2012高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列四 立体几何 理 教师版

用心 爱心 专心1 考前考前 3030 天之备战天之备战 20122012 高考数学冲刺押题系列四高考数学冲刺押题系列四 立体几何 理 教师版立体几何 理 教师版 命题趋势命题趋势 理科的立体几何由三部分组成 一是空间几何体 二是空间点 直线 平面的位置关系 三是立体 几何中的向量方法 高考在命制立体几何试题中 对这三个部分的要求和考查方式是不同的 在空间几 何体部分 主要是以空间几何体的三视图为主展开 考查空间几何体三视图的识别判断 考查通过三视 图给出的空间几何体的表面积和体积的计算等问题 试题的题型主要是选择题或者填空题 在难度上也 进行了一定的控制 尽管各地有所不同 但基本上都是中等难度或者较易的试题 在空间点 直线 平 面的位置关系部分 主要以解答题的方法进行考查 考查的重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明 而且一般是这个解答题的第一问 对立体几何中的向量方法部分 主要以解答题的方式进行考查 而且 偏重在第二问或者第三问中使用这个方法 考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题 的计算 把立体几何问题转化为空间向量的运算问题 预测 2012 年高考的可能情况是 1 以选择题或者填空题的形式考查空间几何体的三视图以及表 面积和体积的计算 对空间几何体的三视图的考查有难度加大的趋势 通过这个试题考查考生的空间想 象能力 空间几何体的表面积和体积计算以三视图为基本载体 交汇考查三视图的知识和面积 体积计 算 试题难度中等 2 以解答题的方式考查空间线面位置关系的证明 在解答题中的一部分考查使用 空间向量方法求解空间的角和距离 以求解空间角为主 特别是二面角 方法与技巧方法与技巧 1 2 将平面图形沿直线翻折成立体图形 实际上是以该直线为轴的一个旋转 求解翻折问题的基本方 法 先比较翻折前后的图形 弄清哪些量和位置关系在翻折过程中不变 哪些已发生变化 然后将不 变的条件集中到立体图形中 将问题归结为一个条件与结论均明朗化的立体几何问题 在解决空间位置关系的问题的过程中 注意几何法与向量法结合起来使用 若图形易找线 面的 位置关系例如平面的垂线易作等 则用几何法较简 便 否则用向量法 而用向量法 一般要求先求 出直线的方向向量以及平面的法向量 然后考虑两个相关的向量是否平行或垂直 3 4 对于空间线面位置的探索性问题 有的是运用几何直观大胆猜测后推理验证 有的是 直接建系后进行计算 有时两种办法相结合 它因结果的不确定性 增强能力考查 而成 为新高考的热点 重视转化与化归思想的应用 如面面平行或垂直问题转化为线面平行或垂直问题 也可继续转化为线线平行或垂直 问题来处理 空间角的计算方法都是转化为平面角计算 要充分挖掘图形的性质 寻求平行关系 比 如利用 中点 等性质 异面直线所成角强调的是 平行 直线与平面所成角强调的是 射影 二面角的平面角强调的是 垂直 另外 必须注意三类角的取 5 值范围 1263 7 求角的一般步骤 找出或作出有关的平面角 证明它是符合定义的角 将所求归到某一三 角形中进行计算 向量法求解的关键是建立空间直角坐标系 若题中无明显两两垂直的直线 要先证明后建系 若建系困难可以考虑几何法或利用空间向量的向量式解决 另外 利用向量法求解角 注意向量 夹角与所求的空间 角的关系 用心 爱心 专心2 1 2 3 9 4 8 求距离的一般步骤是 一作 二证 三计算 即先作出表示距离的线段 再证明它就是 所求的距离 然后再计算 其中第二步证明过程在解题中应引起足够的重视 求空间距离的方法可分为直接法 转化法 向量法 直接法是直接作出垂线 再通过 解三角形求出距离 转化法是把面面距离转化为线面距离 再把线面距离转化为点面距离 等积法等面积 等体积是求距离点到线 点到面的常用方法 要注意灵 活运用 向量 法是把距离求解转化为向量运算 高考冲刺押题高考冲刺押题 押题 1 如图 在直四棱柱 1111 ABCDABC D 中 底面ABCD为平 行四边形 且2AD 1 3ABAA 60BAD E为AB的 中点 证明 1 AC 平面 1 EBC 求直线 1 ED与平面 1 EBC所成角的正弦值 押题指数 解析 证明 连接 1 BC 11 BCBCF 因为AEEB 1 FBFC 所以EF 1 AC 2 分因为 1 AC 面 1 EBC EF 面 1 EBC所以 1 AC 面 1 EBC 4 分 作DHAB 分别令 1 DH DC DD为 x轴 y轴 z轴 建立坐标系如图 因为60BAD 2AD 所以1AH 3DH 所以 1 3 0 2 E 1 0 0 3 D 0 3 0 C 1 3 2 3 B 6 分 11 135 3 3 0 3 3 0 222 EDEBEC 设面 1 EBC的法向量为 nx y z 所以 1 0n EB 0n EC 化简得 3 30 2 5 30 2 yz xy 令1y 则 5 31 1 62 n 10 分设 1 n ED 用心 爱心 专心3 则 1 1 9 30 cos 70 n ED nED 设直线 1 ED与面 1 EBC所成角为 则coscos 90 sin 所以 9 30 sin 70 则直线 1 ED与面 1 EBC所成角的正弦值为 9 30 70 12 分 押题 2 如图 在四棱锥 P ABCD 中 PC 底面 ABCD ABCD 是直角梯形 AB AD AB CD AB 2AD 2CD 2 E 是 PB 的中点 I 求证 平面 EAC 平面 PBC II 若二面角 P A C E 的余弦值为 6 3 求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值 押题指数 解析 PC 平面ABCD AC 平面 ABCD AC PC AB 2 AD CD 2 AC BC 2 AC2 BC2 AB2 AC BC 又BC PC C AC 平面PBC AC 平面 EAC 平面EAC 平面PBC 4 分 如图 以C为原点 分别为x轴 y轴 z轴正向 建立空间直角坐标系 则 DA CD CP C 0 0 0 A 1 1 0 B 1 1 0 设P 0 0 a a 0 则E 6 分 1 1 0 1 2 1 2 a 2 CA 0 0 a CP CE 1 2 1 2 a 2 取m m 1 1 0 则m m m m 0 m m为面PAC的法向 CA CP 量 设n n x y z 为面EAC的法向量 则 n n n n 0 即取 CA CE x y 0 x y az 0 x a y a z 2 则n n a a 2 依题意 cos m m n n 则a 2 m m n n m m n n a a2 2 6 3 于是n n 2 2 2 1 1 2 PA D A C E P B x y z 用心 爱心 专心4 AB C D E F 设直线PA与平面EAC所成角为 则 sin cos n n PA PA n n PA n n 2 3 即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为 12 分 2 3 押题 3 如图 在底面是矩形的四棱锥P ABCD 中 PA 平面 ABCD 2 1 PAABBC E是PD的中点 1 求证 平面 PDC 平面PAD 2 求二面角E ACD 所成平面角的余弦值 押题指数 解析 解法一 1 PA 平面 ABCD CD 平面 ABC PA CD ABCD 是矩形 AD CD 而 PA AD A CD 平面 PAD CD 平面 PDC 平面PDC 平面PAD 4 分 押题 4 如图 多面体ABCDEF 中 ABCD是梯形 CDAB ACFE是矩形 用心 爱心 专心5 平面 ACFE平面ABCD aAECBDCAD 2 ACB 1 若M是棱EF上一点 AM平面BDF 求EM 2 求二面角DEFB 的平面角的余弦值 押题指数 解析 1 连接BD 记OBDAC 在梯形ABCD中 因为aCBDCAD CDAB 所以DACCABACD 2 3 DACACBACDDABBCDABC 6 DAC 从而 6 CBO 又因为 2 ACB aCB 所以aCO 3 3 连接FO 由 AM平面 BDF得FOAM 因为ACFE是矩形 所以aCOEM 3 3 7 分 2 以C为原点 CA CB CF分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则 0 0 0 C 0 0 3 aA 0 0 aB 0 2 2 3 a aD 0 0 aF 0 3 aaE 设平面DEF的一个法向量为 1 tsrn 则有 0 0 1 1 DFn EFn 即 0 22 3 03 tas a ra ra 解得 1 2 0 1 n 同理可得平面BEF的一个法向量为 1 1 0 2 n 13 分 观察知二面角 DEFB 的平面角为锐角 所以其余弦值为 10 10 cos 21 21 nn nn 14 分 押题 5 如图 1 在边长为3的正三角形ABC中 E F P分别为AB AC BC上的点 且 满足1AEFCCP 将 AEF沿EF折起到 1 AEF的位置 使二面角 1 AEFB 成直二面角 连结 1 AB 1 AP 如图 2 求证 EA1 平面BEP 求直线EA1与平面BPA1所成角的 大小 图 1 图 2 用心 爱心 专心6 押题指数 解析 证明 取BE中点D 连结DF 因为1AECF 1DE 所以2AFAD 而60A 即 ADF是正三角形 又因为1AEED 所以EFAD 2 分 所以在图 2 中有 1 A EEF BEEF 3 分 所以 1 A EB 为二面角 1 AEFB 的平面角 押题 6 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 BCCCAB 2 BCAB 点NM 分别是 1 CC CB1的中点 G是棱AB上的动点 I 求证 CB1平面BNG II 若CG 平面MAB1 试确定G点的位置 并给出证明 用心 爱心 专心7 III 求二面角 1 MABB 的余弦值 押题指数 解析 I 证明 在直三棱柱 111 ABCABC 中 1 CCBC 点N是CB1的中点 CBBN 1 BCAB 1 BBAB BBCBB 1 AB 平面 11BCC B 2 分 CB1平面 11BCC B ABCB 1 即GBCB 1 3 分又BBGBN CB1平面BNG 4 分 II 当G是棱AB的中点时 CG 平面MAB1 5 分证明如下 连结 1 AB 取 1 AB的中点 H 连接GCHMHG 则HG为BAB1 的中位线 GH 1 BB 1 2 1 BBGH 6 分 由已知条件 11BCC B为正方形 1 CC 1 BB 11 BBCC M为 1 CC的中点 1 2 1 CCCM 7 分 MC GH 且GHMC 四边形HGCM为平行四边形 GC HM又 MABHMMABGC 11 平面平面 8 分 CG 平面MAB1 9 分 押题 7 在如图的多面体中 EF 平面AEB AEEB ADEF EFBC 24BCAD 3EF 2AEBE G是BC的中点 AD F E BGC 用心 爱心 专心8 求证 AB平面DEG 求证 BDEG 求多面体ADBEG的体积 押题指数 解析 证明 ADEF EFBC ADBC 又 2BCAD G是BC的中点 ADBG 四边形ADGB是平行四边形 ABDG AB 平面DEG DG 平面DEG AB平面DEG 证明 EF 平面AEB AE 平面AEB EFAE 又 AEEB EBEFE EB EF 平面BCFE AE 平面BCFE 过D作 DHAE交EF于H 则DH 平面BCFE EG 平面BCFE DHEG ADEF DHAE 四边形AEHD平行四边形 2EHAD 2EHBG 又 EHBG EHBE 四边形BGHE为正方形 BHEG 又 BHDHH BH 平面BHD DH 平面BHD EG 平面BHD BD 平面BHD BDEG EF 平面AEB ADEF EF平面AEB 由 2 知四边形BGHE为正方形 BCBE BECDAEBDADBEG VVV AESADS BCEABE 3 1 3 1 3 8 3 4 3 4 3 以E为原点 建立如图所示的空间直角坐标系Exyz 用心 爱心 专心9 0 1 0 0 0 0 01 0 11 0 2 1 0 0 03 AEBCDP 则有 设 000 F xyzPFPB 则 3 1 0 3 000 zyx 0 33 F 所以 设 x y z n为平面DEF的法向量 2 1 0 0 33 EDEF 0 0 ED EF n n 20 330 xy yz 即 x1 y2 2 z 31 所以 2 1 2 31 所以 n 设平面CDE的法向量为 0 0 1 m 2 2 1 31 cos 4 2 14 31 m n 所以 化简得0123 2 解得 3 1 1 或 或或 或或 或或 或 所以存在点F 且PBPF 3 1 A B C D E P x y z 用心 爱心 专心10 解法二 因为EB 平面ABD ABBD 故以B为原点 建立如图所示的空间直角坐标系 B xyz 1 分 由已知可得 0 0 0 0 2 0 3 0 0 BAD 3 3 2 0 0 0 3 0 1 3 0 0 2 CEFM 3 0 3 3 2 0 2 EM AD 0 1 3 AF 2 分 设平面ADF的一个法向量是 x y zn 由 0 0 AD AF n n 得 32 3 x y 0 y z 0 令y 3 则 2 3 3 n 3 分 又因为 3 0 3 2 3 3 3 0 3 0 2 EM n 所以EMn 又EM 平面ADF 所以 EM平面ADF 4 分 押题 10 四棱锥P ABCD中 底面ABCD是边长为 2 的菱形 侧面PAD 底面 ABCD BCD 60 PA PD 2 E是BC中点 点Q在侧棱PC上 求证 AD PB 若Q是PC中点 求二面角E DQ C的余弦值 若 PQ PC 当PA 平面DEQ时 求 的值 押题指数 解析 取AD中点O 连结OP OB BD z C A FE B M D x y 用心 爱心 专心11 因为 PA PD 所以 PO AD 1 分 因为 菱形ABCD中 BCD 60 所以 AB BD 所以 BO AD 2 分 因为 BO PO O 3 分 所以 AD 平面POB 4 分 所以 AD PB 5 分 由 知BO AD PO AD 因为 侧面PAD 底面ABCD 且平面PAD 底面ABCD AD 所以PO 底面ABCD 6 分 以O为坐标原点 如图建立空间直角坐标系Oxyz 7 分 则 1 0 0 D 1 3 0 E 0 0 1 P 2 3 0 C 因为Q为PC中点 所以 3 1 1 22 Q 8 分所以 用心 爱心 专心12 0 3 0 DE 3 1 0 22 DQ 所以平面DEQ的法向量为 1 1 0 0 n 名校试题名校试题 1 如图 在六面体 1111 ABCDABC D 中 11 AACC 11 ABAD ABAD 求证 1 1 AABD 2 11 BBDD 试题出处 江苏省苏中三市 南通泰州扬州 2012 届高三 3 月第一次调研测试 数学 解析 1 取线段 BD的中点M 连结AM 1 AM 因为 11 ADAB ADAB 所以 BDAM 1 BDAM 3 分 又 1 AMAMM 1 AMAM 平面 1 A AM 所以BD 平 面 1 A AM 而 1 AA 平面 1 A AM 所以 1 AABD 7 分 2 因为 11 AACC 1 AA 平面 11 D DCC 1 CC 平面 11 D DCC 所以 1 AA平面 11 D DCC 9 分 又 1 AA 平面 11 A ADD 平面 11 A ADD 平面 111 D DCCDD 11 分 所以 11 AADD 同理得 11 AABB 所 用心 爱心 专心13 以 11 BBDD 14 分 2 在棱长为 的正方体 ABCD 中 E 为棱 AB 的中点 点 P 在平面 D P 平面 PCE 试求 线段 D P 的长 直线 DE 与平面 PCE 所成角的正弦值 试题出处 江苏省苏北四市 徐 淮 连 宿 高三 3 月联考试题 数 学 解析 建立如图所示的空间直角坐标系 则 1 0 0 2 D 2 1 0 E 0 2 0 C 设 2 P x y 则 1 0 D Px y 21 2 EPxy 2 1 0 EC 2 分因为 1 D P 平面PCE 所以 1 D PEP 1 D PEC 所以 1 0D P EP A 1 0D P EC A 故 2 1 0 20 x xy y xy 解得 0 0 x y 舍去 或 4 5 8 5 x y 4 分即 48 2 55 P 所以 1 48 0 55 D P 所以 1 16644 5 25255 D P 6 分 由 知 11 4 8 2 1 0 0 5 5 DED PD P 平面PEC 设DE与平面PEC所成角为 1 D P 与DE 所成 角为 则 1 1 16 4 5 sincos 580 5 25 D P DE D P DE 所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为 4 5 10 分 3 如图 在直三棱柱 111 ABCABC中 ACBC 且 1 2 ACBCCC M是 1 AB 1 AB的交点 N是 11 BC的中 点 求证 MN平面 1 ABC 求平面 1 AAB与平面 1 ABC夹角的大小 试题出处 2012 年咸阳市高三第二次模拟考试数学 理 试题 解析 以 C 为原点 分别以 CB 1 CC CA 为 x y z 轴建 立坐标系 则由 1 ACBCCC2 知 1 A0 2 2 1 B2 2 0 B 2 0 0 1 C0 2 0 M 1 1 1 N 1 2 0 1 A B2 2 2 CB2 0 0 MN0 1 1 3 分 1 A A B C 1 B 1 C M N 第 19 题 用心 爱心 专心14 又 1 MN A B022 1210 MN CB020 1010 MN 1 A B MN CB MN 平面 1 A BC 6 分 作 CH AB 于 H 点 平面 ABC 平面 11 ABB A CH 平面 1 A BA 故平面 1 A BA的一个法向量为 CH1 0 1 而平面 1 A BC的一个法向量为 MN0 1 1 9 分 CH MN1 11 cos CH MN 0 2222 CHMN 设为所求两平面的夹角 则 cos 又 故平面 11 AA BA BC与平面夹角的大小为 3 12 分 注 此题若学生用传统方法作 请酌情给分 4 如图 该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成 半圆柱体底面直径BC 4 AB AC BAC 90 D为半圆弧A1BC的中点 若异面直线BD和AB1所成角的大小为arccos 2 3 求 1 该几何体的体积 2 直线AD与平面ACC1A1所成角的大小 试题出处 2012 年上海五校联合教学调研数学试卷 理科 解析 连A1D 由题设知A1 D关于B1C对称 建立如图所示的空间 直角坐标系 设AA1 h 则A 0 0 0 B 0 22 0 B1 0 22 h D 22 22 h BD 22 0 h 1 AB 0 22 h 2 1 22 1 2 3 88 BD ABh BDAB hh 2h2 16 3h2 h 4 1 V 1 2 AB AC h 2 2 1 2 BC h 42222 2 1 2 1 24 2 16 8 2 AD 22 22 4 平面ACC1A1的法向量n 0 1 0 设直线AD与平面ACC1A1所成角为 则sin 2 21 2 4 2 AD n ADn 6 故直线AD与平面ACC1A1所成角的大小为 6 5 已知三棱锥PABC 的底面ABC是直角三角形 且 90ACB PA 平面ABC 1PAACBC D是线段PC的中点 如图所示 证明 AD 平面PBC 求平面PAC与平面ABD的夹角的余弦值 试题出处 陕西省西安市八校 2012 届高三年级数学 理科 试题 解析 证明 因为PAAC D是线段PC的中点 所以ADPC 1 因为BCAC BCPA 所以BC 平面PAC 可得BCAD 2 由 1 2 得AD 平面PBC 6 分 用心 爱心 专心15 解法一 以AP所在直线为z轴 AC所在直线x轴 过点A且与BC平行的直线为y轴 建立空间 直角坐标系 如图所示 7 分 则平面PAC的一个法向量为 1 0 1 0 n 设平面ABD的一个法向量为 2 nx y z 则有 2 0 nAD 且 2 0nAB 因为点 A D 的坐标分别是 0 0 0 和 11 0 22 所以AD 11 0 22 同样可得 1 1 0 AB 所以有0 xz 且0 xy 可得 2 1 1 1 n 10 分 所以 12 3 cos 3 n n 可知平面PAC与平面ABD的夹角的余弦值为 3 3 解法二 由 知CDAD BDAD 所以BDC 就是二面角CADB 的平面角 由于BC 平面PAC 所以BCD 是直角 所以tan BC BCD CD 而1BC 2 22 PC CD 所以tan2BDC 可得 3 cos 3 BDC 因为二面角CADB 是平面PAC与平面ABD所成四个二面角当中的一个 所以平面PAC与平面 ABD的夹角的余弦值为 3 3 6 如图 6 四棱柱 1111 DCBAABCD 的底面ABCD是平行四边 形 且1 AB 2 BC 0 60 ABC E为BC的中点 1 AA平面ABCD 证明 平面 AEA1平面DEA1 若EADE 1 试求异面直线AE与DA1所成角的余弦值 试题出处 广东省江门市 2012 年普通高中高三第一次模拟测试 数学 理科 解析 依题意 CDABBCECBE 2 1 1 分 所以ABE 是正三角形 0 60 AEB 又 000 30 120180 2 1 CED 3 分 所以 0 90 AED AEDE 4 分 因为 1 AA平面ABCD DE平面ABCD 所以DEAA 1 5 分 因为AAEAA 1 所以 DE平面AEA1 6 分 因为 DE平面DEA1 所以平面 AEA1平面DEA1 7 分 用心 爱心 专心16 取 1 BB的中点F 连接EF AF 8 分 连接CB1 则DACBEF 11 9 分 所以 AEF 是异面直线AE与DA1所成的角 10 分 因为3 DE 22 11 AEAAEA 所以 2 1 AA 2 2 BF 2 6 1 2 1 EFAF 所以 6 6 2 cos 222 EFAE AFEFAE AEF 方法二 以A为原点 过A且垂直于BC的直线为x轴 AD所在直线为y轴 1 AA所在直线为z建 立右手系空间直角坐标系 1 分 设aAA 1 0 a 则 0 0 0 A 0 2 0 D 0 0 1 aA 0 2 1 2 3 E3 分 设平面AEA1的一个法向量为 1 pnmn 则 0 0 2 1 2 3 11 1 apAAn nmAEn 4 分 0 p 取1 m 则3 n 从而 0 3 1 1 n 5 分 同理可得平面DEA1的一 个法向量为 2 1 3 2 a n 7 分 直接计算知0 21 nn 所以平面 AEA1平面DEA1 8 分 由EADE 1 即 22222 2 1 2 3 0 2 1 2 2 3 a 9 分 解得2 a 10 分 0 2 1 2 3 AE 11 分 2 2 0 1 DA 12 分 所以异面直线AE与DA1所成角的余弦值 6 6 cos 1 1 DAAE DAAE 14 分 注 由于给分板按方法一设置 即第 问 7 分 第 问 7 分 若学生按方法二答题 得分7 时 得分 记在第 问 得分7 的部分 记在第 问 7 如图 已知E F分别是正方形ABCD边BC CD的中点 EF与AC交于点O PA NC都 垂直于平面ABCD 且4PAAB 2NC M是线段PA上一动点 求证 平面PAC 平面NEF 若 PC平面MEF 试求 PM MA的值 当M是PA中点时 求二面角MEFN 的余弦 值 试题出处 北京市密云县 2012 年高中模拟试卷及答案 理数 解析 连结BD PA 平面ABCD BD 平面ABCD PABD 又 BDAC ACPAA BD 平面PAC 又 E F分别是BC CD的中点 EFBD EF 平面PAC 又EF 平面NEF 平面PAC 平面NEF 4 分 用心 爱心 专心17 建立如图所示的直角坐标系 则 0 0 4 P 4 4 0 C 4 2 0 E 2 4 0 F 4 4 4 PC 2 2 0 EF 设点M的坐标为 0 0 m 平面MEF的法向量为 nx y z 则 4 2 MEm 所以 0 0 n ME n EF 即 420 220 xymz xy 令1x 则1y 6 z m 故 6 1 1 n m PC平面 MEF 0PC n 即 24 440 m 解得3m 故3AM 即点M为线段PA上靠近P的四等分点 故 1 3PM MA 8 分 4 4 2 N 则 0 2 2 EN 设平面NEF的法向量为 mx y z 则 0 0 m EN m EF 即 220 220 yz xy 令1x 则1y 1z 即 1 1 1 m 当M是PA中点时 2m 则 1 1 3 n 1 1 333 cos 33311 m n 二面角MEFN 的余弦值为 33 33 14 分 8 三棱柱 111 CBAABC 的直观图及三视图 主视图和俯视图是正方形 左侧图是等腰直角三角形 如 图 D为AC的中点 1 求证 1 AB平面 1 BDC 2 求证 CA1平面 1 BDC 3 求二面角 1 ABCD 的正切值 试题出处 广东省韶关市 2012 届高三第一次调研考试数学 理 试题 解析 由三视图可知 几何体为直三棱柱ABC 111 CBA 侧面 CBCB 11 为边长为 2 的正方形 底面ABC是等腰直角三角形 2 BCABBCAB 分 1 连 BC 交CB1于 O 连接 OD 在 1 CAB 中 O D 分别是CB1 AC 的中点 1 ABOD 而 1 AB平面 1 BDC OD平面 1 BDC 1 AB 平 面 1 BDC 分 A B C D 1 A 1 A 1 A 1 A 1 B 1 C 1 A 用心 爱心 专心18 B 2 直三棱柱ABC 111 CBA中 1 AA平面ABC BD平面ABC BDAA 1 2 BCAB D 为 AC 的中点 ACBD BD平面CCAA 11 CABD 1 分 又BBBACBBA 1111111 1111111 BCBACBCBBA 平面 在正方形CBABACBCBBCCBCB 111111111 平面又中 CABCCBABCBBACB 111111111 平面 分 由 又 111 BDCBCBDBBCBD平面 11 BDCCA平面 9 3 解法一 提示 所求二面角与二面角 C 1 BC D 互 余 12 取 BC 中点 H 有 DH 平面 1 BCC 过 H 作 1 BC垂线 垂 足为 E 1 11 1 11 1 DHBC DHBCCBCEDH EHBC BCBCCDEEDH DHEHH DEBC 平面平面 平面平面 所以二面角 C 1 BC D 的平面角是 DEH 12 分 2 1tan2 2 DH DHEHDEH EH 因为二面角 A 1 BC D 与二面角 C 1 BC D 互余 所以二面角 A 1 BC D 的正切 值为 2 2 14 解法二 补形 如图补成正方体 易得 O1OS 为二面角的平面角 111 2 2 2 tan 2 OOO SOOS 14 解法三 空间向量法 以 1 B为原点建系 易得 1 2 2 0 1 0 1 CBBD 设平面 1 BCD 的法向量 1 nx y z 由 111 nCBnBD 用心 爱心 专心19 得 220 0 xy xz 令1x 得 1 1 1 1 n 12 又平面 1 BCA 的法向量 21 2 2 0 nBC 设二面角 A 1 BC D 的平面角为 所以 12 62 coscos tan 32 n n 14 9 如图 四边形ABCD是矩形 平面ABCD 平面BCE BE EC 1 求证 平面AEC 平面ABE 2 点F在BE上 若DE 平面ACF 求的值 BF BE 试题出处 南京市 2012 年届高三第二次模拟考试数学试卷 解析 1 证明 因为ABCD为矩形 所以AB BC 因为平面ABCD 平面BCE 平面ABCD 平面BCE BC AB 平面ABCD 所以AB 平面BCE 3 分因为CE 平面BCE 所以CE AB 因为CE BE AB 平面ABE BE 平面ABE AB BE B 所以CE 平面ABE 6 分因为CE 平面AEC 所以平面AEC 平面 ABE 8 分 2 连结BD交AC于点O 连结OF 因为DE 平面ACF DE 平面 BDE 平面ACF 平面BDE OF 所以DE OF 12 分又因为矩形ABCD中 O为BD中点 所以F为BE中点 即 14 分 BM BF 1 2 10 如图 在直角梯形ABCP中 AP BC AP AB AB BC 1 2 AP 2 D是AP的中点 E F G分别为 PC PD CB的中点 将 PCD沿CD折起 使得PD 平面ABCD 源 Zxxk Com 1 求证 平面PCD 平面PAD 2 求二面角G EF D的大小 3 求三棱椎D PAB的体积 试题出处 山东省济南市 2012 届高三 3 月 二模 月考数学 理 试题 19 解析 1 PD 平面ABCD PD CD 1 分 CD AD CD 平面PAD 2 分 CD 平面PCD 平面PCD 平面PAD 3 分 2 如图以D为原点 以 DA DC DP 为方向向量建立空间直角坐标系D xyz 则有关点及向量的坐标为 4 分G 1 2 0 E 0 1 1 F 0 0 1 用心 爱心 专心20 EF 0 1 0 EG 1 1 1 5 分 设平面EFG的法向量为n x y z 00 00 0 n EFyxz xyzy n EG A A 取 n 1 0 1 6 分 平面PCD的一个法向量 DA 1 0 0 7 分 cos 22 2 2 2 DA n DA n DAn A A 8 分 结合图知二面角G EF D的平面角为 45 9 分 1 3 D PABP DABABD VVS A APD 114 2 2 2 323 12 分 11 如图 在多面体ABCDEF 中 四边形ABCD为正 方形 EFAB EFEA 2ABEF 0 90AED AEED H为AD的中点 求证 EH平面FAC 求证 EH 平面ABCD 求二面角AFCB 的大小 试题出处 北京市门头沟区 2012 届高三年级 3 月抽样测 试数学 理工类 解析 ACBDO 连结HO FO 因为ABCD为正方形 所以O是AC中点 又H是AD中点 所以 1 2 OHCD OHCD 1 2 EFAB EFAB 所以 EFOH且EFOH 所 以四边形EHOF为平行四边形 所以 EHFO 又因为FO 平面FAC EH 平面 FAC 所以 EH平面FAC 4 分 证明 因为AEED H是AD的中点 所以EHAD 6 分 又因为 ABEF EFEA 所以ABEA 又因为ABAD 所以AB 平面AED 因为EH 平面AED 所以ABEH 8 分 所以EH 平面ABCD 9 分 AC BD OF两两垂直 建立如图所示的坐标 系 设1EF 则2AB 0 2 0 B 2 0 0 C 0 0 1 F 10 分 设平面BCF的法向量为 1 nx y z D C B A D1 A1 C1 B1 M N E D AB C F H y x A OH E D B C F z OH E D A B C F 用心 爱心 专心21 2 2 0 2 0 1 BCCF 11 0 0n BCn CF 所以 1 1 1 2 n 11 分平面 AFC的法向量为 2 0 1 0 n 12 分 12 12 12 1 cos 2 n n n n nn 13 分二面角AFCB 为锐 角 所以二面角AFCB 等于 3 14 分 12 如图所示 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1AB 2BC 1 5CC M为棱 1 CC上一点 若 1 3 2 C M 求异面直线 1 A M和 11 C D所成角的正切值 是否存在这样的点M使得BM 平面 11 AB M 若存在 求出 1 C M的长 若不存在 请说明理由 试题出处 2012 届上海市七校 数学试题 理科 13 如图 矩形 ABCD 所在的平面与平面 AEB 垂直 且120 4 2 BAEAEABAD F G H 分 别为 BE AE BC 的中点 1 求证 DE 平面 FGH 2 若点 P 在线段 GF 上 且二面角 D BP A 的大小为 4 试确定点 P 的位置 试题出处 河南 2011 2012 学年度高三年级第一次模拟考试数学试题 理 解析 取 AD 的中点 M 连接 MH MG G H F 分别是 AE BC EB 的中点 MH AB GF AB M 平面 FGH 又 MG DE 且 DE 平面 FGH MG 平面 FGH DE 平面 FGH 6 分 如图 在平面 ABE 内 过 A 作 AB 的垂线 记为 AQ 则 AQ 平面 ABCD 以 A 为原点 AQ AB AD 所 在的直线为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示空间直角坐标 系 7 分 则 A 0 0 0 B 0 4 0 D 0 0 2 G 3 1 0 F 3 1 0 P 3 0 用心 爱心 专心22 BD 0 4 2 BP 3 4 0 设平面 PBD 的一个法向量为 n1 x y 1 则 1 1 0 0 n BP n BD A A 3 4 0 420 xy y 1 2 3 4 6 y x 1 n 3 4 6 1 2 1 10 分 又平面 ABP 的一个法向量为 n2 0 0 2 11 分 cos n1 n2 12 12 n n nn A A 22 2 11 2 4 1 122 2 2 解得 1 或 7 舍去 点 P 与点 F 重合 12 分 解析 证明 根据三视图知 三棱柱 111 CBAABC 是直三棱柱 1 2ABBCAA 90ABC 连结 1 AC 交 1 AC于点O 连结OD 由 111 CBAABC 是直三棱柱 得 四边形 11 ACC A为矩形 O为 1 AC的中点 又D为BC中点 所以OD为 1 ABC 中位线 所以 1 AB OD 2 分 因为 OD 平面 1 ADC 1 AB 平面 1 ADC 所以 1 AB 平面 1 ADC 4 分 由 111 CBAABC 是直三棱柱 且90ABC 用心 爱心 专心23 故 1 BBBCBA两两垂直 如图建立空间直角坐标系xyzB 5 分 2 BA 则 0 0 1 1 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 DCACB 所以 1 2 0 AD 1 2 2 1 AC 设平面 1 ADC的法向量为 x y zn 则有 1 0 0 n AD n AC 所 以 20 220 xy xyz 取1 y 得 2 1 2 n 6 分易知平面ADC的法向量为 0 0 1 v 7 分由 二面角 1 CADC 是锐角 得 2 cos 3 n v n v n v 8 分所以二面角 1 CADC 的余弦值为 2 3 假设存在满足条件的点E 因为E在线段 11B A上 1 2 0 1 A 1 0 0 1 B 故可设 1 0 E 其中02 所以 0 2 1 AE 1 1 0 1 DC 9 分因为AE与 1 DC成60 角 所以 1 1 1 2 AE DC AE DC 10 分即 2 11 2 2 12 解得1 舍去3 11 分 所以当点E为线段 11B A中点时 AE与 1 DC成60 角 12 分 设CNx 则 2 2 MNx 从而在直角CEM 中有 2 2 2 ENxx 当且仅当 2 4 x 时 EN取得最大值 最大值为 2 4 此 时三棱锥 E BCD 的体积取到最大值 此时四棱锥 E ABCD 的高为 2 4 用心 爱心 专心24 16 如图 把长 宽分别为 4 3 的长方形ABCD沿对角线AC折成直二面角 求顶点B和D 之间的距离 现发现BC边上距点C的 3 1 处有一缺口E 请过点E作一截面 将原三棱锥分割 成一个三棱锥和一个棱台两部分 为使截去部分体积最小 如何作法 请证明你的结论 试题出处 江苏省南通市 2012 届高三数学模拟试题 解析 ACDOD ACDBO ACACDABC ABCBO 面 面 面面 面 面面 ACDABC O AC BO ABC BOOD 由已知 BO 5 12 OD 5 193 在 Rt BOD 中 BD 5 337 方案 一 过 E 作 EF AC 交 AB 于 F EG CD 交 BD 于 G A B C D E A C B E D A B C D E 用心 爱心 专心25 EEGEF ACD EG ACDEF ACDAC ACDEF ACEF 面 面 面 平面 EFG 平面 ACD 17 在直角梯形 ABCD 中 AD BC 222 2BCADAB 90ABC 如图 1 把ABD 沿 BD翻折 使得平面BCDABD平面 求证 CDAB 若点M为线段BC中点 求点M到平面ACD的距离 在线段BC上是否存在点 N 使得AN与平面ACD所成角为60 若存在 求出 BC BN 的值 若不存在 说明理由 试题出处 2012 年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学 解析 由已知条件可得2 2 BDCD BDCD 2 分 平面BCDABD平面 BDBCDABD 平面平面 BDACD平面 3 分 又 ABDAB平面 CDAB 4 分 法一 以点D为原点 BD所在的直线为x轴 DC所在的直线为y轴 建立空间直角坐标系 如 图 由已知可得 1 0 1 2 0 0 0 2 0 0 0 0 ABCD 1 1 0 M 用心 爱心 专心26 0 2 0 1 0 1 CDAD 6 分 设平面ACD的法向量为 zyxn 则nADnCD 0 0 y xz 令1x 得平面ACD的一个法向量为 1 0 1 n 点 M 到平面ACD的距离 2 2 n MC d MC 8 分 法三 点M为线段BC中点 点 M 到平面ACD的距离等于点 到平面ACD的距离的 2 1 6 分 由已知条件可得ADA B 由 知CDAB 又ADCDD CDABA平面 点 到平面ACD的距离等于线段AB的长 2 AB 设点 M 到平面ACD的距离等于 2 2 假设在线段BC上存在点 N 使得AN与平面ACD所成角为60 9 分 设 01BNBC 则 22 2 0 N 1 2 2 1 AN 又 平面ACD的法向量 1 0 1 n且直线AN与平面ACD所成角为60 03 sin60 2 AN n AN n A 11 分 可得0128 2 2 1 4 1 或 舍去 综上 在线段BC上存在点 N 使AN与平面 ACD所成角为60 此时 4 1 BC BN 13 分 用心 爱心 专心27 18 如图 四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是矩形 AB 2 2BC 且侧面 PAB 是正三角形 平面 PAB 平面 ABCD 1 求证 PDAC 2 在棱 PA 上是否存在一点 E 使得二面角 E BD A 的大小为45 若存在 试求 AE AP 的值 若不存在 请说明理由 试题出处 河北省 2012 年普通高考模拟考试数学试题 理 解析 取 AB 中点 H 则由 PA PB 得 PH AB 又平面 PAB 平面 ABCD 且平面 PAB 平面 ABCD AB 所以 PH 平面 ABCD 以 H 为原点 建立空间直角坐标系 H xyz 如图 则 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 3 ABDCP I 证明 1 2 3 2 2 0 P