【龙门亮剑】2011高三数学一轮理数 第九章 第六节 棱柱、棱锥的概念和性质(课时提能精练) 全国版

专心 爱心 用心1 本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 若一个四棱柱的四个侧面都是正方形 则这个四棱柱是 A 正方体 B 正四棱柱 C 长方体 D 直平行六面体 答案 D 2 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等 则该棱锥一定不是 A 三棱锥 B 四棱锥 C 五棱锥 D 六棱锥 解析 各侧面为正三角形 若为六棱锥则不能构成空间图形 答案 D 3 如图所示 四棱锥 P ABCD 的底面为正方形 PD 底面 ABCD PD AD 1 设点 C 到平面 PAB 的距离为 d1 点 B 到平面 PAC 的距离为 d2 则有 A 1 d1 d2 B d1 d2 1 C d1 1 d2 D d2 d1 1 解析 点 C 到平面 PAB 的距离 d1 点 B 到平面 PAC 的距离 d2 2 2 3 3 1 d2 d1 1 3 3 2 2 答案 D 4 正四棱锥的侧棱与底面成 45 的角 则侧面与底面所成二面角的正弦值为 A B 3 2 2 2 C D 15 15 6 3 解析 过 P 作 PO 面 ABCD 于 O 是正四棱锥 O 在 AC 上且 AO CO PAO 为侧棱与底面所成的角为 45 过 O 作 OE BC 交 AB 于 E 连结 PE AO CO AE BE 又 AP BP PE AB OE AB PEO 为侧面 APB 与底面 ABCD 所成的二面角的平面角 专心 爱心 用心2 在 Rt AOP 中 PO AO BC 2 2 EO BC 1 2 PE BC 3 2 sin PEO PO PE 6 3 答案 D 5 2010 年江西师大附中 如图所示 把边长为 a 的正方形剪去图中的阴影部分 沿图中所 画的折成一个正三棱锥 则这个正三棱锥的高是 A a B a 1 33 2 3 1 33 3 C a D a 1 32 3 1 33 3 3 解析 由题意得 cos 15 b a 2 b a 2cos 15 所折成的正三棱锥的侧棱长是 a 底面边长是 b 因此这个三棱锥的高是 a a2 b 3 2 a2 a 2 3cos 15 2 1 33 3 3 故选 D 答案 D 6 下列命题中 真命题的个数是 两相邻侧棱所成之角相等的棱锥是正棱锥 两相邻侧面所成之角相等的棱锥是正棱锥 侧棱与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥 侧面与底面所成之角相等的棱锥是正棱锥 A 3 B 2 C 1 D 0 解析 对照定义 构造反例 如图所示 S ABC 是正三棱锥 两相邻侧棱所成之角相等 两相邻侧 面所成之角相等 在 SB SC 上分别取异于 B C 的点 B1 C1 连接 AB1 AC1 则三棱锥 S AB1C1均满足命题 的条件 但显然不是正 三棱锥 所以命题 为假命题 命题 中 侧棱与底面所成之角相等 顶点在底面的射影是底面多边形的外心 但外心不一定是中心 因为 底面不一定是正多边形 因此命题 也是假命题 在命题 中 侧面与 底面所成之角相等 顶点在底面的射影是底面多边形的内心 而内心 不一定是中心 所以命题 也是假命题 答案 D 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 专心 爱心 用心3 7 2008 年四川高考题 已知正四棱柱的一条对角线长为 且与底面所成的角的余弦值为 6 则该正四棱柱的体积是 3 3 解析 由题意得 Error Error 答案 2 8 2008 年天津高考题 一个正方体的各定点均在同一球的球面上 若该球的体积为 4 则该正方体的表面积为 3 解析 由R3 4 得 R 所以 a 2 表面积为 6a2 24 4 333 答案 24 9 在正方体上任意选择 4 个顶点 它们可能是如下各种几何形体的 4 个顶点 这些几何形 体是 写出所有正确结论的编号 矩形 不是矩形的平行四边形 有三个面为等腰直角三角形 有一个面为等边三角 形的四面体 每个面都是等边三角形的四面体 每个面都是直角三角形的四面体 解析 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1上 如取 A B C D 四个顶点 可得 矩 形 取 D A C D1四个顶点 可得 中所述几何体 取 A C D1 B1四个顶点可得 中所述 几何体 取 D D1 A B 四个顶点可得 中所述几何体 答案 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 2008 年湖北高考 如图 在直角三棱柱 ABC A1B1C1中 平面 A1BC 侧面 A1ABB1 1 求证 AB BC 2 若 AA1 AC a 直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 二面角 A1 BC A 的大小为 求证 2 证明 1 如图 过点 A 在平面 A1ABB1内作 AD A1B 于 D 则由平面 A1BC 侧面 A1ABB1 且平面 A1BC 侧面 A1ABB1 A1B 得 AD 平面 A1BC 又 BC 平面 A1BC 所以 AD BC 因为三棱柱 ABC A1B1C1是直三棱柱 则 AA1 底面 ABC 所以 AA1 BC 又 AA1 AD A 从而 BC 侧面 A1ABB1 又 AB 侧面 A1ABB1 故 AB BC 专心 爱心 用心4 2 连结 CD 则由 1 知 ACD 就是直线 AC 与平面 A1BC 所成的角 ABA1就是二面角 A1 BC A 的平面角 即 ACD ABA1 于是在 Rt ADC 中 sin AD AC AD a 在 Rt ADA1中 sin AA1D AD AA1 AD a sin sin AA1D 由于 与 AA1D 都是锐角 所以 AA1D 又由 Rt A1AB 知 AA1D 2 故 2 11 如图所示 在四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为正方形 侧棱 SD 底面 ABCD E F 分别为 AB SC 的中点 1 证明 EF 平面 SAD 2 设 SD 2DC 求二面角 A EF D 的大小 解析 1 证明 如图所示 作 FG DC 交 SD 于点 G 连结 AG 则 G 为 SD 的中点 FG 綊 CD 又 CD 綊 AB 1 2 所以 FG 綊 AE 故四边形 AEFG 为平行四边形 所以 EF AG 又 AG 平面 SAD EF 平面 SAD 所以 EF 平面 SAD 2 不妨设 DC 2 则 SD 4 DG 2 ADG 为等腰直角三角形 取 AG 中点 H 连结 DH 则 DH DH AG 2 又 AB 平面 SAD 所以 AB DH 而 AB AG A 所以 DH 平面 AEF 取 EF 中点 M 连结 MH 则 HM 1 HM EF 连结 DM 则 DM EF 故 DMH 为二面角 A EF D 的平面角 12 如图 四棱锥 S ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 SD 底面 ABCD AD DC SD 2 点 M 在侧棱 SC 上 ABM 60 2 1 证明 M 是侧棱 SC 的中点 2 求二面角 S AM B 的大小 解析 方法一 1 证明 作 ME CD 交 SD 于点 E 则 ME AB ME 平面 SAD 连结 AE 则四边形 ABME 为直角梯形 作 MF AB 垂足为 F 则 AFME 为矩形 设 ME x 则 SE x AE ED2 AD2 2 x 2 2 MF AE FB 2 x 2 x 2 2 由 MF FB tan 60 得 2 x 解得 x 1 2 x 2 23 专心 爱心 用心5 即 ME 1 从而 ME DC 1 2 所以 M 为侧棱 SC 的中点 2 MB 2 又 ABM 60 AB 2 所以 ABM 为等边三角形 BC2 MC2 又由 1 知 M 为 SC 的中点 SM SA AM 2 故 SA2 SM2 AM2 SMA 90 26 取 AM 的中点 G 连结 BG 取 SA 的中点 H 连结 GH 则 BG AM GH AM 由此知 BGH 为二面角 S AM B 的平面角 连接 BH 在 BGH 中 BG AM GH SM BH 3 23 1 2 2 2AB2 AH2 22 2 所以 cos BGH BG2 GH2 BH2 2 BG GH 6 3 故二面角 S AM B 的大小为 arccos 6 3 方法二 以 D 为坐标原点 射线 DA DC DS 为 x y z 轴的正半轴 建立如图所示的空间直 角坐标系 D xyz 设 A 0 0 则 B 2 0 C 0 2 0 S 0 0 2 22 1 证明 设 0 则 SM MC M 0 2 1 2 1 MB 2 2 1 2 1 又 0 2 0 60 AB MB AB 故 cos 60 MB AB MB AB 即 4 1 r 2 2 f 2 1 2 f 2 1 2 解得 1 即 SM MC 所以 M 为侧棱 SC 的中点 2 由 M 0