06~10数学高考考点+核心考点.doc

广东0610数学高考考点10090807061并集集合韦恩图并集全集集合，交集2定义域复数复数，虚数虚数复数3奇偶函数向量求单调奇偶奇偶函数4等差数列 函数与反函数关系等差数列一次函数图像三角形向量，中点5向量等比数列周期，奇偶平行垂直证明垂直平行命题6圆与直线相切平行垂直命题圆与直线方程算法初步等差7离心率，椭圆三角形等边对等角三视图小球随机抽样函数与反函数性质8充要条件的单调性逆否命题双曲线第二定义9三视图的周期有大于0的极点排列组合线性规划10几何算法推理AB,C,DE的排列组合正确的判断抛物线方程实数对计算11算法初步算法初步频率分布直方图单调区间极限12中位数，线性关系系统抽样法线性规划数列正方体外接圆表面积13三角函数圆与直线相切算法初步算法初步展开式14极坐标极坐标极坐标极坐标等差数列求和15平面几何几何 圆几何，切线与圆圆与直线16三角函数概率，17概率几何立体体积的最值三视图求体积立体几何证明18垂直，点到面得距离数列相似，等体积分割法线性回归方程动点轨迹19线性规划函数概率椭圆数列20函数随机抽样椭圆，抛物线数列不等式函数21曲线数列不等式椭圆数列历年核心考点必记知识点定义3 反函数，若函数f: AB（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: AB叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数y=的反函数是y=1-(x0).补充知识点：定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。定义1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意： “p或q”复合命题只有当p，q同为假命题时为假，否则为真命题；“p且q”复合命题只有当p，q同时为真命题时为真，否则为假命题；p与“非p”即“p”恰好一真一假。定义2 原命题：若p则q（p为条件，q为结论）；逆命题：若q则p；否命题：若非p则q；逆否命题：若非q则非p。一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义3 如果命题“若p则q”为真，则记为pq否则记作pq.在命题“若p则q”中，如果已知pq,则p是q的充分条件；如果qp，则称p是q的必要条件；如果pq但q不p，则称p是q的充分非必要条件；如果p不q但pq，则p称为q的必要非充分条件；若pq且qp，则p是q的充要条件。（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）1.线面垂直定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 符号表述：若任意都有，且，则.判定定理：（线线垂直线面垂直）性质：（1）（线面垂直线线垂直）；（2）；证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）（较常用）；（4）；（5）（面面垂直线面垂直）常用；三垂线定理及逆定理：（I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段与斜线段中，（1）斜线相等射影相等；（2）斜线越长射影越长；（3）垂线段最短。【如图】；（II）三垂线定理及逆定理：已知，斜线PA在平面内的射影为OA， 若，则垂直射影垂直斜线，此为三垂线定理； 若，则垂直斜线垂直射影，此为三垂线定理的逆定理； 三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；（2）作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如图】3.2面面斜交二面角：（1）定义：【如图】范围：作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线法（常用）；（3）垂面法.3.3面面垂直（1）定义：若二面角的平面角为，则；（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.（线面垂直面面垂直）（3）性质：若，二面角的一个平面角为，则；（面面垂直线面垂直）；. 4直线方程的几种形式：【必会】【必考】（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）两点式：；（6）法线式方程：xcos+ysin=p（其中为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：（其中为该直线倾斜角），t的几何意义是定点P0（x0, y0）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P0P方向向上则取正，否则取负）。5到角与夹角：若直线l1, l2的斜率分别为k1, k2，将l1绕它们的交点逆时针旋转到与l2重合所转过的最小正角叫l1到l2的角；l1与l2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为，夹角为，则tan=,tan=.6平行与垂直：若直线l1与l2的斜率分别为k1, k2。且两者不重合，则l1/l2的充要条件是k1=k2；l1l2的充要条件是k1k2=-1。7两点P1(x1, y1)与P2(x2, y2)间的距离公式：|P1P2|=。8点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：。9直线系的方程：若已知两直线的方程是l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0，则过l1, l2交点的直线方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0；由l1与l2组成的二次曲线方程为（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；与l2平行的直线方程为A1x+B1y+C=0().10二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B0，则Ax+By+C0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为，半径为。若点P(x0, y0)为圆上一点，则过点P的切线方程为 6参数方程的应用。例7 如图10-5所示，过原点引直线交圆x2+(y-1)2=1于Q点，在该直线上取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。解 设直线OP的参数方程为（t参数）。代入已知圆的方程得t2-t2sin=0.所以t=0或t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化简得t=2或t=-2或sin=-1.当t=2时，轨迹方程为x2+y2=4；当sin=1时，轨迹方程为x=0.在各省市中，必修三算法、统计、初等概率（选修部分是重点），不会考解答大题，所以同学要重视这本书中的选择填空题！一、基础知识（理解去记）(1)四种基本的程序框(2)三种基本逻辑结构 顺序结构 条件结构 循环结构(3)基本算法语句（一）输入语句单个变量INPUT “提示内容”；变量多个变量INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，”；变量1，变量2，变量3， （二）输出语句PRINT “提示内容”；表达式（三）赋值语句变量=表达式（四）条件语句IF-THEN-ELSE格式IF 条件 THEN语句1ELSE语句2END IF满足条件？语句1语句2是否当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。其对应的程序框图为：（如上右图）IF-THEN格式IF 条件 THEN语句END IF满足条件？语句是否计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。其对应的程序框图为：（如上右图）（五）循环语句（1）WHILE语句WHILE 条件循环体WEND满足条件？循环体是否其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。其对应的程序结构框图为：（如上右图）（2）UNTIL语句DO循环体LOOP UNTIL 条件满足条件？循环体是否其对应的程序结构框图为：（如上右图）(4)算法案例案例1 辗转相除法与更相减损术案例2 秦九韶算法案例3 排序法：直接插入排序法与冒泡排序法案例4 进位制基本初等函数II一、基础知识（理解去记）定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|=,其中r是圆的半径。定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sin=,余弦函数cos=,正切函数tan=，余切函数cot=，正割函数sec=,余割函数csc=定理1 同角三角函数的基本关系式：倒数关系：tan=,sin=，cos=；商数关系：tan=；乘积关系：tancos=sin,cotsin=cos；平方关系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 诱导公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-cot; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（记法：奇变偶不变，符号看象限）。定理3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得y=sinx（xR）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为-1，1。这里kZ.定理4 （根据图像去记） 余弦函数的性质：根据图象可得y=cosx(xR)的性质。单调区间：在区间2k, 2k+上单调递减，在区间2k-, 2k上单调递增。最小正周期为2。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=k均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2k时，y取最大值1；当且仅当x=2k-时，y取最小值-1。值域为-1，1。这里kZ.定理5 （根据图像去记） 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xk+)在开区间(k-, k+)上为增函数, 最小正周期为，值域为（-，+），点（k，0），（k+，0）均为其对称中心。定理6 两角和与差的基本关系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=定理7 和差化积与积化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,sincos=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).口诀记忆：积化和差：前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦定理8 倍角公式（常考）:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理10 万能公式: , ,定理11 *【必考】辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为，则sin=,cos=，对任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为ABC外接圆半径。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x-1, 1)，函数y=cosx(x0, ) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x-1, 1). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x-, +).定理15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+arctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 若，则sinxxtanx.平面向量一、基础知识（理解去记）定义1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如a. |a|表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1的向量称为单位向量【最近几年常考】。定义2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理2 非零向量a, b共线的充要条件是存在实数0，使得a=f定理3 平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得c=xa+yb，其中a, b称为一组基底。定义3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理3可知存在唯一一组实数x, y，使得c=xi+yi，则（x, y）叫做c坐标。定义4 向量的数量积，若非零向量a, b的夹角为，则a, b的数量积记作ab=|a|b|cos=|a|b|cos，也称内积，其中|b|cos叫做b在a上的投影（注：投影可能为负值）。定理4 平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，2a=(x1, y1), a(b+c)=ab+ac，3ab=x1x2+y1y2, cos(a, b)=(a, b0),4. a/bx1y2=x2y1, abx1x2+y1y2=0.定义5 若点P是直线P1P2上异于p1，p2的一点，则存在唯一实数，使，叫P分所成的比，若O为平面内任意一点，则。由此可得若P1，P，P2的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则定义6 设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=个单位得到图形，这一过程叫做平移。设p(x, y)是F上任意一点，平移到上对应的点为，则称为平移公式。定理5 对于任意向量a=(x1, y1), b=(x2, y2), |ab|a|b|，并且|a+b|a|+|b|.【证明】 因为|a|2|b|2-|ab|2=-(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn)，b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式： (x1y1+x2y2+xnyn)20，又|ab|0, |a|b|0，所以|a|b|ab|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对n维向量，a=(x1, x2,xn), b=(y1, y2, , yn)，同样有|ab|a|b|，化简即为柯西不等式：(x1y1+x2y2+xnyn)2。2）对于任意n个向量，a1, a2, ,an，有| a1, a2, ,an| a1|+|a2|+|an|。解三角形一、基础知识【理解去记】在本章中约定用A，B，C分别表示ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。1正弦定理：=2R（R为ABC外接圆半径）。推论1：ABC的面积为SABC=推论2：在ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在ABC中，A+B=，解a满足，则a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以SABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论4，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于cos(-A+a)-cos(-A-a)= cos(-a+A)-cos(-a-A)，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0-A+a，-a+A1时，an=Sn-Sn-1.定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则an称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d.定理2 *【必考】等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+aq；5）对任意正整数p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则an是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有，则an称为等比数列，q叫做公比。定理3 *【必考】等比数列的性质：1）an=a1qn-1；2）前n项和Sn，当q1时，Sn=；当q=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，则aman=apaq。定义4 极限，给定数列an和实数A，若对任意的0，存在M，对任意的nM(nN),都有|an-A|，则称A为n+时数列an的极限，记作定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列an的公比q满足|q|ba-b0； （2）ab, bcac；（3）aba+cb+c； （4）ab, c0acbc；（5）ab, c0acb0, cd0acbd;（7）ab0, nN+anbn; （8）ab0, nN+;（9）a0, |x|a-axaxa或xb0, cd0，所以acbc, bcbd，所以acbd；重复利用性质（6），可得性质（7）；再证性质（8），用反证法，若，由性质（7）得，即ab，与ab矛盾，所以假设不成立，所以；由绝对值的意义知（9）成立；-|a|a|a|, -|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|，所以|a+b|a|+|b|；下面再证（10）的左边，因为|a|=|a+b-b|a+b|+|b|，所以|a|-|b|a+b|，所以（10）成立；（11）显然成立；下证（12），因为x+y-20，所以x+y，当且仅当x=y时，等号成立，再证另一不等式，令，因为x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 0，所以a3+b3+c33abc，即x+y+z，等号当且仅当x=y=z时成立。圆锥曲线与方程一、基础知识【理解去记】1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即(0eb0)，参数方程为（为参数）。若焦点在y轴上，列标准方程为 (ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(a, 0), (0, b), (c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5.补充知识点：几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为；2）斜率为k的切线方程为；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为的弦的长为。6双曲线的定义，第一定义：满足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的点P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为，参数方程为（为参数）。焦点在y轴上的双曲线的标准方程为。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(a, b0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9补充知识点：双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 过焦点的倾斜角为的弦长是。10抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1.11补充知识点抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径|PF|=；2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为的弦长为。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=,xOP=，则由（，）唯一确定点P的位置，（，）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若0e1，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为导数及其应用无论哪个省市的考题中可以看出，一定会重视对导数的考察，所以同学一定将导数学细学精！一、 基础知识【理解去记】1极限定义：（1）若数列un满足，对任意给定的正数，总存在正数m，当nm且nN时，恒有|un-A|f(a)且f(c)=m，则c(a,b)，且f(c)为最大值，故，综上得证。数系的扩充与复数一、基础知识【理解去记】1复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,bR）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。2复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,bR），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设xOZ=,|OZ|=r，则a=rcos,b=rsin,所以z=r(cos+isin)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos+isin)，则称为z的辐角。若02，则称为z的辐角主值，记作=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用ei表示cos+isin，则z=rei，称为复数的指数形式。3共轭与模，若z=a+bi，（a,bR）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。4复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cos1+isin1), z2=r2(cos2+isin2)，则z1z2=r1r2cos(1+2)+isin(1+2)；若cos(1-2)+isin(1-2)，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(1+2),5.【部分省市考】棣莫弗定理：r(cos+isin)n=rn(cosn+isinn).6.开方：若r(cos+isin)，则，k=0,1,2,n-1。7单位根：若wn=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=，则全部单位根可表示为1,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,n-1）：（1）对任意整数k，若k=nq+r,qZ,0rn-1，有Znq+r=Zr；（2）对任意整数m，当n2时，有=特别1+Z1+Z2+Zn-1=0；（3）xn-1+xn-2+x+1=(x-Z1)(x-Z2)(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-)(x-).8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数的模和辐角主值分别相等9复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z0）.10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。11实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b0)是方程的一个根，则=a-bi也是一个根。12若a,b,cR,a0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当=b2-4ac0时方程的根为本书重点：排列组合、概率第一章 计数原理 第二章 概率一、基础知识1加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+mn种不同的方法。2乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1m2mn种不同的方法。3排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(mn)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)(n-m+1)=,其中m,nN,mn,注：一般地=1，0！=1，=n!。4N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!。5组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(mn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示：6【了解】组合数的基本性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。7定理1：不定方程x1+x2+xn=r的正整数解的个数为。证明将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射。反之B中