【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用3．3导数在函数最值及生活实际中的应用教学案 理 新人教A版

1 3 33 3 导数在函数最值及生活实际中的应用导数在函数最值及生活实际中的应用 考考纲纲要要求求 1 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 2 会利用导数解决某些实际问题 1 函数的最大值与最小值 1 函数的最大值与最小值 在闭区间 a b 上连续的函数f x 在 a b 上 有 最大值与最小值 但在开区间 a b 内连续的函数f x 有最大值与最小值 2 求最大值与最小值的步骤 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求f x 在 a b 内的 值 将f x 的各 值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小 值 2 解决优化问题的基本思路 1 函数f x x 0 4 的最大值是 x ex A 0 B C D 1 e 4 e4 2 e2 2 函数f x x3 3ax a在 0 1 内有最小值 则a的取值范围为 A 0 a 1 B 0 a 1 C 1 a 1 D 0 a 1 2 3 函数f x 2x3 3x2 12x 5 在 0 3 上的最大值是 最小值是 4 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时 它的底面半径为 时 才能使 饮料罐的体积最大 5 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 万件 1 3 一 函数的最值与导数 例 1 1 已知f x xln x 1 求函数y f x 的图象在x e 处的切线方程 2 设实数a 0 求函数F x 在 a 2a 上的最小值 f x a 例 1 2 已知函数f x ax3 x2 bx 其中常数a b R R g x f x f x 是 奇函数 1 求f x 的表达式 2 讨论g x 的单调性 并求g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值 方法提炼方法提炼 1 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最 大值 最小的一个是最小值 2 函数极值与最值的区别与联系 极值是指某一点附近函数值的比较 因此 同一函数在某一点的极大 小 值 可以比 另一点的极小 大 值小 大 最大 最小值是指闭区间 a b 上所有函数值的比较 因而 在一般情况下 两者是有区别的 极大 小 值不一定是最大 小 值 最大 小 值也不一定 是极大 小 值 但如果连续函数在区间 a b 内只有一个极值 那么极大值就是最大值 极小值就是最小值 请做演练巩固提升 1 4 二 运用导数证明不等式问题 例 2 设a为实数 函数f x ex 2x 2a x R R 1 求f x 的单调区间与极值 2 求证 当a ln 2 1 且x 0 时 ex x2 2ax 1 方法提炼方法提炼 利用导数方法证明不等式f x g x 在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h x f x g x 然后根据函数的单调性 或者函数的最值证明函数h x 0 其中一个重 要技巧就是找到函数h x 什么时候可以等于零 这往往就是解决问题的一个突破口 请做演练巩固提升 5 三 利用导数解决实际生活中的优化问题 例 3 1 在直径为d的圆木中 截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁 则矩形 面的长为 强度与bh2成正比 其中h为矩形的长 b为矩形的宽 例 3 2 某工厂每天生产某种产品最多不超过 40 件 产品的正品率P与日产量 x x N N 件之间的关系为P 每生产一件正品盈利 4 000 元 每出现一件次品 4 200 x2 4 500 亏损 2 000 元 注 正品率 产品中的正品件数 产品总件数 100 1 将日利润y 元 表示成日产量x 件 的函数 2 该厂的日产量为多少件时 日利润最大 并求出日利润的最大值 方法提炼方法提炼 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量 之间的函数关系y f x 根据实际意义确定定义域 2 求函数y f x 的导数f x 解方程f x 0 得出定义域内的实根 确定极值 点 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小 获得所求的最大 小 值 4 还原到原实际问题中作答 请做演练巩固提升 2 关于导数主观题的规范解答 典例 12 分 已知函数f x x2 aln x 1 2 1 若a 1 求函数f x 的极值 并指出是极大值还是极小值 2 若a 1 求函数f x 在 1 e 上的最大值和最小值 3 若a 1 求证 在区间 1 上 函数f x 的图象在函数g x x3的图象的 2 3 下方 分析 分析 3 规范解答 规范解答 1 由于函数f x 的定义域为 0 当a 1 时 f x x 1 分 1 x x 1 x 1 x 令f x 0 得x 1 或x 1 舍去 当x 0 1 时 函数f x 单调递减 当x 1 时 函数f x 单调递增 4 分 所以f x 在x 1 处取得极小值为 5 分 1 2 2 当a 1 时 易知函数f x 在 1 e 上为增函数 6 分 f x min f 1 f x max f e e2 1 7分 1 2 1 2 3 设F x f x g x x2 ln x x3 1 2 2 3 则F x x 2x2 9 分 1 x 1 x 1 x 2x2 x 当x 1 时 F x 0 故f x 在区间 1 上是减函数 又F 1 0 1 6 在区间 1 上 F x 0 恒成立 即F x g x 恒成立 11 分 因此 当a 1 时 在区间 1 上 函数f x 的图象在函数g x 图象的下 方 12 分 答题指导 1 导数法是求解函数单调性 极值 最值 参数等问题的有效方法 应用 导数求单调区间 关键是求解不等式的解集 最值问题关键在于比较极值与端点函数值的 大小 参数问题涉及的有最值恒成立的问题 单调性的逆向应用等 求解时注意分类讨论 思想的应用 2 对于一些复杂问题 要善于将问题转化 转化成能用熟知的导数研究问题 1 函数f x ex sin x cos x 在区间上的值域为 1 2 0 2 A B 2 1 1 e 2 2 2 1 1 e 2 2 C 1 D 1 2 e 2 e 4 2 如图 某农场要修建 3 个养鱼塘 每个面积为 10 000 米 2 鱼塘前面要留 4 米的 运料通道 其余各边为 2 米宽的堤埂 则占地面积最少时 每个鱼塘的长 宽分别为 A 长 102 米 宽米B 长 150 米 宽 66 米 5 000 51 C 长 宽均为 100 米D 长 150 米 宽米 200 3 3 若函数f x a 0 在 1 上的最大值为 则a的值为 x x2 a 3 3 4 2012 重庆高考 已知函数f x ax3 bx c在点x 2 处取得极值c 16 1 求a b的值 2 若f x 有极大值 28 求f x 在 3 3 上的最小值 5 已知函数f x a 1 ln x ax2 1 1 讨论函数f x 的单调性 2 设a 2 证明对任意x1 x2 0 f x1 f x2 4 x1 x2 6 如图所示 将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN 要求M在AB的 延长线上 N在AD的延长线上 且对角线MN过C点 已知AB 3 米 AD 2 米 1 设AN x 单位 米 要使花坛AMPN的面积大于 32 平方米 求x的取值范围 2 若x 3 4 单位 米 则当AM AN的长度分别是多少时 花坛AMPN的面积最 大 并求出最大面积 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 1 必 不一定 2 极 极 f a f b 2 用函数表示的数学问题 基础自测基础自测 1 B 解析 解析 f x ex xex ex 2 1 x ex e x 1 x 令f x 0 x 1 又f 0 0 f 4 f 1 e 1 4 e4 1 e f 1 为最大值 2 B 解析 解析 y 3x2 3a 令y 0 可得a x2 又 x 0 1 0 a 1 3 5 15 解析 解析 f x 6x2 6x 12 令f x 0 即 6x2 6x 12 0 则x 1 或x 2 又x 0 3 故x 1 应舍去 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如表 x0 0 2 2 2 3 3 f x 0 f x 5 15 4 f x max 5 f x min 15 4 解析 解析 设圆柱形金属饮料罐的底面半径为R 高为h S 6 S 2 Rh 2 R2h S 2 R2 2 R V R R2 S 2 R2 2 R S 2 R2 R 1 2 SR R3 1 2 V R S 3 R2 1 2 令V R 0 R S 6 因V R 只有一个极值点 故它就是最大值点 5 9 解析解析 因为y x2 81 所以当x 9 时 y 0 当x 0 9 时 y 0 所以函数y x3 81x 234 在 9 上单调递减 在 0 9 上单调递增 1 3 所以x 9 是函数的极大值点 又因为函数在 0 上只有一个极大值点 所以函数在x 9 处取得最大值 考点探究突破考点探究突破 例 1 1 解 1 f x 的定义域为 0 f x ln x 1 f e e 且f e 2 6 函数y f x 在x e 处的切线方程为y 2 x e e 即y 2x e 2 F x ln x 1 1 a 令F x 0 得x 1 e 当x 时 F x 0 F x 单调递减 0 1 e 当x 时 F x 0 F x 单调递增 1 e 当a 时 F x 在 a 2a 上单调递增 F x min F a ln a 1 e 当a 2a 即 a 时 F x 在上单调递减 在上单调递增 F x 1 e 1 2e 1 e a 1 e 1 e 2a min F 1 e 1 ea 当 2a 即 0 a 时 1 e 1 2e F x 在 a 2a 上单调递减 F x min F 2a 2ln 2a 例 1 2 解 1 由题意得f x 3ax2 2x b 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b 因为函数g x 是奇函数 所以g x g x 即对任意实数x 有a x 3 3a 1 x 2 b 2 x b ax3 3a 1 x2 b 2 x b 从而 3a 1 0 b 0 解得a b 0 1 3 因此f x x3 x2 1 3 2 由 1 知g x x3 2x 1 3 所以g x x2 2 令g 0 0 解得x1 x2 22 则当x 或x 时 g x 0 22 从而g x 在区间 上是减函数 22 当 x 时 g x 0 从而g x 在 上是增函数 2222 由前面讨论知 g x 在区间 1 2 上的最大值与最小值只能在x 1 2 时取得 而 2 g 1 g g 2 5 32 4 2 3 4 3 因此g x 在区间 1 2 上的最大值为g 最小值为g 2 2 4 2 3 4 3 例 2 1 解 由f x ex 2x 2a x R R 知f x ex 2 x R R 令f x 0 得x ln 2 于是当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x ln 2 ln 2 ln 2 f x 0 f x 单调递减 2 1 ln 2 a 单调递增 故f x 的单调递减区间是 ln 2 单调递增区间是 ln 2 7 f x 在x ln 2 处取得极小值 极小值为f ln 2 eln 2 2ln 2 2a 2 1 ln 2 a 2 证明 证明 设g x ex x2 2ax 1 x R R 于是g x ex 2x 2a x R R 由 1 知当a ln 2 1 时 g x 的最小值为g ln 2 2 1 ln 2 a 0 于是对任意x R R 都有g x 0 所以g x 在 R R 内单调递增 于是当a ln 2 1 时 对任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 从而对任意x 0 g x 0 即 ex x2 2ax 1 0 故 ex x2 2ax 1 例 3 1 d 解析 解析 下图为圆木的横截面 b2 h2 d2 6 3 bh2 b d2 b2 设f b b d2 b2 f b 3b2 d2 令f b 0 由于b 0 b d 且在上f b 0 在上 3 3 0 3 3 d 3 3 d d f b 0 函数f b 在b d处取得极大值 也是最大值 即抗弯强度最大 此时长h d 3 3 6 3 例 3 2 解 1 y 4 000 x 2 000 x 3 4 200 x2 4 500 1 4 200 x2 4 500 600 x x3 4 3 所求的函数关系式是y x3 3 600 x x N N 1 x 40 4 3 2 由 1 知y 3 600 4x2 令y 0 解得x 30 当 1 x 30 时 y 0 当 30 x 40 时 y 0 函数y x3 3 600 x x N N 1 x 40 在 1 30 上是单调递增函数 在 30 40 上 4 3 是单调递减函数 当x 30 时 函数y x3 3 600 x x N N 1 x 40 取得最大值 最大值为 4 3 303 3 600 30 72 000 元 4 3 该厂的日产量为 30 件时 日利润最大 最大值为 72 000 元 演练巩固提升演练巩固提升 1 A 解析 解析 f x ex sin x cos x ex cos x sin x excos x 1 2 1 2 0 x f x 0 2 8 f x 在上不恒为 0 0 2 f x 在上为增函数 0 2 f x 的最大值为f 2 2 1 e 2 f x 的最小值为f 0 1 2 f x 2 1 1 e 2 2 2 D 解析 解析 设鱼塘长 宽分别为y米 x米 依题意xy 10 000 设占地面积为S 则S 3x 8 y 6 18x 30 048 80 000 x 令S 18 0 得x 80 000 x2 200 3 此时y 150 3 1 解析 解析 f x 3 x2 a 2x2 x2 a 2 a x2 x2 a 2 当x 时 f x 0 f x 单调递减 a 当 x 时 f x 0 f x 单调递增 若当x 时 aaa f x max 1 不合题意 a 2a 3 3a 3 2 f x max f 1 a 1 1 1 a 3 33 4 解 1 因f x ax3 bx c 故f x 3ax2 b 由于f x 在点x 2 处取得极值c 16 故有Error 即Error 化简得Error 解得a 1 b 12 2 由 1 知f x x3 12x c f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x1 2 x2 2 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 当x 2 2 时 f x 0 故f x 在 2 2 上为减函数 当x 2 时 f x 0 故f x 在 2 上为增函数 由此可知f x 在x1 2 处取得极大值f 2 16 c f x 在x2 2 处取得极小值 f 2 c 16 由题设条件知 16 c 28 得c 12 此时f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 16 c 4 因此f x 在 3 3 上的最小值为f 2 4 5 解 1 由题意知f x 的定义域为 0 f x 2ax a 1 x 2ax