二次函数性质

二次函数性质 一般地 自变量自变量 x 和因变量和因变量 y 之之间存在如下关系 一般式 y ax 2 bx c a 0 a b c 为常数 则称 y 为 x 的二次函数 顶点式 y a x h 2 k a 0 a h k 为常数 交点式 与 x 轴 y a x x1 x x2 a 0 a 且 x1 x2 为常数 x1 x2 为二次函数与 x 轴的两交点 等高式 y a x x1 x x2 m a 0 且过 x1 m x2 m 为常数 x1 x2 为二次函数与 x 轴的两交点 二次函数性质 顶点式 y a x h 2 k a 0 a h k 为常数 变量 x 是自变量 y 是 x 的二次函数 交点式 y a x x1 x x2 a 0 x1 x2 为常数 定义 一般地 自变量 x 和因变量 y 之间存在如下关系 一般式 y ax 2 bx c a 0 a b c 为常数 则称 y 为 x 的二次函数 顶点式 y a x h 2 k a 0 a h k 为常数 交点式 与 x 轴 y a x x1 x x2 a 0 x1 x2 为常数 重要知识 a b c 为常数 a 0 且 a 决定函数的开口方向 a 0 时 开口方向向上 a0 时 当 b 2 4ac 0 时 x1 x2 b 2a 折叠表达式 折叠 一般式 y ax bx c a b c 为常数 a 0 折叠 顶点式 抛物线的顶点 P h k y a x h k a h k 为常数 a 0 折叠 交点式 仅限于与 x 轴有交点 A x1 0 和 B x2 0 的抛物线 y a x x1 x x2 a x1 x2 为常数 a 0 转化 3 种形式的转化 一般式和顶点式 对于二次函数 y ax bx c 其顶点坐标为 b 2a 4ac b 4a 即 h b 2a x1 x2 2 k 4ac b 4a 一般式和交点式 x1 x2 b b 4ac 2a 即一元二次方程求根公式 折叠二次函数的性质 特别地 二次函数 以下称函数 y ax 2 bx c a 0 当 y 0 时 二次函数为关于 x 的一元二次方程 以下称方程 即 ax 2 bx c 0 a 0 此时 函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根 函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根 1 二次函数 y ax 2 y ax 2 k y a x h 2 y a x h 2 k y ax 2 bx c 各式中 a 0 的图象形状相同 只是位置不同 它们的顶点坐标及对称轴如下表 解析式 y ax 2 ky ax 2y a x h 2y a x h 2 ky ax bx c 顶点坐标 0 k 0 0 h 0 h k b 2a 4ac b 4a 对 称轴x 0 y 轴 x 0 y 轴 x hx hx b 2a 当 h 0 时 y a x h 2 的图象可由抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位得到 当 h0 k 0 时 将抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位 再向上移动 k 个单位 就 可以得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k 0 时 将抛物线 y ax 2 向右平行移动 h 个单位 再向下移动 k 个单位可得 到 y a x h 2 k 的图象 当 h0 时 将抛物线向左平行移动 h 个单位 再向上移动 k 个单位可得到 y a x h 2 k 的图象 当 h 0 k0 时 开口向上 当 a0 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而减小 当 x b 2a 时 y 随 x 的增大而增大 若 a0 图象与 x 轴交于两点 A x1 0 和 B x2 0 其中的 x1 x2 是一元 二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两根 这两点间的距离 AB x2 x1 另外 抛物线上任何一对对称点的距离可以 由 2x A b 2a A 为其中一点的横坐标 当 0 图象与 x 轴只有一个交点 当 0 时 图象落在 x 轴的上方 x 为任何实数时 都 有 y 0 当 a 0 时 图象落在 x 轴的下方 x 为任何实数时 都有 y0 a 0 则当 x b 2a 时 y 最小 大 值 4ac b 2 4a 顶点的横坐标 是取得极值时的自变量值 顶点的纵坐标 是极值的取值 6 用待定系数法求二次函数的解析式 1 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知 x y 的三对对应值时 可设解析式 为一般形式 y ax 2 bx c a 0 2 当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时 可设解析式为顶点式 y a x h 2 k a 0 3 当题给条件为已知图象与 x 轴的两个交点坐标时 可设解析式为两根式 y a x x1 x x2 a 0 7 二次函数知识很容易与其它知识综合应用 而形成较为复杂的综合题目 因此 以 二次函数知识为主的综合性题目是中高考的热点考题 往往以大题形式出现 折叠编辑本段其它