要检 验 13 思路分析思路分析 设原计划平均每天施工 x 平方米 则实际平均每天施工 1 2x 平 方米 根据时间 工作总量 工作效率结合提前 11 天完成任务 即可得出关于 x 的分式方程 解之即可得出结论 解答解答 解 设原计划平均每天施工 x 平方米 则实际平均每天施工 1 2x 平方 米 根据题意得 3300033000 11 1 2xx 解得 x 500 经检验 x 500 是原方程的解 1 2x 600 答 实际平均每天施工 600 平方米 点评点评 本题考查了分式方程的应用 找准等量关系 正确列出分式方程是解 题的关键 14 思路分析思路分析 设甲每小时做 x 个零件 则乙每小时做 x 4 个零件 根据工 作时间 工作总量 工作效率结合甲做 120 个所用的时间与乙做 100 个所用的时 间相等 即可得出关于 x 的分式方程 解之经检验后即可得出结论 解答解答 解 设甲每小时做 x 个零件 则乙每小时做 x 4 个零件 根据题意得 120100 4xx 解得 x 24 经检验 x 24 是分式方程的解 x 4 20 答 甲每小时做 24 个零