《走向清华北大》2012高考总复习 精品9指数与指数函数

第九讲第九讲 指数与指数函数指数与指数函数 班级 姓名 考号 日期 得分 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 将正确答案的代号填在题后 的括号内 1 精选考题 番禺质检 下列结论中正确的个数是 当a 0 时 a2 a3 a 函数y x 2 3x 7 0的定义域是 3 2 n an 1 2 2 若 100a 5 10b 2 则 2a b 1 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 根据指数幂的运算性质对每个结论逐一进行判断 中 当a 3 2 0 a30 且a 1 解析 因为 一般地 函数y ax a 0 且a 1 叫做指数函数 所以函数 y a2 5a 5 ax是指数函数的充要条件为Error 解得a 4 故选 C 答案 C 评析 解答指数函数概念问题时要抓住指数函数解析式的特征 1 指数里面只有x 且次数为 1 不能为x2 等 2 指数式ax的系数为 1 但要注意有些函数表面上看不具 x 有指数函数解析式的形式 但可以经过运算转化为指数函数的标准形式 4 在平面直角坐标系中 函数f x 2x 1与g x 21 x图象关于 A 原点对称 B x轴对称 C y轴对称 D 直线y x对称 解析 y 2x左移一个单位得y 2x 1 y 2 x右移一个单位得y 21 x 而y 2x与 y 2 x关于y轴对称 f x 与g x 关于y轴对称 答案 C 5 若函数f x a 2x 4 a 0 a 1 满足f 1 则f x 的单调递减区间是 1 9 A 2 B 2 C 2 D 2 解析 由f 1 得a2 1 9 1 9 a a 舍去 1 3 1 3 即f x 2x 4 1 3 由于y 2x 4 在 2 上递减 在 2 上递增 所以f x 在 2 上 递增 在 2 上递减 故选 B 答案 B 6 已知函数f x x log2x 实数a b c满足f a f b f c 0 0 a b c 若实 1 3 数x0是方程f x 0 的一个解 那么下列不等式中 不可能成立的是 A x0b C x0c 解析 如图所示 方程f x 0 的解即为函数y x与y log2x的图象交点的横坐 1 3 标x0 由实数x0是方程f x 0 的一个解 若x0 c b a 0 则f a 0 f b 0 f c 0 与已知f a f b f c c不可能成立 故选 D 答案 D 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 把正确答案填在题后的横线 上 7 已知不论a为何正实数 y ax 1 2 的图象恒过定点 则这个定点的坐标是 解析 因为指数函数y ax a 0 a 1 的图象恒过定点 0 1 而函数y ax 1 2 的 图象可由y ax a 0 a 1 的图象向左平移 1 个单位后 再向下平移 2 个单位而得到 于 是 定点 0 1 1 1 1 1 所以函数y ax 1 2 的图象恒过定点 1 1 答案 1 1 8 函数y x 3x在区间 1 1 上的最大值为 1 3 答案 8 3 9 定义 区间 x1 x2 x10 a 1 的图象经过点A 1 6 B 3 24 1 试确定f x 2 若不等式 x x m 0 在x 1 时恒成立 求实数m的取值范围 1 a 1 b 解 1 f x b ax的图象过点A 1 6 B 3 24 Error 得a2 4 又a 0 且a 1 a 2 b 3 f x 3 2x 2 x x m 0 在 1 上恒成立化为m x x在 1 上恒成立 1 a 1 b 1 2 1 3 令g x x x g x 在 1 上单调递减 1 2 1 3 m g x min g 1 1 2 1 3 5 6 故所求实数m的取值范围是 5 6 12 已知函数f x ax2 4x 3 1 3 1 若a 1 求f x 的单调区间 2 若f x 有最大值 3 求a的值 3 若f x 的值域是 0 求a的取值范围 分析 函数f x 是由指数函数和二次函数复合而成的 因此可通过复合函数单调性法 则求单调区间 研究函数的最值问题 解 1 当a 1 时 f x x2 4x 3 1 3 令g x x2 4x 3 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而y t在 R R 上单调递减 1 3 所以f x 在 2 上单调递减 在 2 上单调递增 即函数f x 的递增区间是 2 递减区间是 2 2 令h x ax2 4x 3 y h x 由于f x 有最大值 3 所以h x 应有最小值 1 3 1 因此必有 Error 解得a 1 即当f x 有最大值 3 时 a的值等于 1 3 由指数函数的性质知 要使y h x 的值域为 0 应使h x ax2 4x 3 1 3 的值域为 R R 因此只能有a 0 因为若a 0 则h x 为二次函数 其值域不可能为 R R 故a 的取值范围是a 0 评析 求解与指数函数有关的复合函数问题 首先要熟知指数函数的定义域 值域 单调性等相关性质 其次要明确复合函数的构成 涉及值域 单调区间 最值等问题时 都要借助 同增异减 这一性质分析判断 最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解 决 13 已知函数f x 2x 1 2 x 1 若f x 2 求x的值 2 若 2tf 2t mf t 0 对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值