陕西省汉中市龙岗学校2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

1 陕西省汉中市龙岗学校陕西省汉中市龙岗学校 2019 20202019 2020 学年高一数学上学期期末考试试学年高一数学上学期期末考试试 题 含解析 题 含解析 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 1212 小题小题 6060 分 分 1 已知集合 则 24 axx 2 430 bx xx ab a b c d 14 xx 14 xx 23 xx 23 xx 答案 c 解析 分析 解一元二次不等式求得集合中元素的范围 再求两个集合的交集 b 详解 由 解得 故 所以选 c 2 430 xx 13x 23abxx 点睛 本小题主要考查交集的概念以及运算 考查一元二次不等式的解法 属于基础题 2 函数的定义域是 lglg 53 yxx a 0 b 0 c 1 d 1 答案 c 解析 要使函数有意义 需满足 解得 则函数的定义域为 故选 c 0 530 lgx x 5 1 3 x 5 1 3 3 在平面直角坐标系中 若角的终边经过点 则 44 sin cos 33 p cos a b c d 3 2 1 2 1 2 3 2 答案 a 解析 分析 先计算出点坐标 然后即可知的值 利用诱导公式即可求解出的值 pcos cos 2 详解 因为角的终边经过点 31 22 p 所以 所以 3 cos 2 3 coscos 2 故选 a 点睛 本题考查任意角的三角函数值计算以及诱导公式的运用 难度较易 角 非轴线 角 的终边经过点 则 p x y 2222 cos sin tan xyy x xyxy 4 已知向量与向量共线 则实数x的值为 3 1 2 ax 2 2 bxx a b 或 0c 0d 3 3 3 答案 b 解析 分析 由向量与向量共线 列出方程 即可求解 3 1 2 ax 2 2 bxx 2 3 20 2 x xx 详解 向量与向量共线 3 1 2 ax 2 2 bxx 则 2 3 20 2 x xx 即 2 30 xx 解得或 0 x 3x 所以实数x的值为或 0 3 故选 b 点睛 本题主要考查了向量的坐标运算及向量的共线的坐标表示 其中解答中熟记向量 共线的坐标表示方法是解答本题的关键 着重考查了推理与运算能力 属于基础题 5 函数的图象大致为 1 1 x f x ex 3 a b c d 答案 d 解析 分析 求出函数的定义域 排除选项 利用特殊值判断求解即可 详解 函数f x 的定义域为 x 1 均满足 1 1 x ex 当x 1 时 f 1 0 排除a c 2 1 1e 当x 2 时 f 2 0 排除b 1 2e 故选 d 点睛 本题考查函数的图象的判断 利用函数的定义域以及特殊值是判断函数的图象的 常用方法 6 为了得到函数的图象 只要将的图象上所有的点 sin 2 3 yx sin yx xr a 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 3 1 2 4 b 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 3 c 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 6 1 2 d 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 6 答案 a 解析 分析 首先向左平移 可得 再横坐标缩小原来的倍 即可确定选项 3 sin 3 yx 1 2 详解 将函数图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为 sinyx 3 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 sin 3 yx 1 2 所得到的函数图象对应的解析式为 sin 2 3 yx 故选 a 点睛 本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数性质 属于基础题 图象的伸缩 变换的规律 1 把函数的图像向左平移个单位长度 则所得图像 yfx 0 h h 对应的解析式为 遵循 左加右减 2 把函数图像上点 yfxh yf x 的纵坐标保持不变 横坐标变为原来的倍 那么所得图像对应的解析式为 0 1 yfx 7 下列函数中 满足 对任意 且都有 的是 f x 12 0 x x 12 xx 12 f xf x a b c d f xx 2 x f x lnf xx 3 f xx 答案 b 5 解析 分析 对任意 且都有 可知函数在上单调 12 0 x x 12 xx 12 f xf x f x 0 递减 结合选项即可判断 详解 解 对任意 且都有 12 0 x x 12 xx 12 f xf x 函数在上单调递减 f x 0 结合选项可知 在单调递增 不符合题意 f xx 0 在单调递减 符合题意 1 2 2 x x f x 0 在单调递增 不符合题意 lnf xx 0 在单调递增 不符合题意 3 f xx 0 故选 b 点睛 本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断 属于基础试题 8 已知函数 则 1 0 2 2 0 x x f x f xx 2 1 log 5 f a b c d 5 5 16 5 4 5 2 答案 a 解析 分析 先判断自变量的范围是分段函数的某一段 再代入相应的解析式中求函数的值 详解 2222 1114 log0 loglog2log 5555 fff 2222 44416 log0 loglog2log 5555 fff 2 2 2 16 log5 16 log 5log 116 5 22 161615 log0 log22 55216 f 6 故选 a 点睛 本题考查分段函数和对数运算 属于基础题 9 如果函数y 3cos 2x 的图象关于点中心对称 那么 的最小值为 4 0 3 a b c d 6 4 3 2 答案 a 解析 分析 利用函数的对称中心 求出的表达式 然后确定 的最小值 详解 函数y 3cos 2x 的图象关于点中心对称 4 0 3 得 k z z 由此得 4 2 32 k 13 6 k 6 min 故选 a 点睛 本题是基础题 考查三角函数中余弦函数的对称性 考查计算能力 对于k的取 值 确定 的最小值 是基本方法 10 已知函数 若 则实数x的取值范围为 2 x f xex 21 fxf x a b c d 1 1 3 1 1 3 1 2 1 2 答案 a 解析 分析 函数为偶函数 由 可得 再结合单调性 f x 21 fxf x 21 fxfx 解不等式 即可求出 x 的取值范围 21 xx 详解 是r上的偶函数 当时 在上是增函数 f x 0 x f x 0 7 由得 21 fxf x 21 fxfx 21 xx 解得或 2 2 21xx 1 3 x 1x 实数x的取值范围为 1 1 3 故选 a 点睛 本题考查函数的奇偶性以及单调性 若函数为偶函数 则常用的技巧为 yf x 再结合函数在上的单调性 解不等式即可求出参数的值或者范围 f xfx 0 考查了运算求解能力 11 若函数在区间上存在零点 则常数a的取值范围为 1 lnf xxa x 1 e a b c d 01a 1 1a e 1 11a e 1 11a e 答案 c 解析 分析 函数 f x 在定义域内单调递增 由零点存在性定理可知 解不等式即可 10 0ff e 求得 a 的取值范围 详解 函数在区间上为增函数 1 lnf xxa x 1 e 1 ln1 10fa 1 ln0f eea e 可得 1 11a e 故选 c 8 点睛 本题主要考查了导数在函数零点存在性问题中的应用 对于零点存在性问题 有 两种思考方向 1 直接利用导数研究函数单调性 结合零点存在性定理 讨论函数零点 的情况 2 先将函数零点问题等价转化为两个函数图像的交点问题 再利用导数 并结 合函数图像讨论两函数交点情况 从而确定函数零点的情况 12 将函数的图象向右平移个单位 在向上平移一个单位 得到 sin 2 6 yx 3 g x 的图象 若 g x1 g x2 4 且 x1 x2 2 2 则 x1 2x2的最大值为 a b c d 9 2 7 2 5 2 3 2 答案 a 解析 分析 由题意利用函数的图象变换规律 得到的解析式 再利用余弦函 yasin x g x 数的图象的值域 求出 的值 可得的最大值 1 x 2 x 12 x2x 详解 将函数的图象向右平移 个单位 再向上平移一个单位 sin 2 6 yx 3 得到 g x sin 2x 1 cos2x 1 的图象 2 3 6 故 g x 的最大值为 2 最小值为 0 若 g g 4 则 g g 2 或 g g 2 舍去 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 故有 g g 2 即 cos2 cos2 1 1 x 2 x 1 x 2 x 又 x2 2 2 2 2 4 4 要使 2取得最大值 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 则应有 2 3 2 3 1 x 2 x 故 2取得最大值为 3 1 x 2 x 3 2 9 2 故选 a 9 点睛 本题主要考查函数的图象变换规律 余弦函数的图象的值域 yasin x 属于中档题 二 填空题 每小题二 填空题 每小题 5 5 分 共分 共 4 4 小题小题 2020 分 分 13 已知向量 且 则实数 2 4 2 am b abab m 答案 4 解析 分析 由已知可得 带入坐标即可求出实数 m 的值 0abab 详解 abab 解得 2 41640abababm 4m 点睛 本题考查向量的垂直 若向量 则可得 1122 ax ybxyab 解方程即可求解 掌握向量的平行 垂直的等价形式是解题的关键 1212 0 x xy y 14 若扇形的周长是 面积 则扇形圆心角的弧度数的绝对值为 8cm 2 4cm rad 答案 2 解析 分析 设半径为 弧长 可得面积 s 和周长的表达式 解方程组即可求解 cmrcml 详解 设扇形的半径为 弧长 面积为 则 cmrcml 2 cms 1 82 4 2 sr r 2 440rr 2r 4l 2 l r 点睛 本题考查扇形的弧度数 掌握扇形的周长与面积公式是关键 属于基础题 15 已知幂函数的图象经过点 则 n ymx m nr 4 2 mn 答案 1 2 解析 10 分析 利用幂函数的定义可得 再利用幂函数的图象过点可求得的值 则答案可得 1m 4 2 n 详解 由是幂函数 可得 n ymx 1m 由的图象经过点 可得 解得 n yx 4 2 2 4n 1 2 n 所以 11 1 22 mn 故答案为 1 2 点睛 本题考查幂函数 利用定义求解即可 是一道基础题 16 在中 角a为 角a的平分线交于点d 已知 且 abc 3 adbc2 3ad 则在方向上的投影是 1 3 abadacr ab ad 答案 3 3 2 解析 分析 先根据得出四边形为菱形 从而可得 进而可求 1 3 abadacr afde3ab 在方向上的投影 ab ad 详解 由可得 1 3 abadac 1 3 adabac b c d三点共线 故 即 1 1 3 2 3 21 33 adabac 以a为原点 以为x轴建立平面直角坐标系如图所示 则 ab 3 3 d 11 设 0 b m 3 c nn 由得 解得 21 33 adabac 21 3 33 3 3 3 n n 3m 3n 故 3 0 b 在上的投影为 ab ad 3 3 cos30 2 ab 故答案为 3 3 2 点睛 本题主要考查平面向量的应用 明确向量的运算规则是求解的关键 数形结合能 简化运算过程 侧重考查直观想象和数学运算的核心素养 三 解答题 共三 解答题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 计算 1 1 4 1 lg2lg20 16 2 解方程 1 1 22 8 xx 答案 1 2 33x 解析 分析 1 根据对数运算公式和法则即可求出结果 2 先将原式化简成 再根据指数函数的性质即可求出结果 3 22 12 x 详解 1 原式 20 2lg2lg103 2 12 2 1 1 22 6 xx 3 2 21 2 x 3 22 x 3x 点睛 本题考查了指数幂运算及对数运算 熟练掌握指数幂运算及对数运算公式是解题 关键 属于基础题 18 已知向量 sin 1 1 cos ab 1 若 求的值 3 4 ab 2 若 求的值 1 5 a b 0 sin 2sin 2 答案 1 2 3 11 5 解析 分析 1 运用坐标求出 再由向量的模长公式即可求出的值 ab ab 2 由已知可求得 再由 可求得 1 sincos 5 22 sincos1 sin 的值 再运用诱导公式即可求值 cos 详解 解 1 时 3 4 2 1 2 a 2 1 2 b 22 1 1 22 ab 22 22 113 22 ab 2 1 5 a b 13 1 sincos 5 1 cossin 5 且 2 2 1 sinsin1 5 0 sin0 解得 3 sin 5 4 cos 5 3811 sin 2sinsin2cos 2555 点睛 本题考查了向量的模的运算 向量的数量积运算及三角函数的诱导公式 属中档 题 19 已知函数在区间上的最小值为 1 2 21f xxax 2 3 1 求的值 a 2 若存在使得不等式在成立 求实数的取值范围 0 x 3 3 3 x x x f k 1 1x k 答案 1 1 2 0 解析 分析 1 二次函数写出对称轴 分 三种情况讨论即可求出最小值 2a 23a 3a 根据最小值为1 写出 2 分离参数可得 令 换元后求 a 2 11 12 33 xx k 1 3x t 最小值 只需k大于最小值即可 详解 1 2 2 1f xxaa 当时 解得 2a min 2541f xfa 1a 当时 解得不符合题意 23a 2 min 11f xf aa 0a 14 当时 解得 不符合题意 3a min 31061f xfa 3 2 a 综上所述 1a 2 因为 2 3 32 31 33 33 x xx xx xx f kk 可化为 2 11 12 33 xx k 令 则 1 3x t 2 21ktt 因 故 故不等式在上有解 1 1x 1 3 3 t 2 21ktt 1 3 3 t 记 故 2 2 211h tttt 1 3 3 t min 10h th 所以的取值范围是 k 0 点睛 本题主要考查了二次函数的最值 分类讨论 分离参数 不等式有解问题 属于 中档题 20 已知函数 2cos 2 4 f xx x r 1 求函数的最小正周期和单调递增区间 f x 2 求函数在区间上的最小值和最大值 并求出取得最值时的值 f x 8 2 x 答案 1 最小正周期为 单调递增区间为 3 88 kkkz 2 函数在区间上的最大值为 此时 最小值为 此时 f x 8 2 28 x 1 2 x 解析 分析 15 1 由余弦型函数的周期公式可计算出函数的最小正周期 解不等式 yf x 可得出函数的单调递增区间 222 4 kxkkz yf x 2 由 计算出的取值范围 然后利用余弦函数的性质可得出函数 8 2 x 2 4 x 的最大值和最小值 并可求出对应的的值 yf x x 详解 1 所以 该函数的最小正周期为 2cos 2 4 f xx 2 2 t 解不等式 得 222 4 kxkkz 3 88 kxkkz 因此 函数最小正周期为 单调递增区间为 yf x 3 88 kkkz 2 8 2 x 3 2 244 x 当时 即当时 函数取得最大值 即 20 4 x 8 x yf x max2f x 当时 即当时 函数取得最小值 即 3 2 44 x 2 x yf x min 3 2cos1 4 f x 点睛 本题考查余弦型函数周期 单调区间以及最值的计算 解题时要充分利用余弦函 数的图象与性质进行计算 考查运算求解能力 属于基础题 21 已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y 米 可看作时间 单位 小时 的函数 记作 经过长期观测 的曲线可 024 tt yf t yf t 近似地看成是函数 下列是某日各时的浪高数据 cosyatb t 小时 03691215182124 y 米 3 2 1 1 2 1 3 2 1 1 2 1 3 2 16 1 根据以上数据 求出的解析式 yf t 2 为保证安全 比赛时的浪高不能高于米 则在一天中的哪些时间可以进行比赛 5 4 答案 1 2 比赛安全进行的时间段为 1 cos1 024 26 f ttt 2 10 14 22 解析 分析 1 由浪高的最大值为 最小值为 可得 a b 的值 再由周期为 12 可求得的值 3 2 1 2 即可求得函数的解析式 2 由已知可得 进而解不等式即可求出 t 的范围 1 cos 62 t 详解 1 由表中数据可以看到浪高最大值为 最小值为 3 2 1 2 31 22 1 2 b 31 1 22 22 a 又 相隔 12 小时达到一次最大值 说明周期为 12 2 12t 6 即 1 cos1 024 26 f ttt 2 由题意知 当时 比赛才能进行 即 5 4 f t 15 cos1 264 t 1 cos 62 t 5 22 363 ktkkz 解得 2121012 ktk kz 又 当时 当时 0 24 t 0k 210t 1k 1422t 17 故比赛安全进行的时间段为 2 10 14 22 点睛 本题考查三角函数的实际应用 若三角函数的解析式为 最大值为 m 最小值为 m 则 再由周期 sin 0yaxba abmabm 求得的值 由初相求得的值 考查了运算求解和建模能力 属于中档题 22 已知函数是偶函数 9 log91 x f xkx 1 求k的值 2 若方程有实数根 求b的取值范围 1 2 f xxb 3 设 若函数与的图象有且只有一个公共点 求实 9 4 log 3 3 x h xaa f