高中数学《任意角的三角函数-三角问题》文字素材3 苏教版必修4

用心 爱心 专心1 数形结合思想三角问题中的妙用数形结合思想三角问题中的妙用 解答某些三角问题时 如能依据题设条件及所给式子的结构特征 适时构设单位圆 数形结合 可使这些问题简捷 明快地获解 现举例解析如下 例 1 求 00 00 40cos20cos 40sin20sin 的值 解析 构设如图 1 所示的单位圆 显然点 40sin 40 cos 20sin 20 cos 0000 BA在此单 位圆上 设线段AB的中点为 baM 连OM 则OM垂直平分AB 注意到 000 301020 2 1 AOBAOxMOx 所以 3 1 30tan 0 OM k 而 00 00 40cos20cos 40sin20sin AB k 所以由1 OMAB kk可得3 1 OM AB k k 即 3 40cos20cos 40sin20sin 00 00 1 M B A y x O Q P A 2 0 2 y x O 例 2 求函数 2cos sin x x xf的值域 解析 构设如图 2 所示的单位圆 显然点 sin cosxxM是单位圆上任意一点 点 0 2 A是单位圆外的一定点 则 2cos sin x x kMA 设QP 为过A的动直线l与单位圆 相切的两切点 显然有 0 30 QOAPOA 所以 APMAAQ kkk 而 3 3 30tan 3 3 30tan 00 APAQ kk 所以 3 3 3 3 MA k 即所求函数的值域为 3 3 3 3 用心 爱心 专心2 例 3 已知 3 1 coscos 2 1 sinsin 求 tan 的值 解析 构设如图 3 所示的单位圆 显然点 sin cos sin cos BA均在此单位圆 上 设线段AB的中点为 baM 连OM 则OM垂直平分AB 不妨假设 并注意到 22 1 AOBAOxMOx 所以 2 tantan MOxkOM 而 6 1 2 sinsin 4 1 2 coscos ba 所以由三角函数的定义可得 3 2 a b kOM 即 3 2 2 tan 所以 5 12 2 tan1 2 tan2 tan 2 例 4 设 是方程 0 0cossin abcxbxa的两不等的实根 求 tan 解析 构设如图 4 所示的单位圆 显然点 sin cosxxP是该单位圆上任意一点 则 sin cos sin cos BA是直线 0 0 abcbvaul与单位圆1 22 vu的两交 点 设线段AB的中点为 nmM 连OM 则OM垂直平分AB 不妨假设 并 注意到 22 1 AOBAOxMOx 所以 2 tan OM k 而 a b kAB 所以 由1 OMAB kk可得 b a 2 tan 22 2 2 2 tan1 2 tan2 tan ba ab M A B 3 y x O M A B 4 y x O 通过以上几例的解析可以看出 解答某些三角问题时 如能构设出单位圆 数形结合 不仅能使这些问题的解答简捷明快 而且还能使这些问题的解答独辟蹊径 强化数形结合 的意识 用心 爱心 专心3 OAM P T x y 的终 边 x y O A M T P 的终 边 x y OAM T P 的终 边 x y O P1 M1 P2 M2 700 1700 三角函数线的应用例举三角函数线的应用例举 以原点为圆心 半径为 1 的圆称为单位圆 它与 x 轴正半轴的交点是 A 1 0 设角 的 终边与单位圆交于点 P 过 P 作 PM x 轴于 M 再过 A 点作单位圆的切线交角 的终 边 或终边的反向延长线 于 T 右边的四个图中 分别讨论了角 的终 边在第一 二 三 四的情形 由于 sin MP cos OM tan AT 我们把有向线段 MP OM AT 分别叫 做角 的正弦线 余弦 线 正切线 它们统称 为三角函数线 关于三角函数线 要 注意以下几点 1 正弦线 余弦线 正切线都是有向线段 利 用它们的数量来表示三角 函数值 是数形结合的典 型体现 三角函数线表示三角的函数值的符号规定如下 正弦线 MP 正切线 AT 方向与 y 轴平行 向上为正 向下为负 余弦线 OM 在 x 轴上 向右为正 向左为负 2 作三角函数线时 所用字母一般都是固定的 书写顺序也不能颠倒 特别要注意正 切线必在过 A 1 0 的单位圆的切线上 其中二 三象限角需作终边的反向延长线 3 对于终边在坐标轴上的角 有时三角函数线退化为一个点 有时又为整个半径 当 角 的终边在 y 轴上时 角 的正切线不存在 4 当 20 时 正弦线 余弦线 正切线与角 并不是一一对应的 一般地 每一个确定的 MP OM AT 都对应两个 的值 以下通过事例来谈谈三角函数线的应用 例例 1 1 比较下列两个值的大小 1 sin7900与 sin 1900 2 cos880与 cos 4600 3 tan 3400 与 tan2500 分析分析 先在 00到 3600的范围内找出与这些角终边相同的角 确定终边的位置 再借助于 正弦线 余弦线 正切线的长度及方向来比较同名三角函数值的大小 解解 1 0000 70sin 703602sin 790sin 0000 170sin 170360sin 190sin 由图知 正弦线 M1P1与 M2P2均为正 M1P1 M2P2 用心 爱心 专心4 M2 x y O P2 M1 P1 2600 1600 A T2 O x y T1 2500 200 x y M1M2 P2P1 O P2 M P1 x y O 00 170sin70sin 即 sin7900 sin 1900 2 0000 160cos 1603602cos 880cos 0000 260cos 2603602cos 460cos 由图知 余弦线 OM1与 OM2均为负 且 OM1的长度 大于 OM2的长度 故 OM1 OM2 00 260cos160cos 即 cos880 cos 4600 3 0000 20tan 203601tan 340tan 由图知 200与 2500的正切线分别为 AT1和 AT2 AT1和 AT2均为正 且 AT1 AT2 00 250tan20tan 即 tan 3400 OP OM MP 1 即1cossin 2 连结 AP 则 OATOAPOAP SSS 扇形