高三数学函数的单调性人教版

高三数学函数的单调性人教版高三数学函数的单调性人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 函数的单调性 1 概念 设函数 xf的定义域为 I 1 增函数 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 21 x x 当 21 xx 时 都有 21 xfxf 那么称函数 xf在这个区间上是增函数 2 减函数 如果对于属于定义域 I 内某个区间的任意两个自变量的值 21 x x 当 21 xx 时 都有 21 xfxf 则称 xf在这个区间上是减函数 3 单调区间 如果函数 xfy 在某个区间是增函数或减函数 则称函数 xfy 在这一区间上具有 严格的 单调性 该区间叫做 xfy 的单调区间 注 注 中学单调性是指严格单调的 即不能是 21 xfxf 或 21 xfxf 单调性刻画的是函数的 局部 性质 如 x y 1 在 0 与 0 上是减函数 不能说 x y 1 在 0 0 上是减函数 单调性反映函数值的变化趋势 反映图象的上升或下降 2 单调性的判定方法 定义法 复合函数单调性结论 函数单调性性质 导数 图象 1 定义法 例 1 证明函数1 3 1 xxf在 R 上是增函数 证 证 设 21 xx 则 3 2 2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 21 3 1 2 3 1 121 xxxx xx xxxfxf 而分子0 21 xx 分母0 4 3 2 1 3 2 2 2 3 1 2 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 1 1 3 2 1 xxxxxxx 故0 21 xfxf 得证 补 讨论函数 2 2 xx axf 的单调性 10 a 解 解 设1 a时 对任Rx 0 2 2 xx a 设1 21 xx 2 11 2 22 22 1 2 xxxx a xf xf 而 2 22 1212 2 11 2 22 xxxxxxxx 0 即 12 xfxf 故在 1 单增 同理在 1 单减 当10 a时 同理在 1 单减 在 1 单增 例 2 讨论 x x xf 1 的单调性 解 解 设 21 xx 则 1 1 11 21 12 1 1 2 2 12 xx xx x x x x xfxf 2121 2112 1 xxxx xxxx 1 当10 21 xx时 10 21 xx 0 12 xfxf 2 当 21 1xx 时 21 1xx 0 12 xfxf 故 xf在 1 0 上是减函数 在 1 上是增函数 例 3 试求函数 x p xxf p0 的单调区间 分析 分析 考虑到 21 21 12 1 1 2 212 xx pxx xx x p x x p xxfxf 以下分类讨 论 1 当p0 时 若pxx 21 则0 12 xfxf xf增 若0 21 xxp 则0 12 xfxf xf减 若pxx 21 0 则0 12 xfxf xf减 若 21 xxp 则0 12 xfxf xf增 2 当0 p时 若0 21 xx 则0 12 xfxf增 若 21 0 xx 则0 12 xfxf增 综上所述 0 p时 xf在 0 p 或 0 p上是减函数 xf在 p 或 p上是增函数 0 p时 xf在 0 或 0 上是增函数 函数 x p xy p范围 0 p0 p 定义域 0 0 值域 2 2 pp 渐近线xy 及0 x 奇偶性奇函数 单调性 在 p 及 p分 别单调递增 在 0 p 及 0 p上分别 单调递减 在 0 上递增 在 0 上递增 另法 利用导数 2 1 x p xf 1 2 2 px x 1 若0 p则 1 2 pxpx x xf 2 若0 p 则0 x f下证 高考分式函数试题类型与解法研究 例 4 讨论分式函数 x b axxf 的单调性 0 ab 以下只研究0 0 ba与0 0 ba两种情形对于0 0 ba与0 0 ba可利 用对称性得到 解 解 当0 0 ba时 由 2 2 22 x a b x a b x a a b x x a x b axf 利用导数可知 xf在 a b 与 a b 上为单增函数 xf在 0 a b 与 0 a b 为单减函数 当0 0 ba时 由0 2 x b axf知 xf在 0 与 0 上为增函数 图象如下 例 5 1997 全国 甲 乙两地相距s千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过c千 米 小时 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由可变部分和固定部分组成 可变部 分与速度v 千米 时 的平方成正比 且比例系数为b 固定部分为a元 1 把全程运输成本y 元 表示为速度v 千米 小时 的函数 并指出这个函数 的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 解 解 1 依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 v s 全程运输成本为 2 v a bvs v s bvay 0 cv 2 依题意vbas 都为正数 故有absbv v a s2 当且仅当bv v a 即 b a v 时 上式中等号成立 若c b a 则当 b a v 时全程运输成本y最小 若c b a 函数 bv v a sy 在 0 c上是减函数 那么当且仅当cv 时 全程运输成本y最小 综上所述可知 为使全程运输成本最小 当c b ab 时 行驶速度应为 b ab v 当c b ab 时 行驶速度应为cv 例 6 在ABC 中 ACBcABbACaBC 现将ABC 分别以 BC AC AB 所在直线为轴 旋转一周 设所得三个旋转体的体积依次为 321 VVV 1 求 21 3 VV V T 用cba 表示 2 若 为定值 并令x c ba 将 T 表示为x的函数 写出这函数的定义域 并 求这函数的最大值u 3 当 在 3 内变化时 求u的最大值 解 解 1 设ABC 的 BC AC AB 边上的高分别为 321 hhh 由 sin 1 bh sin 2 ah c ab c ah h sin 1 3 得 222 11 sin 33 1 abahV 222 22 sin 33 1 babhV 2 22 2 33 sin 33 1 c ba chV 于是得 21 3 cba ab VV V T 2 令x c ba 则由 cos2 222 abbac 得 cos1 2 cos1 2 22222 abxccabbac 2 cos4 1 cos1 2 1 2 2222 cxcx ab 代入 得 1 2 cos4 1 2 cos4 1 2 cos4 1 222 22 2 22 x x xc cx cba cx T 当 为定值时 cos1 2 2 222 ba bac 即 2 sin 222 bac 又 22 0 于是 2 csc 2 sin 1 2 c ba x 当且仅当ba 时 取等号 又由0 cba 知1 c ba 所以函数 xT的定义域为 2 csc 1 因为 1 2 cos4 1 2x xxT 在 2 csc 1 上递增 所以当 2 csc x 即ba 时 T 取最大值 此时 2 csc 4 1 2 sin 2 sin 1 2 cos4 1 2 u 3 由于 3 2 sin4 1 u是减函数 从而当 3 时 u取最大值为 2 1 注 注 分式函数变通形式 函数 0 2 a ax x y的单调性 将函数式变形为 ax a ax ax aax y 2222 a2 令axt 则a t a ty2 2 由单调性 在 0 at 即 0 ax 上单减 在 at即 0 x上单增 在 0 at 即 2 aax 上单减 在 at 即 2 ax 上单增 2 复合函数的单调性 在复合函数 xgfy 中 设 ufy 和 xgu 都是单调函数 若 ufy 为增函数 则 xgfy 的增减性与 xgu 相同 若 ufy 为减函数 则 xgfy 的增减性与 xgu 相反 区间 单调性 函数 ABCD xgu ufy xufy 利用复合函数单调性的结论求单调区间的步骤 1 先确定复合函数 xgfy 的定义域 2 在定义域内分别研究 xgu 及 ufy 的单调性 分拆 3 列表 得结论 例 7 讨论函数 2 1 1 2 x xf 的单调性 解 解 由 1 1 2 2 1 x xf知定义域 1 1 1 1 令 1 1 2 x u u y 2 1 以下先研究 1 1 2 x u的单调性 令 t u 1 1 2 xt 1 10 0 1 1 1 2 xt t u 1 1 1 2 x u 而 u y 2 1 在 R 上为减函数 故利用复合函数单调性结论知 xf在 1 及 0 1 上是减函数 在 0 1 及 1 上是增函数 补 95 高考 已知 2 logaxy a 在 0 1 是减函数 则a的取值范围是 B A 0 1 B 1 2 C 0 2 D 2 解 解 依题意1 a 又 a xax 2 02 故21 2 a a 也可由0 x x a 2 2 2 min x 1 0 x 从而2 a 例 8 讨论 x x y 1 1 lg的单调性 解 解 由 0 1 1 x x 定义域 1 1 令 x x u 1 1 uylg 而 1 1 1 1 x x x x u 1 2 1 1 21 xx x 当 1 1 x时 1 2 1 x u是减函数 故 1 1 x x u 1 1 uylg x x y 1 1 lg 故 x x y 1 1 lg在其定义域 1 1 上是减函数 例 9 讨论 26 log 2 2 1 xxxf的单调性 解 解 由 0 23 12 026 2 xxxx定义域 3 2 2 1 令26 2 xxu uy 2 1 log 以下先考虑26 2 xxu的单调性 由 24 49 12 1 6 2 xu结合定义域知它在 2 1 单减 在 3 2 上单增 2 1 3 2 26 2 xxu uy 2 1 log xfy 故 26 log 2 2 1 xxxf 在 2 1 上是增函数 在 3 2 上是减函数 例 10 1989 全国 已知 2 28 22 xfxgxxxf 求 xg的单调区间 解 解 依题意定义域为 R 令 2 2xu 2 28 uuuf 则 xufxg 由 2 2xu 知其在 0 上单增 在 0 上单减 而9 1 28 22 uuuuf知 uf在 1 单增 在 1 单减 又由1121 2 xxu或1 x 11121 2 xxu 所以 xg单减区间 0 1 和 1 单增区间 1 与 0 1 1 0 1 0 1 1 2 2xu 2 28 uuuf xufxg 3 利用单调性性质 结论 1 两增函数的和在公共定义域上仍为增函数 例 11 讨论函数xxxf 1 2 的单调性 解 解 定义域Rx 若0 x 1 2 1 xy与xy 2 均为减函数 故xxyyxf 1 2 21 也是减函数 若x0 时 xx xf 1 1 2 由1 2 1 xy与xy 2 都是增函数 且0 21 yy 21 1 yy xf 是减函数 综上 xf在 R 上是减函数 此结论用到以下事实 又如讨论 Rba ax bx y 的单调性 解 解 ax ab ax abax y 1 利用反比例函数的单调性可知当ba 时 ax bx y 在 a 与 a上是减 函数 当ba 时 ax bx y 在 a 与 a上是增函数 结论 2 若函数 xfy 在区间 ba上是减函数 在区间 cb上是减函数 则 xf必是区间 ca 上的减函数 证 证 任取 21 caxx 且 21 xx 若 21 baxx 则 21 xfxf 若 21 cbxx 21 xfxf 若 1 bax 2 cbx 则 1 bfxf 2 xfbf 从而 21 xfxf 综上 对 21 caxx 且 21 xx 总有 21 xfxf 得证 上例利用定义法 对于 21 xx 1 1 2 2 21 2 121 xxxxxfxf 0 11 1 12 2 2 2 1 21 12 xx xx xx xx 结论 3 设 xfy 是单调函数 则其反函数 1 xfy 也是单调函数 且 xfy 与其反函数 1 xfy 有相同的单调性 证 证 不妨设 xf是增函数 设 21 xx 2 1 21 1 1 xfyxfy 用反证法 如果 21 yy 则因 xfy 是增函数 故 21 yfyf 即 21 xx 这与 21 xx 矛盾 故 21 yy 因此 1 xfy 单增 例子 对数函数与指数函数对底a的不同情形具有相同的单调性 4 利用函数的图象 例 12 讨论函数543 2 xxxf的单调性 解 解 0 543 0 543 2 2 xxx xxx xf即 0 3 19 3 2 3 0 3 19 3 2 3 2 2 xx xx xf 利用图象 5 利用导数 函数 xfy 在区间 ba上连续 在 ba内可导 且在 ba内 如果0 x f 那么函数 xfy 在区间 ba上单调增加 如果0 x f 那么函数 xfy 在区间 ba上单调减少 由此得到确定单调区间的方法 确定函数 xf的定义域 ba 求导数 x f 令0 x f解此方程 求出在区间 ba内的全部实根 并按从小到大的顺序排 列为 n ccc 21 确定区间 211 bcccca n 内导数符号 在某区间内 若0 x f 那么函数 xf在这个区间内递增 若0 x f那么 函数 xf在这区间内递减 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 函数的单调减区间为 A B C D 2 设 a b c d 都是函数 f x 的单调增区间 且 x1 a b x2 c d x1 x2 则 f x1 与 f x2 的大小关系是 A f x1 f x2 B f x1 f x2 C f x1 f x2 D 不能确定 3 下列函数中 在上为减函数的是 A B C D 4 函数 y x 1 的单调递减区间是 A 0 B 0 C 0 0 D 0 0 5 设是上的减函数 则 A B C D 6 设函数 f x 2a 1 x b 是 R 上的减函数 则有 A a 2 1 B a 2 1 C a 2 1 D a 2 1 7 若函数是定义在 R 上的增函数 若时 则