上海市金山中学2012-2013学年高二数学下学期期中试题（含解析）

1 2012 20132012 2013 学年上海市金山中学高二 下 期中数学试卷学年上海市金山中学高二 下 期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 4 4 分 共分 共 5656 分 分 1 4 分 2012 崇明县一模 复数 z i 1 3i i 为虚数单位 的虚部是 1 考点 复数的基本概念 专题 计算题 分析 利用复数的乘法法则 得到 z i 1 3i 3 i 由此能够得到复数 z i 1 3i i 为虚数单位 的虚部 解答 解 z i 1 3i i 3i2 3 i 复数 z i 1 3i i 为虚数单位 的虚部是 1 故答案为 1 点评 本题考查复数的基本概念 是基础题 解题时要认真审题 仔细解答 2 4 分 计算 2013 i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 直接利用复数的除法运算化简括号内部的值 然后利用虚数单位 i 的意义求解 解答 解 故答案为 i 点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算 复数的除法 采用分子分母同时乘以分母的 共轭复数 是基础题 3 4 分 已知 Z 是复数 且满足 2Z Z 2i 0 则 Z i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 2 分析 设 z a bi a b R 代入已知等式 根据复数相等的充要条件可得方程组 解出 即可 解答 解 设 z a bi a b R 则 2Z Z 2i 0 即 2 a bi 2i 0 所以 2a 2b 2 i 0 所以 解得 所以 z i 故答案为 i 点评 本题考查复数代数形式的运算及复数相等的充要条件 考查学生的计算能力 4 4 分 2012 奉贤区一模 设抛物线的顶点在原点 准线方程为 x 2 则抛物线的方 程是 y2 8x 考点 抛物线的标准方程 专题 计算题 分析 根据抛物线的顶点在原点 准线方程为 x 2 可设抛物线的方程为 y2 2px p 0 从而可求抛物线的方程 解答 解 抛物线的顶点在原点 准线方程为 x 2 可设抛物线的方程为 y2 2px p 0 2p 8 抛物线的方程为 y2 8x 故答案为 y2 8x 点评 本题重点考查抛物线的方程 解题的关键是根据抛物线的性质 设出抛物线的方 程 5 4 分 2012 崇明县一模 已知双曲线 a 0 b 0 与抛物线 y2 8x 有 一个公共的焦点 且双曲线上的点到坐标原点的最短距离为 1 则该双曲线的标准方程是 考点 圆锥曲线的共同特征 双曲线的标准方程 3 专题 综合题 分析 利用抛物线的焦点坐标确定 双曲线中 c 的值 利用双曲线上的点到坐标原点的最 短距离为 1 确定 a 的值 从而可求双曲线的标准方程 解答 解 抛物线 y2 8x 得出其焦点坐标 2 0 故双曲线的 c 2 双曲线上的点到坐标原点的最短距离为 1 a 1 b2 c2 a2 3 双曲线的标准方程是 故答案为 点评 本题考查抛物线的标准方程与性质 考查双曲线的标准方程 确定几何量是关键 6 4 分 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 则异面直线 BD1与 AC 之间的距离为 考点 点 线 面间的距离计算 专题 空间位置关系与距离 分析 设 AC BD O 过 O 作 BD1的垂线 交 BD1与 E 则 OE 的长就是所求异面直线的距离 利用三角形的相似 即可得到结论 解答 解 设 AC BD O 过 O 作 BD1的垂线 交 BD1与 E 则 OE 的长就是所求异面直线的 距离 Rt DD1B Rt EOB DD1 2 BD1 OB OE 故答案为 4 点评 本题考查异面直线间距离的计算 考查学生分析解决问题的能力 正确作出 OE 是关 键 7 4 分 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 则 B1C 与平面 A1BD 间的距离为 考点 点 线 面间的距离计算 专题 空间位置关系与距离 分析 由题意 B1C 与平面 A1BD 间的距离等于 B1与平面 A1BD 间的距离 利用等体积 即可 求得结论 解答 解 由题意 B1C 与平面 A1BD 间的距离等于 B1与平面 A1BD 间的距离 设为 h 则 h 故答案为 点评 本题考查线面距离 考查体积的计算 考查学生分析解决问题的能力 正确求体积 是关键 8 4 分 2012 上海二模 用一个与球心距离为 1 的平面去截球 所得的截面面积为 则球的体积为 考点 球的体积和表面积 专题 计算题 分析 求出小圆的半径 利用球心到该截面的距离为 1 cm 小圆的半径 通过勾股定理求 出球的半径 即可求出球的体积 解答 解 用一平面去截球所得截面的面积为 所以小圆的半径为 1 5 已知球心到该截面的距离为 1 所以球的半径为 r 所以球的体积为 r3 故答案为 点评 本题考查球的小圆的半径 球心到该截面的距离 球的半径之间的关系 考查计算 能力 是基础题 9 4 分 一个正方体的顶点都在球面上 它的棱长为 2cm 则球的表面积是 12 cm2 考点 球内接多面体 专题 计算题 分析 由题意正方体的外接球的直径就是正方体的对角线长 求出正方体的对角线长 即 可求出球的表面积 解答 解 正方体的顶点都在球面上 则球为正方体的外接球 则 2 2R R S 4 R2 12 故答案为 12 点评 本题是基础题 考查正方体的外接球的不面积的求法 解题的根据是正方体的对角 线就是外接球的直径 考查计算能力 空间想象能力 10 4 分 一个圆柱的轴截面为正方形 则与它同底等高的圆锥的侧面积与该圆柱的侧面 积的比为 考点 棱柱 棱锥 棱台的侧面积和表面积 专题 空间位置关系与距离 分析 由题意设出圆柱的底面半径 求出圆柱的侧面积 求出圆锥的侧面积即可得到圆柱 的侧积面与圆锥的侧面积之比 解答 解 设圆柱的底面半径为 r 由题意可知圆柱的高为 2r 侧面积为 2 r 2r 4 r2 圆锥的侧面积为 r r2 所以圆锥的侧面积与该圆柱的侧面积的比为 故答案为 6 点评 本题是基础题 考查圆锥圆柱的侧面积的求法 考查计算能力 11 4 分 在正三棱柱 ABC A1B1C1中 AB 3 高为 2 则它的外接球上 A B 两点的球面 距离为 2 2arccos 考点 球面距离及相关计算 专题 空间位置关系与距离 分析 由已知中三棱柱的底面边长及高 求出棱柱底面外接圆的半径及球心距 进而求出 三棱柱外接球的球半径 求出球心角 利用弧长公式 即可求得结论 解答 解 正三棱柱的底面边长 AB 3 底面所在平面截其外接球所成的圆 O 的半径 r 正三棱柱的高为 2cm 球心到圆 O 的球心距 d 1 根据球心距 截面圆半径 球半径构成直角三角形 满足勾股定理 我们易得球半 径 R 满足 R2 r2 d2 4 R 2 cos AOB AOB arccos 外接球上 A B 两点的球面距离为 2 arccos 2 2arccos 故答案为 2 2arccos 点评 本题考查的知识点是棱柱的几何特征及球面距离 根据已知求出已知三棱柱的外接 球半径是解答本题的关键 属于中档题 12 4 分 若正三棱锥底面边长为 1 侧棱与底面所成的角为 则其体积为 考点 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 计算题 空间位置关系与距离 分析 欲求正三棱锥的体积 先求正三棱锥的高 由题意 顶点在底面中的射影是底面的 7 中心 从而利用侧棱与底面所成角为 45 角 可求高 从而得解 解答 解 先求正三棱锥的高 由题意 顶点 P 在底面中的射影是底面的中心 O PAO 为侧棱与底面所成角 PAO 45 从而有高 PO OA 又底面积 S ABC 1 正三棱锥的体积 V 故答案为 点评 本题主要考查棱锥 线面关系 直线与平面所成的角 点到面的距离等基本知识 同时考查空间想象能力和推理 运算能力 在立体几何中 求点到平面的距离是一 个常见的题型 同时求直线到平面的距离 平行平面间的距离及多面体的体积也常 转化为求点到平面的距离 13 4 分 有一山坡倾斜角为 30 若在斜坡平面内沿着一条与斜坡线成 45 角的直路 前进了 100 米 则升高了 25 米 考点 解三角形的实际应用 专题 解三角形 分析 先根据题意 画出图形 再在直角三角形中 利用三角函数 即可求得结论 解答 解 由题意 如图所示 VAO 30 VBA 45 VB 100 VA AB OA AB 则 在直角 VAB 中 VA VBsin45 50米 在直角 VAO 中 VO VAsin30 25米 故答案为 25 8 点评 本题考查利用三角函数解决实际问题 考查学生的计算能力 属于中档题 14 4 分 设地球的半径为 R 北纬 60 圈上有经度差为 90 的 A B 两地 则 A B 两地 的球面距离为 Rarccos 考点 球面距离及相关计算 专题 空间位置关系与距离 分析 A B 两地在同一纬度圈上 计算北纬 60 圈的半径 利用经度差 求出 AB 弦长 从而可求球心角 利用弧长公式求出球面距离 解答 解 地球的半径为 R 北纬 60 圈的半径为 A B 两地经度差为 90 AB cos AOB AOB arccos A B 两地的球面距离为 Rarccos 故答案为 Rarccos 点评 本题考查球面距离及余弦定理的运用 考查空间想象能力 是基础题 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 5 5 分 共分 共 2020 分 分 15 5 分 2012 奉贤区一模 复数 i 为虚数单位 在复平面内对应的点所在 象限为 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 9 考点 复数代数形式的乘除运算 复数的代数表示法及其几何意义 分析 先将复数 z 进行复数的除法运算 分子和分母同乘以分母的共轭复数 整理后得到 代数形式 写出复数在复平面上对应的点的坐标 根据坐标的正负得到所在的象 限 解答 解 i 复数在复平面对应的点的坐标是 它对应的点在第四象限 故选 D 点评 判断复数对应的点所在的位置 只要看出实部和虚部与零的关系即可 把所给的式 子展开变为复数的代数形式 得到实部和虚部的取值范围 得到结果 16 5 分 表示一个平面 l 表示一条直线 则 内至少有一条直线与直线 l A 平行 B 相交 C 异面 D 垂直 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 分析 根据平面 和直线 l 则直线 l 在平面 内 或与平面 平行 或平面 相交 逐一分析 即可得到答案 解答 解 由题意 表示一个平面 l 表示一条直线 若直线 l 在平面 内 则过直线上任一点 都可以作直线与直线 l 垂直 若直线 l 与平面 平行 则在平面 内 必有直线与之平行 由 知至少有一 条直线与直线 l 垂直 若直线 l 平面 相交 则在平面 内 必有直线与其射影垂直 从而至少有一 条直线与直线 l 垂直 故选 D 点评 本题以直线与平面为载体 考查学生对直线和平面位置关系的理解 体现了数形结 合的思想 17 5 分 给出下面四个命题 1 如果直线 a c b c 那么 a b 可以确定一个平面 2 如果直线 a 和 b 都与直线 c 相交 那么 a b 可以确定一个平面 3 如果 a c b c 那么 a b 可以确定一个平面 4 直线 a 过平面 a 内一点与平面外一点 直线 b 在平面 a 内不经过该点 那么 a 和 b 是 异面直线 上述命题中 真命题的个数是 10 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点 命题的真假判断与应用 专题 空间位置关系与距离 分析 1 由直线 a c b c 利用直线平行的传递性可得 a b 再利用公理 3 可得 a b 可以确定一个平面 2 如果直线 a 和 b 都与直线 c 相交 那么 a b 可以平行 相交或为异面直线 即可判断出结论 3 如果 a c b c 那么 a b 可以平行 相交或为异面直线 即可判断出结论 4 直线 a 过平面 a 内一点与平面外一点 直线 b 在平面 a 内不经过该点 根据异 面直线的定义可知 a 和 b 是异面直线 解答 解 1 如果直线 a c b c 那么 a b 因此 a b 可以确定一个平面 正确 2 如果直线 a 和 b 都与直线 c 相交 那么 a b 可以平行 相交或为异面直线 因此 a b 不一定确定一个平面 故不正确 3 如果 a c b c 那么 a b 可以平行 相交或为异面直线 因此 a b 不一定 确定一个平面 故不正确 4 直线 a 过平面 a 内一点与平面外一点 直线 b 在平面 a 内不经过该点 根据异 面直线的定义可知 a 和 b 是异面直线 故正确 综上可知 只有 1 4 正确 故选 B 点评 熟练掌握公理 3 平行线的传递性 空间两条直线的位置关系及异面直线的定义是解 题的关键 18 5 分 2012 奉贤区一模 将两个顶点在抛物线 y2 2px p 0 上 另一个顶点 2p 0 这样的正三角形有 A 0 个 B 2 个 C 4 个 D 1 个 考点 抛物线的简单性质 专题 数形结合 分析 根据题意和抛物线以及正三角形的对称性 可推断出两个边的斜率 进而表示出这 两条直线 每条直线与抛物线均有两个交点 焦点两侧的两交点连接 分别构成一 个等边三角形 可知当等边三角形关于 x 轴轴对称时 有两个 解答 解 y2 2px P 0 等边三角形的一个顶点位于 2p 0 另外两个顶点在抛物线上 则当等边三角形关于 x 轴轴对称时 两个边的斜率 k tan30 其方程为 y x 2p 11 每条直线与抛物线均有两个交点 焦点两侧的两交点连接 分别构成一个等边三角 形 这样的正三角形有 2 个 图中黑色的两个 两个顶点同时在抛物线上方如图中蓝色 或同时在下方各一个如图中绿色 故选 C 点评 本题主要考查了抛物线的简单性质和数形结合思想 主要是利用抛物线和正三角形 的对称性 19 2012 奉贤区一模 两个顶点在抛物线 y2 2px p 0 上 另一个顶点是此抛物线焦 点 这样的正三角形有 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 考点 抛物线的简单性质 专题 计算题 分析 根据题意和抛物线以及正三角形的对称性 可推断出两个边的斜率 进而表示出这 两条直线 每条直线与抛物线均有两个交点 焦点两侧的两交点连接 分别构成一 个等边三角形 进而可知这样的三角形有 2 个 解答 解 y2 2px P 0 的焦点 F 0 等边三角形的一个顶点位于抛物线 y2 2px P 0 的焦点 另外两个顶点在抛物线 上 则等边三角形关于 x 轴轴对称 两个边的斜率 k tan30 其方程为 y x 每条直线与抛物线均有两个交点 焦点两侧的两交点连接 分别构成一个等边三角 形 故这样的正三角形有 2 个 故选 C 点评 本题主要考查了抛物线的简单性质 主要是利用抛物线和正三角形的对称性 12 三 简答题 三 简答题 20 12 分 2012 奉贤区一模 关于 x 的不等式的解集为 1 2 1 求实数 m 的值 2 若实系数一元二次方程 x2 mx n 0 的一个根 求 n 考点 二阶矩阵 一元二次方程的根的分布与系数的关系 复数相等的充要条件 专题 计算题 分析 1 由行列式的运算法则 得原不等式即 x2 mx 2 0 而不等式的解集为 1 2 采用比较系数法 即可得到实数 m 的值 2 由一元二次方程根与系数的关系列式 结合复数的运算法则和已知条件 不难 求出 n 的值 解答 解 1 原不等式等价于 x x m 2 0 即 x2 mx 2 0 2 分 由题意得不等式的解集为 1 2 而解集为 1 2 的一个不等式为 x2 x 2 0 4 分 比较系数得 m 1 6 分 2 根据一元二次方程的根与系数关系 得 结合得 8 分 n x1x2 1 10 分 点评 本题以二阶行列式为载体 着重考查了一元二次不等式的解集和一元二次方程根与 系数关系等知识 属于基础题 21 14 分 2010 卢湾区二模 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 过 A1 C1 B 三 点的平面截去长方体的一个角后 得到如图所示的几何体 ABCD A1C1D1 且这个几何体的 体积为 10 1 求棱 A1A 的长 2 若 A1C1的中点为 O1 求异面直线 BO1与 A1D1所成角的大小 结果用反三角函数值表示 13 考点 异面直线及其所成的角 专题 计算题 分析 1 先设出棱 A1A 的长 求出长方体的体积和被截的几何体的体积 根据条件建立 等量关系 求出所求 2 先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 得到的锐角或直角就是异面直 线所成的角 O1BC 即为异面直线 BO1与 A1D1所成的角 或其补角 在三角形中再 利用余弦定理求出此角即可 解答 解 1 设 A1A h 由题设 得 即 解得 h 3 故 A1A 的长为 3 6 分 2 因为在长方体中 A1D1 BC 所以 O1BC 即为异面直线 BO1与 A1D1所成的角 或其补角 8 分 在 O1BC 中 计算可得 则 O1BC 的余弦值为 故异面直线 BO1与 A1D1所成角的大小为 14 分 点评 本题主要考查了异面直线及其所成的角 以及利用余弦定理进行解题等 属于基础 14 题 22 14 分 2009 长宁区一模 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 90 BC CC1 a AC 2a 1 求异面直线 AB1与 CC1所成角的大小 2 求多面体 B1 AA1C1C 的体积 考点 异面直线及其所成的角 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 计算题 分析 1 由条件 B1B C1C 因此 AB1B 即为异面直线 AB1与 C1C 所成角再结合题中的条 件以及解三角形的有关知识求解 Rt ABC 即可得到答案 2 由图可知 由条件得 B1B 平面 ABC 再根据体积公式分别求两个几何体的条件 进而得到答案 解答 解 1 由条件 B1B C1C 因此 AB1B 即为异面直线 AB1与 C1C 所成角 2 分 由条件得 B1B 平面 ABC B1B AB B1B CC1 a 在 Rt ABC 中 求出 4 分 5 分 所以异面直线 AB1与 C1C 所成角的大小为 6 分 2 由图可知 8 分 由条件得 B1B 平面 ABC 10 分 12 分 因此 14 分 15 点评 本题主要考查了棱锥的体积公式 以及异面直线及其所成角 而解决空间角的步骤 是 作角 证角 求角 熟练掌握几何体的结构特征是关键 23 16 分 2012 黄浦区一模 已知四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 是直角梯形 AB CD BC AB 侧面 SAB 为正三角形 AB BC 4 CD SD 2 如图所示 1 证明 SD 平面 SAB 2 求四棱锥 S ABCD 的体积 VS ABCD 考点 直线与平面垂直的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 专题 综合题 分析 1 证明线面垂直 利用线面垂直的判定定理 证明 SD SA SD SB 即可 2 利用等体积 计算顶点 S 到底面 ABCD 的距离 再计算四棱锥 S ABCD 的体 积 解答 1 证明 直角梯形 ABCD AB CD BC AB 侧面 SAB 为正三角形 AB BC 4 CD SD 2 BD 2 AD 2 在 DSA 和 DSB 中 有 SA2 SD2 42 22 AD2 SB2 SD2 42 22 BD2 SD SA SD SB SA SB S SD 平面 SAB 2 解 设顶点 S 到底面 ABCD 的距离为 h 结合几何体 可知 VD SAB VS ABD 又 4 于是 解得 h 所以四棱锥 S ABCD 的体积 VS ABCD 4 点评 本题考查线面垂直 考查体积的计算 解题的关键是利用线面垂直的判定定理 正 确运用体积公式 16 24 18 分 2012 崇明县一模 如图 已知椭圆 C a 0 b 0 过点 P 上 下焦点分别为 F1 F2 向量 直线 l 与椭圆交于 A B 两点 线段 AB 中点为 m 1 求椭圆 C 的方程 2 求直线 l 的方程 3