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等价变换的思想在代数解题中应用 上盐湾中学 强春晨 摘 要 等价变换是化归方法的一种 世界著名的数学家乔治 伯利亚认为 解 数学题是不断变换问题的一种 而变换问题能力强是分析解决问题能力强的一 个重要方面 在解题中 把一个较难解决的问题转化成较易解决的问题就是等价 变换思想 关键词 等价变换 代数学 应用 例 1 写出函数 2 xxy 的定义域 值域 并作出图像 分析 此问题看似简单 但应用常规方法分别求出定义域 值域 再列表画 图 既浪费时间又很难得到准确的图形 若利用等式等价关系 问题就解决 了 解 2 xxy 0 22 y xxy 0 2 1 2 1 2 2 2 y yx 的图形是以点为圆心 2 xxy 0 2 1 为半径的位于轴上方的半圆 包括半圆与 图 1 2 1 x 轴的交点 如图 1 根据图形 易写出定义域 值域x 10 xx 2 1 0 yy 例 2 解关于的方程 x 13lg1lg xax 分析 此题是含参数的对数方程 求未知数的值 需要将原方程变为与其等 价的不等式组来完成 然后再对参数讨论 求解 解 有 则 10lg3lg1lg xax 10lg 3 1 lg x ax 3101 xax 0 x y 2 1 所以 原方程等价于 33101 203 101 xax x ax 由 式得 10 29 a x 4 将 带入 得 解得 01 10 29 a a 10 3 1 a 将 带入 得 解得 03 10 29 a 10 3 1 a 当时 原方程有解 10 3 1 a a x 10 29 将等价变换思想用于代数解题 可以使题目化难为易 很多题目变得不再 遥不可及 而且有利于我们灵活解题的能力 等价变
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