高二数学论文圆锥曲线中点弦问题的探讨人教版

用心 爱心 专心 关于圆锥曲线的中点弦问题的探讨关于圆锥曲线的中点弦问题的探讨 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题 是解析几何中的重要内容之一 也是高考的一个 热点问题 这类问题一般有以下三种类型 1 求中点弦所在直线方程问题 2 求弦中 点的轨迹方程问题 3 求弦中点的坐标问题 其解法有代点相减法 设而不求法 参数 法 待定系数法及中心对称变换法等 一 求中点弦所在直线方程问题一 求中点弦所在直线方程问题 例例 1 1 过椭圆内一点 M 2 1 引一条弦 使弦被点 M 平分 求这条弦所1 416 22 yx 在的直线方程 解法一 设所求直线方程为 y 1 k x 2 代入椭圆方程并整理得 016 12 4 2 8 14 2222 kxkkxk 又设直线与椭圆的交点为 A B 则是方程的两个根 于是 11 y x 22 y x 21 x x 14 2 8 2 2 21 k kk xx 又 M 为 AB 的中点 所以 2 14 2 4 2 2 2 21 k kkxx 解得 2 1 k 故所求直线方程为 042 yx 解法二 设直线与椭圆的交点为 A B M 2 1 为 AB 的中点 11 y x 22 y x 所以 4 21 xx2 21 yy 又 A B 两点在椭圆上 则 164 2 1 2 1 yx164 2 2 2 2 yx 两式相减得 0 4 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 所以 即 2 1 4 21 21 21 21 yy xx xx yy 2 1 AB k 故所求直线方程为 042 yx 解法三 设所求直线与椭圆的一个交点为 A 由于中点为 M 2 1 yx 则另一个交点为 B 4 yx 2 因为 A B 两点在椭圆上 所以有 16 2 4 4 164 22 22 yx yx 两式相减得 042 yx 由于过 A B 的直线只有一条 故所求直线方程为 042 yx 二 求弦中点的轨迹方程问题二 求弦中点的轨迹方程问题 例例 2 2 过椭圆上一点 P 8 0 作直线交椭圆于 Q 点 求 PQ 中点的轨迹方1 3664 22 yx 程 解法一 设弦 PQ 中点 M 弦端点 P Q yx 11 y x 22 y x 用心 爱心 专心 则有 576169 576169 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 两式相减得 0 16 9 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 又因为 所以 xxx2 21 yyy2 21 0 216 29 2121 yyyxxx 所以 y x xx yy 16 9 21 21 而 故 8 0 x y kPQ 816 9 x y y x 化简可得 016729 22 yxx8 x 解法二 设弦中点 M Q yx 11 y x 由 可得 2 8 1 x x 2 1 y y 82 1 xxyy2 1 又因为 Q 在椭圆上 所以 1 3664 2 1 2 1 yx 即 1 36 4 64 4 4 22 yx 所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为 1 916 4 22 yx 8 x 三 弦中点的坐标问题三 弦中点的坐标问题 例例 3 3 求直线被抛物线截得线段的中点坐标 1 xyxy4 2 解 解法一 设直线与抛物线交于 其中点1 xyxy4 2 11 yxA 22 yxB 由题意得 00 yxP xy xy 4 1 2 消去 y 得 即 xx4 1 2 016 2 xx 所以 即中点坐标为 3 2 21 0 xx x21 00 xy 2 3 用心 爱心 专心 解法二 设直线与抛物线交于 其中点1 xyxy4 2 11 yxA 22 yxB 由题意得 两式相减得 00 yxP 2 2 2 1 2 1 4 4 xy xy 4 12 2 1 2 2 xxyy 所以 4 12 1212 xx yyyy 所以 即 即中点坐标为 4 21 yy2 0 y31 00 yx 2 3 上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法 下面我们看上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法 下面我们看 一个结论一个结论 引理 设 A B 是二次曲线 C 0 22 FEyDxCyAx 上的两点 P 00 yx 为 弦 AB 的中点 则 02 2 2 0 0 0 ECy ECy DAx kAB 设 A 11 yx B 22 yx 则 0 11 2 1 2 1 FEyDxCyAx 1 0 22 2 2 2 2 FEyDxCyAx 2 2 1 得 0 212121212121 yyExxDyyyyCxxxxA 0 2 2 2121210210 yyExxDyyCyxxAx 0 2 2 210210 yyECyxxDAx 02 0 ECy 21 xx ECy DAx xx yy 0 0 21 21 2 2 即 ECy DAx kAB 0 0 2 2 说 明 当 BA 时 上面的结论就是过二次曲线 C 上的点 P 00 yx 的切线斜率公式 即 ECy DAx k 0 0 2 2 推论推论 1 1 设圆 0 22 FEyDxyx 的弦 AB 的中点为 P 00 yx 0 0 y 则 Ey Dx kAB 0 0 2 2 假设点 P 在圆上时 则过点 P 的切线斜率 为 推论推论 2 2 设椭圆 1 2 2 2 2 b y a x 的弦 AB 的中点为 P 00 yx 0 0 y 则 0 0 2 2 y x a b kAB 注 对 a b 也成立 假设点 P 在椭圆上 则过点 P 的切线斜率为 0 0 2 2 y x a b k 推论推论 3 3 设双曲线 1 2 2 2 2 b y a x 的弦 AB 的中点为 P 00 yx 0 0 y 则 0 0 2 2 y x a b kAB 假设点 P 在双曲线上 则过 P 点的切线斜率为 0 0 2 2 y x a b k 推论推论 4 4 设抛物线 pxy2 2 的弦 AB 的中点为 P 00 yx 0 0 y 则 0 y p kAB 假设 点 P 在抛物线上 则过点 P 的切线斜率为 0 y p k Ey Dx k 0 0 2 2 用心 爱心 专心 我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题 下面举例说明 例例 1 1 求椭圆 1 1625 22 yx 斜率为 3 的弦的中点轨迹方程 解 设 P x y 是所求轨迹上的任一点 则有 y x 25 16 3 故所示的轨迹方程为 16x 75y 0 241 75 241 75 x 例例 2 2 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x A B 是椭圆上两点 线段 AB 的垂直平分线 l 与 x 轴相交于 P 0 0 x 求证 a ba x a ba 22 0 22 证明 设 AB 的中点为 T 11 yx 由题设可知 AB 与 x 轴不垂直 0 1 y 1 1 2 2 y x a b kAB l AB 1 1 2 2 x y b a kl l 的方程为 1 1 1 2 2 1 xx x y b a yy 令 y 0 得 0 10 1 1 2 2 1 xx x y b a y 0 22 2 1 x ba a x ax 1 ax ba a 0 22 2 a ba x a ba 22 0 22 例例 3 3 已知抛物线 C xy 2 直线 1 1 xkyl 要使抛物线 C 上存 在关于l对称的两点 k的取值范围是什么 解 设 C 上两点 A B 两点关于l对称 AB 的