理科数学2010-2019高考真题分类训练7专题三 导数及其应用第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理—附解析答案

专题三 导数及其应用 第七讲 导数的几何意义 定积分与微积分基本定理 2019 年 1 2019 全国 理 13 曲线 2 3 exyxx 在点 0 0 处的切线方程为 2 2019 全国 理 6 已知曲线eln x yaxx 在点1ea 处的切线方程为 y 2x b 则 A e1ab B a e b 1 C 1 e1ab D 1 ea 1b 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 设函数 32 1 f xxaxax 若 f x为奇函数 则曲线 yf x 在点 0 0 处的切线方程为 A 2yx B y x C 2yx D y x 2 2016 年四川 设直线 1 l 2 l分别是函数 f x ln 01 ln 1 xx x x 图象上点 1 P 2 P处的切 线 1 l与 2 l垂直相交于点P 且 1 l 2 l分别与y轴相交于点A B 则 PAB的面积 的取值范围是 A 0 1 B 0 2 C 0 D 1 3 2016 年山东 若函数 yf x 的图象上存在两点 使得函数的图象在这两点处的切线 互相垂直 则称 yf x 具有 T 性质 下列函数中具有 T 性质的是 A sinyx B lnyx C x ye D 3 yx 4 2015 福建 若定义在R上的函数 f x满足 01f 其导函数 fx 满足 1fxk 则下列结论中一定错误的是 A 11 f kk B 11 1 f kk C 11 11 f kk D 1 11 k f kk 5 2014 新课标 设曲线ln 1 yaxx 在点 0 0 处的切线方程为2yx 则a A 0 B 1 C 2 D 3 6 2014 山东 直线xy4 与曲线 3 yx 在第一象限内围成的封闭图形的面积为 A 22 B 24 C 2 D 4 7 2013 江西 若 222 2 123 111 1 x Sx dx Sdx Se dx x 则 123 S S S的大小关系为 A 123 SSS B 213 SSS C 231 SSS D 321 SSS 8 2012 福建 如图所示 在边长为 1 的正方形OABC中任取一点P 则点P恰好取自阴 影部分的概率为 A 1 4 B 1 5 C 1 6 D 1 7 9 2011 新课标 由曲线yx 直线2yx 及y轴所围成的图形的面积为 A 10 3 B 4 C 16 3 D 6 10 2011 福建 1 0 2 x ex dx 等于 A 1 B 1e C e D 1e 11 2010 湖南 4 2 1dx x 等于 A 2ln2 B 2ln2 C ln2 D ln2 12 2010 新课标 曲线 3 y21xx 在点 1 0 处的切线方程为 A 1yx B 1yx C 22yx D 22yx 13 2010 辽宁 已知点P在曲线 y 4 1 x e 上 为曲线在点P处的切线的倾斜角 则 的 取值范围是 A 0 4 B 4 2 C 3 24 D 3 4 二 填空题 14 2018 全国卷 曲线2ln 1 yx在点 0 0 处的切线方程为 15 2018 全国卷 曲线 1 x yaxe 在点 0 1 处的切线的斜率为2 则a 16 2016 年全国 若直线ykxb 是曲线ln2yx 的切线 也是曲线ln 1 yx 的 切线 则b 17 2016 年全国 已知 f x为偶函数 当0 x 时 ln 3f xxx 则曲线 yf x 在点 1 3 处的切线方程是 18 2015 湖南 2 0 1 xdx 19 2015 陕西 设曲线 x ye 在点 0 1 处的切线与曲线 1 0 yx x 上点P处的切线 垂直 则P的坐标为 20 2015 福建 如图 点A的坐标为 1 0 点C的坐标为 2 4 函数 2 f xx 若 在矩形ABCD内随机取一点 则此点取自阴影部分的概率等于 第 15 题 第 17 题 21 2014 广东 曲线2 5 x ey在点 3 0 处的切线方程为 22 2014 福建 如图 在边长为e e为自然对数的底数 的正方形中随机撒一粒黄豆 则他落到阴影部分的概率为 23 2014 江苏 在平面直角坐标系xOy中 若曲线 x b axy 2 a b 为常数 过点 5 2 P 且该曲线在点 P 处的切线与直线0327 yx平行 则ba 的值是 24 2014 安徽 若直线l与曲线C满足下列两个条件 i直线l在点 00 y xP处与曲线C相切 ii曲线C在P附近位于直线l的两侧 则称 直线l在点P处 切过 曲线C 下列命题正确的是 写出所有正确命题的 编号 直线0 yl在点 0 0P处 切过 曲线C 3 yx 直线1 xl在点 0 1 P处 切过 曲线C 2 1 xy 直线xyl 在点 0 0P处 切过 曲线C xysin 直线xyl 在点 0 0P处 切过 曲线C xytan 直线1 xyl在点 0 1P处 切过 曲线C xyln 25 2013 江西 若曲线1yx R 在点 1 2 处的切线经过坐标原点 则 26 2013 湖南 若 2 0 9 T x dxT 则常数 的值为 27 2013 福建 当 1xR x 时 有如下表达式 2 1 1 1 n xxx x 两边同时积分得 11111 2 22222 00000 1 1 1 n dxxdxx dxx dxdx x 从而得到如下等式 231 1111111 1 ln2 2223212 n n 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法 计算 012231 1111111 2223212 nn nnnn CCCC n 28 2012 江西 计算定积分 1 2 1 sin xx dx 29 2012 山东 设0 a 若曲线xy 与直线0 yax所围成封闭图形的面积为 2 a 则 a 30 2012 新课标 曲线 3ln1 yxx 在点 1 1 处的切线方程为 31 2011 陕西 设 2 0 lg0 30 a xx f x xt dtx 若 1 1f f 则a 32 2010 新课标 设 yf x 为区间 0 1 上的连续函数 且恒有0 1f x 可以用 随机模拟方法近似计算积分 1 0 f x dx 先产生两组 每组N个 区间 0 1 上的均匀 随机数 12 N x xx 和 12 N y yy 由此得到 N 个点 1 2 ii x yiN 再数出其中 满足 1 2 ii yf xiN 的点数 1 N 那么由随机模拟方案可得积分 1 0 f x dx 的 近似值为 33 2010 江苏 函数 2 yx 0 x 的图像在点 2 kk a a处的切线与x轴交点的横坐标为 1k a 其中 kN 若 1 16a 则 135 aaa 三 解答题 34 2017 北京 已知函数 cos x f xexx 求曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程 求函数 f x在区间 0 2 上的最大值和最小值 35 2016 年北京 设函数 a x f xxebx 曲线 yf x 在点 2 2 f处的切线方程为 1 4yex I 求a b的值 II 求 f x的单调区间 36 2015 重庆 设函数 2 3 ex xax f xaR 若 f x在0 x 处取得极值 确定a的值 并求此时曲线 yf x 在点 1 1 f 处的切线方程 若 f x在 3 上为减函数 求a的取值范围 37 2015 新课标 已知函数 3 1 4 f xxax lng xx 当a为何值时 x轴为曲线 yf x 的切线 用min m n 表示m n中的最小值 设函数 min h xf x g x 0 x 讨论 h x零点的个数 38 2014 新课标 设函数 1 ln x x be f xaex x 曲线 yf x 在点 1 1 f处的切线 为 1 2ye x 求 a b 证明 1f x 39 2013 新课标 已知函数 ln x f xexm 设0 x 是 f x的极值点 求m 并讨论 f x的单调性 当2m 时 证明 0f x 40 2012 辽宁 设 ln 1 1 f xxxax b a bR a b 为常数 曲线 y f x与 直线 3 2 yx在 0 0点相切 1 求 a b的值 2 证明 当0 2x时 9 0 显然 12 k k 12 xx ee 1 无解 故该函数不具有 T 性质 对于 D 选项 2 3fxx 0 显然 12 k k 22 12 33xx 1 无解 故该函数不具有 T 性质 故选 A 4 C 解析 取满足题意得函数 21f xx 若取 3 2 k 则 121 33 ff k 21 3k 所以排除 D 取满足题 意的函数 101f xx 若取2k 则 1111 4 1 22 11 ff kk 所以排除 B 故结论一定错误的是 C 5 D 解析 1 1 ya x 由题意得 0 2 x y 即3a 6 D 解析 由 3 4xx 得 0 x 2x 或2x 舍去 直线xy4 与曲线 3 yx 在 第一象限内围成的封闭图形的面积 2 3242 0 0 1 4 2 4 4 Sxx dxxx 7 B 解析 3 2 2 1 1 2 7 133 x Sx dx 2 2 1 2 1 lnln2 1 Sdxx x 2 2 3 1 2 1 xx Se dxeee 显然 213 SSS 故选 B 8 C 解析 3 1 2 2 0 1 211 0326 Sxx dxxx 阴影 正方形的面积为 1 P 1 6 9 C 解析 用定积分求解 3 4 24 2 0 0 2116 2 2 323 xxdxxxx 选 C 10 C 解析 1 0 2 x ex dx 21 0 x exe 选 C 11 D 解析 1 ln x x 4 2 1dx x 4 lnln4ln2ln2 2 x 12 A 解析 点 1 0 处的切线斜率为k 2 1 3 121 x ky 由点斜式可得切线 方程为 A 13 D 解析 因为 2 44 1 1 2 x xxx e y eee 即 tan 1 所以 3 4 14 2 yx 解析 2ln 1 yx 2 1 y x 当0 x 时 2y 曲线2ln 1 yx在点 0 0 处的切线方程为02 0 yx 即2 yx 15 3 解析 1 x yaxa e 由曲线在点 0 1 处的切线的斜率为2 得 00 1 12 x xx yaxa ea 所以3a 16 1 ln2 解析 设ykxb 与ln2yx 和ln 1 yx 的切点分别为 11 ln2 xx 和 22 ln 1 xx 则切线分别为 11 1 1 ln2 yxxx x 22 2 1 ln 1 1 yxxx x 化简得 1 1 1 ln1yxx x 2 2 22 1 ln1 11 x yxx xx 依题意 12 2 12 2 11 1 ln1ln1 1 xx x xx x 解得 1 1 2 x 从而 1 ln11 ln2bx 17 21yx 解析 由题意可得当0 x 时 ln3f xxx 则 1 3fx x 1 2 f 则在点 1 3 处的切线方程为32 1 yx 即21yx 18 0 解析 2 2 0 2 1 1 0 02 xdxxx 19 1 1 解析 因为 x ye 所以 x ye 所以曲线 x ye 在点 0 1处的切线的斜率 0 10 1 x kye 设 的坐标为 00 xy 0 0 x 则 0 0 1 y x 因为 1 y x 所 以 2 1 y x 所以曲线 1 y x 在点P处的切线的斜率 0 2 2 0 1 x x ky x 因为 12 1k k 所以 2 0 1 1 x 即 2 0 1x 解得 0 1x 因为 0 0 x 所以 0 1x 所以 0 1y 即P的坐标是 1 1 所以答案应填 1 1 20 5 12 解析 由已知得阴影部分面积为 2 2 1 75 44 33 x dx 所以此点取自阴影部分 的概率等于 5 5 3 412 21 53yx 解析 5 5 x ye 在点 0 3 处的切线的斜率为5 切线方程为35 0 yx 即53yx 22 2 2 e 解析 根据对称性 两个阴影部分面积相等 1 1 0 0 2 22 2 xx See dxee 阴 由几何概型的概率计算公式 得所求的概率为 2 2 S Se 阴 正 23 3 解析 由题意可得54 2 b a 又 2 2 b fxax x 过点 5 2 P的切 线的斜率 7 4 42 b a 由 解得1 2ab 所以3ab 24 解析 对于 2 0 3 0 x yxy 所以 0l y 是曲线 3 C yx 在点 0 0 P 处的切线 画图可知曲线 3 C yx 在点 0 0 P附近位于直线l的两侧 正确 对于 因为 1 2 1 0 x yxy 所以 1l x 不是曲线C 2 1 xy在点 0 1 P 处的切线 错误 对于 0 cos 1 x yx y 在点 0 0P处的切线为xyl 画图可知曲线C xysin 在点 0 0P附近位于直线l的两侧 正确 对于 2 1 cos y x 0 2 1 1 cos 0 x y 在点 0 0P处的切线为xyl 画图可知曲线C xytan 在点 0 0P附近位于直线l的两侧 正确 对于 1 y x 1 1 x y 在点 0 1P处的切线为1 xyl 令 1 ln 0 h xxx x 可得 11 1 x h x xx 所以 min 1 0h xh 故1lnxx 可知曲线C xyln 在点 0 1P附近位于直线l的下侧 错误 25 2 解析 1 yx 则k 故切线方程yx 过点 1 2 解得2 26 3 解析 39 33 3 0 3 0 2 T Tx dxx T T 27 1 13 1 12 n n 解析 由 0122 1 1 nnn nnnn CC xC xC xx 两边同时积分得 11111 2 22222 00000 1 1 nn nnnn C dxC xdxC x dxC x dxx dx 从而得到如下等式 012231 1111111 2223212 nn nnnn CCCC n 1 13 1 1 2 n n 28 2 3 解析 3 1 21 1 1 11 sin cos cos1cos1 333 x xx dxx 112 333 29 9 4 解析 aaxdxxS a a 2 3 0 2 3 0 3 2 3 2 解得 4 9 a 30 43yx 解析 3ln4yx 切线斜率为 4 则切线方程为 430 xy 31 1 解析 因为10 x 所以 1 lg10f 又因为 23 0 3 a f xxt dtxa 所以 3 0 fa 所以 3 1a 1a 32 1 N N 解析 由题意可知 1 01 1 f x dx N N 得 1 1 0 N f x dx N 故积分 1 0 f x dx 的近似 值为 1 N N 33 21 解析 在点 2 kk a a处的切线方程为 2 2 kkk yaa xa 当0y 时 解得 2 k a x 所以 1135 164 121 2 k k a aaaa 34 解析 因为 e cos x f xxx 所以 e cossin 1 0 0 x fxxxf 又因为 0 1f 所以曲线 yf x 在点 0 0 f处的切线方程为1y 设 e cossin 1 x h xxx 则 e cossinsincos 2e sin xx h xxxxxx 当 0 2 x 时 0h x 所以 h x在区间 0 2 上单调递减 所以对任意 0 2 x 有 0 0h xh 即 0fx 所以函数 f x在区间 0 2 上单调递减 因此 f x在区间 0 2 上的最大值为 0 1f 最小值为 22 f 35 解析 I ea xf xxbx ee 1 e a xa xa x fxxbxb 曲线 yf x 在点 2 2 f 处的切线方程为 e1 4yx 2 2 e1 4f 2 e1 f 即 2 2 2e22 e1 4 a fb 2 2 12 ee1 a fb 由 解得 2a eb II 由 I 可知 2 ee x f xxx 2 1 ee x fxx 令 2 1 e x g xx 222 e 1 e 2 e xxx g xxx x 2 2 2 g x 0 g x 极小值 g x的最小值是 2 2 2 12 e1g fx 的最小值为 2 2 ee10fg 即 0fx 对x R恒成立 f x在 上单调递增 无减区间 36 解析 对 f x求导得 22 2 6 3 3 6 xx xx xa exax exa xa fx ee 因为 f x在0 x 处取得极值 所以 0 0f 即0a 当0a 时 f x 22 336 xx xxx fx ee 故 33 1 1 ff ee 从而 f x在点 1 1 f 处的切线方程为 33 1 yx ee 化简得30 xey 由 知 2 3 6 x xa xa fx e 令 2 3 6 g xxa xa 由 0g x 解得 2 1 636 6 aa x 2 2 636 6 aa x 当 1 xx 时 0g x 即 0fx 故 f x为减函数 当 12 xxx 时 0g x 即 0fx 故 f x为增函数 当 2 xx 时 0g x 即 0fx 故 f x为减函数 由 f x在 3 上为减函数 知 2 2 636 3 6 aa x 解得 9 2 a 故a的取值范围为 9 2 37 解析 设曲线 yf x 与x轴相切于点 0 0 x 则 0 0f x 0 0fx 即 3 00 2 0 1 0 4 30 xax xa 解得 0 13 24 xa 因此 当 3 4 a 时 x轴是曲线 yf x 的切线 当 1 x 时 ln0g xx 从而 min 0h xf x g xg x h x在 1 无零点 当x 1 时 若 5 4 a 则 5 1 0 4 fa 1 min 1 1 1 0hfgg 故x 1 是 h x的零点 若 5 4 a 则 5 1 0 4 fa 1 min 1 1 1 0hfgf 故x 1 不是 h x的零点 当 0 1 x 时 ln0g xx 所以只需考虑 f x在 0 1 的零点个数 若3a 或0a 则 2 3fxxa 在 0 1 无零点 故 f x在 0 1 单调 而 1 0 4 f 5 1 4 fa 所以当3a 时 f x在 0 1 有一个零点 当a 0 时 f x在 0 1 无零点 若30a 则 f x在 0 3 a 单调递减 在 3 a 1 单调递增 故当x 3 a 时 f x取的最小值 最小值为 3 a f 21 334 aa 若 3 a f 0 即 3 4 a 0 f x在 0 1 无零点 若 3 a f 0 即 3 4 a 则 f x在 0 1 有唯一零点 若 3 a f 0 即 3 3 4 a 由于 1 0 4 f 5 1 4 fa 所以当 53 44 a 时 f x在 0 1 有两个零点 当 5 3 4 a 时 f x在 0 1 有一个零点 综上 当 3 4 a 或 5 4 a 时 h x由一个零点 当 3 4 a 或 5 4 a 时 h x有两个零点 当 53 44 a 时 h x有三个零点 38 解析 1 函数 f x的定义域为 0 11 2 ln xxxx abb f xaexeee xxx 由题意可得 1 2f 1 fe 1 2 ab 故 2 由 1 知 1 2 ln xx f xexe x 从而 1f x 等价于 2 ln x xxxe e 设函数 1g xx nx 则 1g xnx 所以当 1 0 x e 时 0g x 当 1 x e 时 0g x 故 g x在 1 0 e 单调递减 在 1 e 单调递增 从而 g x子啊 0 的最小值为 11 g ee 设函数 2 x h xxe e 则 1 x h xex 所以当 0 1 x 时 0h x 当 1 x 时 0h x 故 h x在 0 1 单调递增 在 1 单调递减 从而 h x在 0 的最大值为 1 1 h e 39 解析 因为 1 x fxe xm x 0 是 f x的极值点 所以 1 0 10f m 解得1m 所以函数 f x x e ln x 1 其定义域为 1 因为 1 1 x fxe x 1 1 1 x ex x 设 1 1 x g xex 则 1 0 xx g xexe 所以 g x在 1 上是增函 数 又因为 0 0g 所以当0 x 时 0g x 即 0fx 当10 x 时 0g x 0fx 所以 f x在 1 0 上是减函数 在 0 上是增函数 当2m x 时 lnln2xmx 故只需证明当2m 时 0f x 当2m 时 函数 1 2 x fxe x 在 2 单调递增 又 10 00ff 故 0fx 在 2 有唯一实根 0 x 且 0 1 0 x 当 0 2 xx 时 0fx 当 0 xx 时 0fx 从而当 0 xx 时 f x取得最小值 由 0 0fx 得 0 00 0 1 ln2 2 x exx x 故 2 0 00 00 11 0 22 x f xf xx xx 综上 当2m 时 0f x 40 解析 1 由 y f x的图像过 0 0点 代入得1b 由 y f x在 0 0处的切线斜率为 3 2 又 0 0 113 122 1 x x yaa xx 得0a 2 证法一 由均值不等式 当 0 x时 2 1 1 1 1 2xxx 故 1 1 2 x x 记 9 6 x h xf x x 则 222 11542 154 654 12 14 12 1 6 6 6 xx h x xxxx xxx 3 2 6 216 1 4 1 6 xx xx 令 3 6 216 1g xxx 则当0 2x时 2 3 6 216 0g xx 因此 g x在 0 2内是减函数 又由 0 0g 得 0g x 所以 0h x