【中考12年】广东省广州市2001-2012年中考数学试题分类解析 专题12 押轴题

1 广州市广州市 2001 20122001 2012 年中考数学试题分类解析专题年中考数学试题分类解析专题 1212 押轴题 押轴题 1 1 选择题选择题 1 1 20012001 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 若两个半径不等的圆相外切 则它们的一条外公切线的长 A 大于这两圆半径的和 B 等于这两圆半径的和 C 小于这两圆半径的和 D 与这两圆半径之和的大小关系不确定 2 2 20022002 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 若 12 OOAA 的半径分别为 1 和 3 且 1 OA和 2 OA外切 则 平面上半径为 4 且与 12 OOAA 都相切的圆有 A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 答案答案 D 考点考点 两圆的位置关系 分类思想的应用 分析分析 所求圆圆心为 O 则 O1 O2 1 3 4 O1 O 4 1 5 或 4 1 3 O2 O 4 3 7 或 4 3 1 问题转化为求满足此条件的三角形或三点共线有几个 如图 如果是 4 5 7 有 2 个 2 如果是 4 5 1 不能构成三角形 但是可以三点共线有 1 个 如果是 4 3 7 不能构成三角形 但是可以三点共线有 1 个 如果是 4 3 1 不能构成三角形 但是可以三点共线有 1 个 所以一共有 5 个 故选 D 3 3 20032003 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 在 O 中 C 是弧 AB 的中点 D 是弧上的任一点 与点 A C 不重合 则 A AC CB AD DB B AC CB AD DB C AC CB AD DB D AC CB 与 AD DB 的大小关系不确定 答案答案 C 考点考点 圆心角 弧 弦的关系 圆周角定理 等腰三角形的判定和 性质 三角形三边关系 分析分析 欲求 AC CB 和 AD DB 的大小关系 需将这些线段构建到同一 个三角形中 然后利用三角形的三边关系求解 如图 以 C 为圆心 AC 为半径作圆 交 BD 的延长线于 E 连接 AE CE CB CE CBE CEB 3 4 4 20042004 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 O1 O2内切于点 A O1的半径为 3 O2的半径 为 2 点 P 是 O1的任一点 与点 A 不重合 直线 PA 交 O2于点 C PB 与 O2相切于点 B 则 PB PC A 2 B 3 C 3 2 D 6 2 答案答案 B 5 5 20052005 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 已知点 A 1 0 和点 B 1 2 在坐标轴上确定 点 P 使得 ABP 为直角三角形 则满足这样条件的点 P 共有 4 A 2 个 B 4 个 C 6 个 D 7 个 6 6 20062006 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 将一块正方形木板用虚线划分成 36 个全等的小正方 形 然后 按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片 制成一副七巧板 用这副七 巧板拼成图 的图案 则图 中阴影部分的面积是整个图案面积的 A 1 2 2 B 1 4 C 1 7 D 1 8 7 7 20072007 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 O 是 ABC 的内切圆 OD AB 于点 D 交 O 于点 E C 60 5 如果 O 的半径为 2 则结论错误的是 A AD DB B A A AEEB C OD 1 D AB3 8 8 20082008 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 四个小朋友玩跷跷板 他们的体重分别为 P Q R S 如图 所示 则他们的体重大小关系是 A PRSQ B QSPR C SPQR D SPRQ 答案答案 D 考点考点 不等式组的应用 分析分析 由三个图分别可以得到 SP PR PRQS 所以 S P R 且 PRQSQPRQ 因此 SPRQ 故选 D 6 9 9 20092009 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 在ABCD 中 AB 6 AD 9 BAD 的平分线交 BC 于点 E 交 DC 的延长线于点 F BG AE 垂足为 G BG 24 则 CEF 的周长为 A 8 B 9 5 C 10 D 11 5 答案答案 A 10 10 20102010 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 为确保信息安全 信息需加密传输 发送方由明文 密 文 加密 接收方由 密文 明文 解密 已知有一种密码 将英文 26 个小写字母 a b c z 依次对应 0 1 2 25 7 这 26 个自然数 见表格 当明文中的字母对应的序号为 时 将 10 除以 26 后所得 的余数作为密文 中的字母对应的序号 例如明文 s 对应密文 c 字母 abcdefghijklm 序号 0123456789101112 字母 nopqrstuvwxyz 序号 13141516171819202122232425 按上述规定 将明文 maths 译成密文后是 A wkdrc B wkhtc C eqdjc D eqhjc 11 11 20112011 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 AB 切 O 于点 B OA 23 AB 3 弦 BC OA 则 劣弧 BC 的弧长为 A 3 3 B 3 2 C D 3 2 答案答案 A 考点考点 弧长的计算 切线的性质 特殊角的三角函数值 平行 线的性质 分析分析 要求劣弧ABC的长首先要连接 OB OC 由 AB 切 O 于点 B 根据切线的性质得到 OB AB 在 Rt OBA 中 OA 23 AB 3 利用三角函数求出 BOA 60 同时得到 OB 1 2 OA 3 又根据平行线内错角相等的性质得到 BOA CBO 60 于是有 8 BOC 60 最后根据弧长公式计算出劣弧ABC的长 6033 1803 故选 A 12 12 20122012 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 正比例函数 y1 k1x 和反比例函数 2 2 k y x 的图象交于 A 1 2 B 1 2 两点 若 y1 y2 则 x 的取值范围是 A x 1 或 x 1 B x 1 或 0 x 1 C 1 x 0 或 0 x 1 D 1 x 0 或 x 1 二 填空题二 填空题 1 1 20012001 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如果圆锥的底面圆的半径是 8 母线的长是 15 那么这个圆 锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 2 2 20022002 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 在平坦的草地上有 A B C 三个小球 若已知 A 球和 B 球相 距 3 米 A 球与 C 球相距 1 米 则 B 球与 C 球可能相距 米 球的半径忽略不 计 只要求填出一个符合条件的数 答案答案 3 答案不唯一 考点考点 开放型 三角形三边关系 分类思想的应用 分析分析 此题注意两种情况 当 A B C 三个小球共线时 根据线段的和 差计算 BC 2 或 4 9 当 A B C 三个小球不共线时 根据三角形的三边关系进行分析 2 BC 4 B 球和 C 球可能相距 2 米 BC 4 米 如 3 等 答案不惟一只需满足 2 米 距离 4 米 3 3 20032003 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 E F 90 B C AE AF 给出下列结论 1 2 BE CF ACN ABM CD DN 其中正确的结论是 注 将你认为 正确的 结论都填上 4 4 20042004 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 CB CD 分别是钝角 AEC 和锐角 ABC 的中线 且 AC AB 给出下列结论 AE 2AC CE 2CD ACD BCE CB 平分 DCE 请写出 正确结论的序号 注 将你认为正确结论的序号都填上 10 答案答案 考点考点 三角形中线性质 三角形中位线定理 全等三角形的判定和性质 5 5 20052005 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 在直径为 6 的半圆AAB上有两动点 M N 弦 AM BN 相 交于点 P 则 AP AM BP BN 的值为 答案答案 36 考点考点 双动点问题 相交弦定理 勾股定理 圆周角定理 分析分析 连接 BM 11 AB 是直径 AMB 90 222 BPMPBM AP PM BP PN AP AM BP BN AP AP PM BP BP PN AP2 AP PM BP2 BP PN AP2 BP2 2AP PM AP2 MP2 BM2 2AP PM BM2 AP PM 2 BM2 AM2 AB2 36 6 6 20062006 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 从一块直径为 a b 的圆形纸板上挖去直径分别为 a 和 b 的两个圆 则剩下的纸板面积为 7 7 20072007 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 点 O 是 AC 的中点 将周长为 4 的菱形 ABCD 沿对角 线 AC 方向平 移 AD 长度得到菱形 OB C D 则四边形 OECF 的周长是 答案答案 2 考点考点 菱形的判定和性质 平移的性质 三角形中位线定理 分析分析 菱形 ABCD 的周长为 4 AD 1 菱形 OB C D 由菱形 ABCD 沿对角线 AC 方向平移得到 O D AD 点 O 是 AC 的中点 OF 1 2 AD 1 2 同理 OE CK CF 1 2 四边形 OECF 的周长是 1 42 2 12 8 8 20082008 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 对于平面内任意一个凸四边形 ABCD 现从以下四个关系式 AB CD AD BC AB CD C A 中任取两个作为条件 能够得出这个四边形 ABCD 是平行 四边形的概率是 9 9 20092009 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三 视图 则此几何体共 由 块长方体的积木搭成 答案答案 4 考点考点 由三视图判断几何体 分析分析 主视图 左视图 俯视图是分别从物体正面 左面和上面看 所得到的图形 因 此 由俯视图知 最底层有 3 块长方体 由正视图和左视图知 此图有两层 最上层 有 1 块长方体 因此此几何体共有 4 块长方体的积木块搭成 10 10 20102010 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 BD 是 ABC 的角平分线 ABD 36 C 72 13 则图中的等腰三 角形有 个 11 11 20112011 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 定义新运算 1 ab a4b 3 则 12 1 12 12 20122012 年广东广州年广东广州 3 3 分 分 如图 在标有刻度的直线 l 上 从点 A 开始 以 AB 1 为直径画半圆 记为第 1 个半圆 以 BC 2 为直径画半圆 记为第 2 个半圆 以 CD 4 为直径画半圆 记为第 3 个半圆 以 DE 8 为直径画半圆 记为第 4 个半圆 按此规律 继续画半圆 则第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的 倍 第 n 个 半圆的面积为 结果保留 14 三 解答题三 解答题 1 1 20012001 年广东广州年广东广州 1414 分 分 1 已知 如图 过 B C 两点的圆与 ABC 的边 AB AC 分别相交于点 D 和点 E 且 DE 2 1 BC 求证 S ADE S四边形 DBCE 3 1 2 在 ABC 的外部取一点 P 直线 BC 上的点除外 分别连结 PB PC BPC 与 BAC 的大小关系怎样 不要求证明 答案答案 解 1 证明 ADE AED 是圆内接四边形 DBCE 的外角 ADE C AED B ADE ACB 2 2 ADE ACB SDE11 SBC24 15 S ADE S四边形 DBEC 3 1 2 作 ABC 的外接圆 取点 A 关于 BC 的对称点 F 作 FBC 的外接圆 当点 P 取在弓形 BAC 内 ABC 外 或弓形 BFC 内时 BPC BAC 当点 P 取在弧 BAC 或弧 BFC 点 A B C 除外 上时 BPC BAC 当点 P 取在弓形 BAC 与弓形 BFC 所围成的图形外 除直线 BC 上 的点 时 BPC BAC 2 2 20012001 年广东广州年广东广州 1414 分 分 在车站开始检票时 有 a a 0 名旅客在候车室排队等候 检票进站 检票开始后 仍有旅客继续前来排队检票进站 设旅客按固定的速度增加 检 票口检票的速度也是固定的 若开放一个检票口 则需 30 分钟才可将排队等候检票的旅客 全部检票完毕 若开放两个检票口 则只需 l0 分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完 毕 如果要在 5 分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕 以使后来到站的旅客能随到 随检 至少要同时开放几个检票口 答案答案 解 设检票开始后每分钟新增加的旅客为 x 人 检票的速度为每个检票口每分钟 检 y 人 5 分钟内检票完毕要同时开放 n 个检票口 依题意 得 a30 x30y a10 x2 10y a5xn 5y 3 一 得 2a 30y 得 a y 15 16 把 代入 得 a x 30 把 代入 得 aa an 63 a 0 n 21 6 3 5 n 取最小的整数 n 4 答 至少需同时开放 4 个检票口 3 3 20022002 年广东广州年广东广州 1515 分 分 如图 在 ABC 中 B 90 AB 4 BC 3 O 是 AB 的中点 OP AB 交 AC 于点 P 1 证明线段 AO OB OP 中 任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度 2 过线段 OB 包括端点 上任一点 M 作 MN AB 交 AC 于点 N 如果要使线段 AM MB MN 中任意两条线段长度之和大于第三条线段的长度 那么请求出线段 AM 的长度 的取值范围 2 当 M 在 OB 上时 设 AM x 2 x 4 则 MB 4 x AMN ABC MNBC AMAB BC AM3 MNx AB4 又 MN AM MBAM 17 3 x4xx 4 解得 16 x 5 AM 的取值范围为 16 2AM 5 4 4 20022002 年广东广州年广东广州 1515 分 分 某玩具工厂有四个车间 某周是质量检查周 现每个车间都 原有 a a 0 个成品 且每个车间每天都生产 b b 0 个成品 质检科派出若干名检验员 星期一 星期二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品 然后 星期三至星期 五检验另两个车间原有的和本周生产的所有成品 假定每个检验员每天检验的成品数相同 1 这若干名检验员 1 天检验多少个成品 用含 a b 的代数式表示 2 试求出用 b 表示 a 的关系式 3 若 1 名质检员 1 天能检验 5 4 b 个成品 则质检科至少要派出多少名检验员 5 5 20032003 年广东广州年广东广州 1616 分 分 已知 ABC 中 AC 5 BC 12 ACB 90 P 是 AB 18 边上的动点 与 点 A B 不重合 Q 是 BC 边上的动点 与点 B C 不重合 1 如图 当 PQ AC 且 Q 为 BC 的中点时 求线段 CP 的长 2 当 PQ 与 AC 不平行时 CPQ 可能为直角三角形吗 若有可能 请求出线段 CQ 的长 的取值范围 若不可能 请说明理由 CQ 20 2x 3 当 CQ 20 3 且点 P 运动到切点 M 位置时 CPQ 为直角三角形 当 20 3 CQ 12 时 半圆 D 与直线 AB 有两个交点 当点 P 运动到这两个 交点的位置时 CPQ 为直角三角形 19 当 0 CQ 20 3 时 半圆 D 与直线 AB 相离 即点 P 在 AB 边上运动时 均 在半圆 D 外 CPQ 90 此时 CPQ 不可能为直角三角形 综上所述 当 20 3 CQ 12 时 CPQ 可能为直角三角形 6 6 20032003 年广东广州年广东广州 1616 分 分 现计划把甲种货物 1240 吨和乙种货物 880 吨用一列货车 运往某地 已知这 列货车挂有 A B 两种不同规格的货车厢共 40 节 使用 A 型车厢每节费用为 6000 元 使用 B 型车厢每节 费用为 8000 元 1 设运送这批货物的总费用为 y 万元 这列货车挂 A 型车厢 x 节 试写出 y 与 x 之间的 函数关系式 2 如果每节 A 型车厢最多可装甲种货物 35 吨和乙种货物 15 吨 每节 B 型车厢最多可装 甲种货物 25 吨和乙种货物 35 吨 装货时按此要求安排 A B 两种车厢的节数 那么共有哪几种安排车 厢的方案 3 在上述方案中 哪个方案运费最省 最少运费为多少元 答案答案 解 1 设用 A 型车厢 x 节 则用 B 型车厢 40 x 节 总运费为 y 万元 根据题意 得 y 0 6 x 0 8 40 x 0 2 x 32 2 根据题意 得 35x25 40 x 1240 15x35 40 x 880 解得 x24 x26 24 x 26 x 取整数 A 型车厢可用 24 节或 25 节或 26 节 相应有三种装车方 20 案 24 节 A 型车厢和 16 节 B 型车厢 25 节 A 型车厢和 15 节 B 型车厢 26 节 A 型车厢和 14 节 B 型车厢 3 由函数 y 0 2 x 32 知 x 越大 y 越少 故当 x 26 时 运费最省 这时 y 0 2 26 32 26 8 万元 答 安排 A 型车厢 26 节 B 型车厢 14 节运费最省 最小运费为 26 8 万 元 7 7 20042004 年广东广州年广东广州 1515 分 分 如图 PA 为圆的切线 A 为切点 PBC 为割线 APC 的平 分线交 AB 于点 D 交 AC 于点 E 求证 1 AD AE 2 AB AE AC DB 答案答案 证明 1 ADE APD PAD AED CPE C 又 APD CPE PAD C ADE AED AD AE 2 APB CPA PAB C APB CPA ABPB ACPA APE BPD AED ADE PDB PBD PEA 21 PBDB PAAE ABDB ACAE AB AE AC DB 8 8 20042004 年广东广州年广东广州 1515 分 分 已知抛物线 2 ym1 x2mxm m 为整数 经过点 A 1 1 顶点为 P 且与 x 轴有两个不同的交点 1 判断点 P 是否在线段 OA 上 O 为坐标原点 并说明理由 2 设该抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为 x1 x2 且 x1 x2 是否存在实数 m 使 x1 m x2 若存在 请求出 m 的取值范围 若不存在 请说明理由 当 m 1 时 m 1 0 m m1 0 点 P 在第一象限 m1 1 m1m1 0 m m1 1 点 P 不在线段 OA 上 综上所述 点 P 不在线段 OA 上 2 存在实数 m 满足 x1 m x2 22 x1 x2是方程 2 m1 x2mxm0 的两个不相等的根 1212 2mm xxxx m1m1 形 2 2 22 121212 m mm1 m2m xmxmxxm xxmm m1m1m1 x1 m x2 12 xmxm 0 即 2 m mm1 m1 0 又 m 0 且 m 1 且 2 2 13 mm1 m0 24 2 m mm1 0 根据实数运算的符号法则 可得m10 即m1 m 的取值范围是 1 m 0 9 9 20052005 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 某学校校园内有一块形状为直角梯形的空地 ABCD 其 中 AB DC B 90 AB 100m BC 80m CD 40m 现计划在上面建设一个面积为 S 的矩 形综合楼 PMBN 其中点 P 在线段 AD 上 且 PM 的长至少为 36m 1 求边 AD 的长 2 设 PA x m 求 S 关于 x 的函数关系式 并指出自变量 x 的取值范围 3 若 S 3300m2 求 PA 的长 精确到 0 1m 23 答案答案 解 1 过点 D 作 DE AB 于 D 则 DE BC 且 DE BC CD BE DE PM 在 Rt ADE 中 DE 80m AE AB BE 100 40 60m 22 ADAEDE36006400100m 2 DE PM APM ADE APPMAM ADDEAE 即 xPMAM 1008060 43 PMxAMx 55 形 MB AB AM 3 100 x 5 2 4312 SPM MBx 100 xx80 x 5515 由 4 PMx36 5 得x45 自变量 x 的取值范围为45x100 3 当 S 3300m2时 2 12 80 xx3300 25 即 2 3x500 x206250 2 500 500 4 3 2062550050 x 66 1 550 x91 7 6 m 2 450 x75 6 m 即当 S 3300m2时 PA 的长为 75m 或约为 91 7m 进而可根据 AB 的长 表示出矩形的长 BM 的值 由此可根据矩形的面积公式得出关于 S x 24 的函数关系式 自变量的取值范围可根据 PM 的长至少为 36m 来解 即让 PM 的表达式大于 等于 36 即可 3 将 S 的值代入 2 所求得的函数解析式中 求出 x 的值 然后看 x 的值是 否符合自变量的取值范围 10 10 20052005 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 已知正方形 ABCD 的面积为 S 1 求作 四边形 A1B1C1D1 使得点 A1和点 A 关于点 B 对称 点 B1和点 B 关于点 C 对称 点 C1和点 C 关于点 D 对称 点 D1和点 D 关于点 A 对称 只要求画出图形 不要求 写作法 2 用 S 表示 1 中作出的四边形 A1B1C1D1的面积 S1 3 若将已知条件中的正方形改为任意四边形 面积仍为 S 并按 1 的要求作出 一个新的四个边形 面积为 S2 则 S1与 S2是否相等 为什么 答案答案 解 1 作图如图所示 2 设正方形 ABCD 的边长为 a 则 AA1 2a 2 AA1D111 1 SAAADa 2 同理 2 BB1A1CC1B1DD1C1 SSSa 2 1AA1D1BB1A1CC1B1DD1C1ABCD SSSSSS5a5S 形形形 3 S1 S2 理由如下 25 画出图形 连接 BD BD1 BDD1中 AB 是中线 S ABD1 S ABD 又 AA1D1中 BD1是中线 S ABD1 S A1BD1 S AA1D1 2S ABD 同理 得 S CC1B1 2S CBD S AA1D1 S CC1B1 2 S ABD S CBD 2S 同理 得 S BA1B1 S DD1C1 2S S2 S AA1D1 S BB1A1 S CC1B1 S DD1C1 S四边形 ABCD 5S 由 2 得 S1 5S S1 S2 11 11 20062006 年广东广州年广东广州 1414 分 分 在 ABC 中 AB BC 将 ABC 绕点 A 沿顺时针方向旋转得 A1B1C1 使点 Cl落在直线 BC 上 点 Cl与点 C 不重合 1 如图 当 C 60 时 写出边 ABl与边 CB 的位置关系 并加以证明 2 当 C 60 时 写出边 ABl与边 CB 的位置关系 不要求证明 3 当 C 60 时 请你在如图中用尺规作图法作出 AB1C1 保留作图痕迹 不写作法 再猜想你在 1 2 中得出的结论是否还成立并说明理由 答案答案 解 1 AB1 CB 证明如下 AB BC C BAC A1B1C1由 ABC 绕点 A 沿顺时针方向旋转得到 BAC B1AC1 26 当 C 60 时 点 C1在线段 BC 上 AC1 AC AC1C C AC1C C BAC B1AC1 AB1 CB 2 AB1 CB 3 作图如下 当 C 600时 1 2 中得出的结论是还成立 当 C 即 27 222 m4 12mn 9m4n0 由求根公式可知两根为 2 m9m4n x 2 AB 2 BA xx 9m4n 分两种情况讨论 第一种 点 A 在点 P 左边 点 B 在点 P 的右边 PB 2 m9m4n 2 AP 2 m9m4n 2 考点考点 二次函数综合题 曲线上点的坐标与方程的关系 一元二次方程根的判别式 解 一元二次方程 分类思想的应用 分析分析 1 只要证得对应的一元二次方程根的判别式大于 0 即可 2 分点 A 在点 P 左边 点 B 在点 P 的右边和点 A B 都在点 P 左边 点 A 在点 28 B 左边两种情况讨论即可 13 13 20072007 年广东广州年广东广州 1414 分 分 一次函数ykxk 过点 1 4 且分别与 x 轴 y 轴交 于 A B 点 点 P a 0 在 x 轴正半轴上运动 点 Q 0 b 在 y 轴正半轴上运动 且 PQ AB 1 求 k 的值 并在直角坐标系中画出一次函数的图象 2 求 a b 满足的等量关系式 3 若 APQ 是等腰三角形 求 APQ 的面积 答案答案 解 1 一次函数 y kx k 的图象经过点 1 4 4 k 1 k 即 k 2 y 2x 2 当 x 0 时 y 2 当 y 0 时 x 1 即 A 1 0 B 0 2 如图 直线 AB 是一次函数 y 2x 2 的图象 2 PQ AB QPO 90 BAO 又 ABO 90 BAO ABO QPO 29 Rt ABO Rt QPO AOOB QOOP 即 12 ba a 2b a b 满足的等量关系式为 a 2b 3 由 2 知 a 2b AP AO OP 1 a 1 2b 2222 AQOAOQ1b 22222222 PQOPOQab 2b b5b 分析分析 1 由已知可得到其一次函数的解析式 从而求得 A B 的坐标 据此即可画出 一次函数的图象 2 根据已知可证明 Rt ABO Rt QPO 相似三角形的对应边成比例 从而可 求得 a b 满足的等量关系式 3 已知 APQ 是等腰三角形而没有明确指出是哪两边相等 从而要分三种情况 进行分析 分别是 AP AQ AQ PQ 或 AP PQ 再根据面积公式即可求得 APQ 的面积 14 14 20072007 年广东广州年广东广州 1212 分 分 已知 Rt ABC 中 AB BC 在 Rt ADE 中 AD DE 连结 EC 取 EC 中点 M 连结 DM 和 BM 1 若点 D 在边 AC 上 点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合 如图 求证 BM DM 且 BM DM 30 2 如图 中的 ADE 绕点 A 逆时针转小于 45 的角 如图 那么 1 中的结论是 否仍成立 如果不成立 请举出反例 如果成立 请给予证明 又 AB BC ABD CBF SAS BD BF ABD CBF ABD DBC CBF DBC DBF ABC 90 在 Rt DBF中 由 BD BF DM MF 得 BM DM 且 BM DM 考点考点 直角三角形斜边上中线性质 圆周角定理 旋转的性质 平行四边形的判定和性 质 等腰直角三角形的性质 全等三角形的判定和性质 31 15 15 20082008 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 扇形 OAB 的半径 OA 3 圆心角 AOB 90 点 C 是 AB上异于 A B 的动点 过点 C 作 CD OA 于点 D 作 CE OB 于点 E 连结 DE 点 G H 在线段 DE 上 且 DG GH HE 1 求证 四边形 OGCH 是平行四边形 2 当点 C 在 AB上运动时 在 CD CG DG 中 是否存在长度不变的线段 若存在 请 求出该线段的长度 3 求证 22 CD3CH 是定值 答案答案 解 1 证明 连接 OC 交 DE 于 M 由矩形得 OM CG EM DM DG HE EM EH DM DG HM GM 四边形 OGCH 是平行四边形 2 DG 不变 在矩形 ODCE 中 DE OC 3 DG GH HE 1 不变 3 证明 过点 H 作 HF CD 于点 F 则 DHF DEC 32 DFDH2 DCDE3 DF 2 3 CD CF 1 3 CD 22222 HFHCCFDHDF DH 2 22 22 12 CHCD2CD 33 222 9CHCD364CD 即 22 9CH 3CD36 22 CD3CH 12 定值 16 16 20082008 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AB AD DC 2cm BC 4cm 在等腰 PQR 中 QPR 120 底边 QR 6cm 点 B C Q R 在同一直线 l 上 且 C Q 两 点重合 如果等腰 PQR 以 1cm 秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动 t 秒时梯形 ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积记为 S 平方厘米 1 当 t 4 时 求 S 的值 2 当4t 求 S 与 t 的函数关系式 并求出 S 的最大值 答案答案 解 1 当 t 4 时 CQ 4cm 过点 A 作 AE BC 于 E 过点 D 作 DF BC 于 F 33 AE DF 3cm AEB DFC 90 AB CD ABE DFC SAS BE CF EF AD 2cm BC 4cm BE C3F 1cm 点 D 与点 P 重合 BDC 11 SBC DF432 3 22 cm2 a 3 2 0 开口向下 S 有最大值 当 t 5 时 S 最大值为 5 3 2 当 6 x 10 时 P 在线段 DA 的延长线上 如图 1 60 2 30 3 90 RC t 6 BR 4 RC 4 t 6 10 t TB 1 2 BR 10t 2 TR 3 2 BR 3 10t 2 2 2 1110t335 325 33 STB TR10tttt10 22228228 34 a 3 8 0 时 开口向上 S 随 t 的增加而减小 t 6 时 S 最大值为2 3 综上所述 t 5 时 S 最大值为 5 3 2 17 17 20092009 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 边长为 1 的正方形 ABCD 被两条与边平行的线段 EF GH 分割为四 个小矩形 EF 与 GH 交于点 P 1 若 AG AE 证明 AF AH 2 若 FAH 45 证明 AG AE FH 3 若 Rt GBF 的周长为 1 求矩形 EPHD 的面积 答案答案 解 1 证明 ABCD 是正方形 AB AD B D 900 EF AB GH AD ABEA AGHD 都是矩形 AE BF AG DH AG AE BF DH ABF ADH SAS AF AH 2 证明 如图 将 ADH 绕点 A 顺时针旋转 90 度得 ADH1 由旋转和正方形的性质知 点 D 与点 B 重合 H1 35 D F 共线 H1AD HAD AH1 AH H1B HD BAD 900 FAH 450 BAF HAD 450 H1AF BAF H1AD BAF HA D 450 FAH 又 AF AF H1AF FAH SAS BF BH1 FH1 FH 由 1 知 AE BF AG DH FH1 BF BH1 BF DH AE AG AG AE FH 3 设 PE x PH y 则 BG 1 x BF 1 y Rt GBF 的周长为 1 FG x y 1 由勾股定理 得 2 22 1x1yxy1 形形形形 化简得 xy 1 2 矩形 EPHD 的面积为 1 2 18 18 20092009 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 二次函数 2 yxpxq p0 的图象与 x 轴交 于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 0 1 ABC 的面积为 4 5 1 求该二次函数的关系式 2 过 y 轴上的一点 M 0 m 作 y 轴的垂线 若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点 求 36 m 的取值范围 3 在该二次函数的图象上是否存在点 D 使四边形 ABCD 为直角梯形 若存在 求出点 D 的坐标 若不存在 请说明理由 2 在 2 3 yxx1 2 中令 y 0 解方程得 2 3 xx10 2 得 12 1 x x2 2 A 1 2 0 B 2 0 在 Rt AOC 中可求得 AC 5 2 在 Rt BOC 中可求得 BC 5 AC2 BC2 2 2 2 5255 5 242 AB2 ABC 是直角三角形 AB 为斜边 ABC 外接圆的直径为 AB 5 2 55 m 44 37 考点考点 二次函数综合题 待定系数法 曲线上点的坐标与方程的关系 一元二次方程与 系数的关系 勾股定理和逆定理 直线和圆的位置关系 直角梯形的判定 分类思想的应 用 分析分析 1 由点 C 的坐标可求得 q 1 设 A a 0 B b 0 则由 ABC 的面积为 5 4 得 AB b a 5 2 结合一元二次方程与系数的关系 得a b pab1 形 三式联立可求 得p 从而得到该二次函数的关系式 2 求出 ABC 的三边长 根据勾股定理逆定理判断出 ABC 是直角三角形 并 得直径 AB 5 2 根据直线和圆的位置关系 在圆心到过 y 轴上一点 M 0 m 与 y 轴垂直 的直线的距离应小于半径 即 55 m 44 3 分以 AC 为底边和以 BC 为底边两种情况讨论即可 19 19 20102010 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 O 的半径为 1 点 P 是 O 上一点 弦 AB 垂直平分 线段 OP 点 D 38 是AAPB上任一点 与端点 A B 不重合 DE AB 于点 E 以点 D 为圆心 DE 长为半径作 D 分别过 点 A B 作 D 的切线 两条切线相交于点 C 1 求弦 AB 的长 2 判断 ACB 是否为定值 若是 求出 ACB 的大小 否则 请说明理由 3 记 ABC 的面积为 S 若 2 S DE 4 3 求 ABC 的周长 3 记 ABC 的周长为 L 取 AC BC 与 D 的切点分别为 G H 连接 DG DC DH 则有 DG DH DE DG AC DH BC S S ABD S ACD S BCD 1 2 AB DE 1 2 BC DH 1 2 AC DG 39 1 2 AB BC AC DE 1 2 L DE 2 S 4 3 DE 2 1 L DE 2 4 3 DE L 83 DE CG CH 是 D 的切线 GCD 1 2 ACB 30 在 Rt CGD 中 0 DGDE CG 3DE tan303 3 CH CG 3DE 又由切线长定理可知 AG AE BH BE L AB BC AC 23 23DE 83DE 解得 DE 1 3 ABC 的周长为 8 3 3 20 20 20102010 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图所示 四边形 OABC 是矩形 点 A C 的坐标分别 为 3 0 0 1 点 D 是线段 BC 上的动点 与端点 B C 不重合 过点 D 作直线 1 yxb 2 交折线 OAB 于 点 E 40 1 记 ODE 的面积为 S 求 S 与b的函数关系式 2 当点 E 在线段 OA 上时 若矩形 OABC 关于直线 DE 的对称图形为四边形 OA1B1C1 试探究 OA1B1C1 与矩形 OABC 的重叠部分的面积是否发生变化 若不变 求出该重叠部分的面积 若改变 请说明理由 S 2 3 b 1b 2 535 bb b 222 41 2 如图 3 设 O1A1与 CB 相交于点 M OA 与 C1B1相交于点 N 则矩形 O1A1B1C1与 矩形 OABC 的重叠部分的面积即为四边形 DNEM 的面积 由题意知 DM NE DN ME 四边形 DNEM 为平行四边形 根据轴对称知 MED NED 又 MDE NED MED MDE MD ME 平行四边形 DNEM 为菱形 过点 D 作 DH OA 垂足为 H 由题易知 D 2b 2 1 E 2b 0 DH 1 HE 2b 2b 2 2 设菱形 DNEM的边长为 a 则在 Rt DHN 中 由勾股定理知 a2 2 a 2 12 a 5 4 S四边形 DNEM NE DH 5 4 矩形 OA1B1C1与矩形 OABC 的重叠部分的面积不发生变化 面积始终为 5 4 21 21 20112011 年广东广州年广东广州 1414 分 分 已知关于x的二次函数 2 yaxbxc a0 的图象经过 点 C 0 1 且与x轴交于不同的两点 A B 点 A 的坐标是 1 0 1 求c的值 2 求a的取值范围 42 3 该二次函数的图象与直线y 1 交于 C D 两点 设 A B C D 四点构成的四边形的 对角线相交于点 P 记 PCD 的面积为 S1 PAB 的面积为 S2 当 0 a 1 时 求证 S1 S2为常数 并求出该常数 答案答案 解 1 把 C 0 1 代入二次函数 2 yaxbxc a0 得 1 0 0 c 解 得 c 1 c的值是 1 2 由 1 二次函数为 2 yaxbx1 把 A 1 0 代入得 0 a b 1 b 1 a 二次函数为 2 yaxbx1 与x轴有两个交点 一元一次方程 2 axbx10 根的判别式 0 即 22 2 1a4a a2a1a1 0 a 1 且a 0 a的取值范围是a 1 且a 0 43 考点考点 二次函数综合题 解一元一次方程 解二元一次方程组 根的判别式 根与系数 的关系 二次函数图象上点的坐标特征 待定系数法求二次函数解析式 相似三角形的判 定和性质 22 22 20112011 年广东广年广东广州州 1414 分 分 如图 1 O 中 AB 是直径 C 是 O 上一点 ABC 45 等腰直角三角形 DCE 中 DCE 是直角 点 D 在线段 AC 上 44 1 证明 B C E 三点共线 2 若 M 是线段 BE 的中点 N 是线段 AD 的中点 证明 MN 2OM 3 将 DCE 绕点 C 逆时针旋转 0 90 后 记为 D1CE1 图 2 若 M1是 线段 BE1的中点 N1是线段 AD1的中点 M1N1 2OM1是否成立 若是 请证明 若不是 说明理由 答案答案 解 1 证明 AB 是直径 BCA 90 而等腰直角三角形 DCE 中 DCE 是直角 BCA DCE 90 90 180 B C E 三点共线 2 连接 BD AE ON 延长 BD 交 AE 于 F 如图 CB CA CD CE Rt BCD Rt ACE SAS BD AE EBD CAE CAE ADF CBD BDC 90 即 BD AE 又 M 是线段 BE 的中点 N 是线段 AD 的中点 而 O 为 AB 的中点 ON 1 2 BD OM 1 2 AE ON BD AE OM ON OM ON OM 即 ONM 为等腰直角三角形 45 MN 2OM 3 成立 理由如下 和 2 一样 易证得 Rt BCD1 Rt ACE1 同理可证 BD1 AE1 ON1M1为等腰直角三角形 从而有 M1N1 2OM1 23 23 20122012 年广东广州年广东广州 1414 分 分 如图 抛物线 2 33 y xx 3