高中数学从实验区高考试题窥探高中新课程立体几何教学的方向素材新课标A版必修2

从实验区高考试题窥探高中新课程立体几何教学的方向从实验区高考试题窥探高中新课程立体几何教学的方向 山西省教育科学研究院 薛红霞 立体几何是课标中变化较大的内容之一 在教学中如何应对这种变 化呢 本文从 2009 年实验区高考试题的特点分析立体几何教学的方 向 一 课标与大纲的区别 1 编排方式的变化 在大纲中 立体几何是作为一个整体安排在必修中 而在课标 中将立体几何的内容分为 3 部分 分阶段学习不同的内容 具体编 排见下表 大纲课 标 位置 与 内容 必修 直线 平面 简 单几何体 数学 2 立体几何初 步 选修 1 2 选修 2 2 推理与证明 反证法 选修 2 3 空间向 量与立体 几何 课时3618212 2 立体几何的学习作为向量的应用 在大纲中立体几何是在综合几何的观点下进行学习的 在课标 中 学生在必修部分学习立体几何初步的知识 立体几何中与位置 关系相关的问题是作为向量的应用学习的 3 文理学习的内容差别加大 从上表可以看出 侧重文科的学生只在数学 2 中学习立体几何 初步 之后只在选修 1 2 推理与证明 部分学习反证法 就不再学 习立体几何 而侧重理科的学生则要在向量的背景下继续学习立体 几何 学习直线的方向向量与平面的法向量 运用向量语言表述线 线 线面 面面的垂直 平行关系 用向量方法证明有关线 面位 置关系的一些定理 包括三垂线定理 用向量方法解决线线 线 面 面面的夹角的计算问题 体会向量方法在研究几何问题中的作 用 可见与大纲相比 课标加强了向量在解决立体几何中的作用 4 教学要求的改变 立体几何初步并不是截取了立体几何中的一部分 而是改变了 整个编排体系 从空间中的几何体开始学习 即从对整体的认知 逐步进入局部的深入研究 让学生感受学习的必要性 在数学 2 立 体几何初步的教学中 要求对有关线面平行 垂直关系的性质定理 进行证明 对相应的判定定理只要求直观感知 操作确认 并以长 方体为载体进行学习 能解决一些简单的推理论证及应用问题 但 是要求恰当地使用现代信息技术 提高学生的几何直观能力 二 实际教学现象 我省采用的教学顺序是 12345 所以第一学期的学习非常紧张 造成课时紧的原因是多方面的 但其中有一个原因是由教师对课标 的而理解不到位导致的 即教师在教学中盲目地拓广加深 一步到 位 比如补充三垂线定理 系统地讲解线面位置关系中的距离 角 的计算问题 将几何研究的载体扩充为各种几何体 在我省某市数 学 2 模块测试题中出现下列现象 整张试卷中考查线面关系的题目及几何关系的载体是 题 2 空间 4 点 题 6 一般的直线与面 题 7 三棱锥 题 11 三棱锥 题 19 四棱锥 题 20 直三棱柱 题 21 折叠 四棱锥 可以看出没有一道题目是以长方体为载体 完全是按照大 纲的思路命制 甚至有的模块测试卷中考查二面角计算问题 等等 这是当前课改的实际状况 是课改推进中的阻力 导致这种现 象的原因之一是认为要应付高考 所以要一步到位 但正是这堂而 皇之的理由扰乱了教学 制造了学困生 导致了过早的两极分化 这就好比早恋往往结出苦果 不顾学生的心智发展水平 不顾课标 的要求 揠苗助长 最终导致的也是学生对数学的厌恶 三 实验区高考试题分析 1 对基本关系的考查体现了直观感知和操作确认 例 1 2009 广东文 6 理 5 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 这个题目考查了线面基本位置关系的判定 但是其考查的切入 点不是知识的再现 而是基于基本知识的分析判断 学生可以根据 题目给出的条件用手头的工具进行操作判断 也可以通过想象进行 判断 例 2 2009 年海南文 9 如图 1 正方体 1111 ABCDABC D 的棱线长为 1 线段 11 B D上有两个动点 E F 且 1 2 EF 则下列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 D AEFBEF 的面积与的面积相等 这个题目以正方形为载体 考查在变化过程中不变的量 在对 选项 C 和 D 判断过程中学生不需要计算其准确值 只要分析其中的 关键量是否会发生变化即可 而选项 A 和 B 的判断也是线面关系性 质定理与判定性质定理的直接应用 这些题目的共同特点都是 既即考查了基本知识 又考查了学 生直观感知 操作确认的能力 2 文科试题中没有出现考查二面角的试题 但是考查的载体 也没有长方体 文科试题中 考查了基本位置关系的判定和证明 表面积 体 积的计算 通常与三视图结合 角的计算中没有出现二面角问题 这是严格执行了课标的要求 但是文科试题命制的载体多以非长方 图 1 体为载体 8 套文科试题中 22 道立体几何题 只有 2 道是直接用正 方体为载体的 这一点与课标的要求不符合 需要进一步探讨这样 做是否合适 3 理科试题主题不变 在解答题中向量方法与综合几何法并 重 理科试题中的解答题除个别题目之外都可以用向量方法和综合 几何法两类方法求解 而且向量方法不但有坐标法 还有几何法 运用向量方法不但可以证明确定的结论 还可以探索未知的结论 例 3 2009 年海南理 19 如图 2 四棱锥 S ABCD 的底 面是正方形 每条侧棱的长都是底面边长的2倍 P 为侧棱 SD 上的点 1 求证 AC SD 2 若 SD 平面PAC 求二面角 P AC D 的大小 3 在 2 的条件下 侧棱 SC 上是否存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 若存在 求 SE EC 的值 若不存在 试说明理由 本题中三个小题都可以用综合几何法求解 也可以建立坐标系用向量法求解 或者用向量几何法求解 对于前 两种方法此处不做分析 下面用向量几何法解决第 3 题 这是一 个探索性问题 利用向量可以将待求结论转化为已知条件 将所求 问题转化为求未知数问题 利用向量的数乘运算 可以确定线上每 一个点的位置 于是可以用已知向量CS表示出点 E 的位置 设 CStCE 接着将已有位置关系的几何特征代数化 建立代数关系 求出 t 的值即可 设CStCE 则CEBCBE 0 SDBE 0 SDCStBC 图 2 0 SDCStSDBC 接着利用SAD 与SCD 中的边角关系即可求解 这种方法数形结合 对于很多学生来说是比较容易接受的 类 似的题目还有福建理科 17 题 4 注重对新增加内容的考查 规避删减的内容 实验区的试题都注重考查新增内容 如对三视图的考查 对向 量方法的考查 例 4 2009 山东文理 4 一空间几 何体的三视图如图 3 所示 则该几何体的体 积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 该题考查了学生的空间想 象力 学生首先要根据三视图想 象他们对应的几何体的形状 之 后再根据所给数据计算几何体的体积 这样的试题在 2009 年实验区 的高考试题中有很多 在 2007 年和 2008 年的高考试题中也有类似 的题目 虽然命题的视角不同 题目的难易不同 但是他们共同的 特点都是比较注重三视图的考查 尤其是借助于视图给出数据 在 此基础上求原几何体的体积 表面积或判断位置关系 如广东 2009 年文科 17 题 等等 同时实验省市的试题规避了对删减内容的考查 尤其是在文科 试题中不考查三垂线定理 三垂线定理是很多中学教师割舍不下的 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 俯视图 图 3 内容 但是从例 1 可见 这个题目中的选项 A 虽然可以用三垂线定 理判断 但用线面垂直的定理求解也很便捷 三垂线定理并没有显 示出其优势 文科试题考查空间角的计算不涉及二面角 考查空间 距离 面积 体积的计算问题也避开了三垂线定理 如海南 2009 年 文科 18 题 或者即使可以用三垂线定理 但是并没有任何优势 看 到这些题目后教师并没有感到有必要补充三垂线定理 如福建 2009 年文科 20 题 浙江 2009 年文科 19 题等 四 对教学的启示 通过上述分析可见 2009 年实验区立体几何的试题较好的反 应了课标的要求 因此在教学中要做到 1 注重学生空间观念的培养 2 不但要培养学生的逻辑推理能力 还要注重培养学生的直 观感知 合情推理能力 3 要确定合理的阶段性教学目标 不要搞一步到位 4 重视新增加的知识