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文档简介

用心 爱心 专心 分段函数的几个问题分段函数的几个问题 分段函数在教材中是以例题的形式出现的 并未作深入说明 学 生对此认识比较肤浅 本文就分段函数的有关问题整理 归纳如下 1 分段函数的含义 所谓 分段函数 习惯上指在定义域的不同部分 有不同的对 应法则的函数 对它应有以下两点基本认识 1 分段函数是一个函数 不要把它误认为是几个函数 2 分段函数的定义域是各段定义域的并集 值域是各段值域 的并集 2 求分段函数的函数值 例 1 已知函数 1 3 2 0 3 01 log 1 x x f xx x x 求 ff f a a 0 的值 分析 求分段函数的函数值时 首先应确定自变量在定义域中所 在的范围 然后按相应的对应法则求值 f x是分段函数 要求 ff f a 需要确定 f f a的取值范围 为此又需确定 f a的取值范 围 然后根据所在定义域代入相应的解析式 逐步求解 解 a 0 2af a 0 2a1 用心 爱心 专心 ff f a 3 f 1 3 log3 2 1 3 求分段函数的解析式 例 2 已知奇函数 f x xR 当x 0 时 f x x 5 x 1 求 f x在 R 上的表达式 解 f x是定义域在 R 上的奇函数 0 f 0 又当x 0 时 x 0 故有 fx x 5 x 1 x 5 x 1 再由 f x是奇函数 f x f x x 5 x 1 5 1 0 0 0 5 1 0 xxx f xx xxx 例 3求函数 f x 2 x 2 6a x 3 2 a 0 x 1 的最小值 解 f x x 3a 1 2 6 2 a 6a 1 0 x 1 当 3a 11 时 f x的最小值为 f 1 3 2 a 6a 3 因此函数 f x的最小值可表示成关系于a的分段函数 2 2 2 1 3 3 12 661 33 2 363 3 aa g aaaa aaa 用心 爱心 专心 4 求分段函数的最值 例 4 求函数 23 0 3 01 5 1 xx yxx xx 的最小值 方法 1 先求每个分段区间上的最值 后比较求值 当x 0 时 y f x 2x 3 此时显然有ymaX 0 f 3 当 01 时 y f x x 5 此时y无最大值 比较可得当x 1 时 ymax 4 方法 2 利用函数的单调性 由函数解析式可知 f x在x 0 上是单调递增的 在x 0 1 上也是递增的 而在x 1 上是递减的 由 f x的连续性可知 f x当x 1 时有最大值 4 方法 3 利用图像 数形结合求得 作函数y f x的图像 图 1 显然
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