量子力学基本概念及理解

量子力学基本理论及理解量子力学基本理论及理解 基本概念基本概念 概率波概率波 量子力学最基础的东西就是概率波了 但我认为对概率波究竟是什么样一 种 波 却并不是很容易理解的 这个问题直到理查德 费恩曼 而不是海森 伯或者伯恩 提出了单电子实验 才让我们很清楚的看到什么是概率波 有为 什么是概率波 什么是概率波 为什么是概率波 要回答这些问题 其实很简单 我们只需看下费恩曼的理想电子双缝干涉 实验 刚开始时理想实验 不过后来都已经过证明了 就行了 我相信大家都 会明白的 下面我们再看一下费恩曼给出了什么结果 1 单独开启缝 1 或者缝 2 都会得到强度分布或者符合衍射的图样 1 2 缝 1 和缝 2 都开启时得到强度符合干涉图样 12 2 由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样 即 12 1 2 3 每次让一个电子通过 长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电 子通过双缝完全相同的图案 4 每次得到的是 一个 电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须是概率波 并且我们也 很容易去除那些对概率波不对的理解 也就是所谓的向经典靠拢的理解 从而得到必须是概率波的事实 概率波从字面上来理解 也就是这种波表示的是一种概率分布 还是在双 缝干涉中我们看一下很简单的一些表现 若果是概率波的话 我们很关心的就 是这个粒子分布的具体形状 粒子位置的期望值等 在这里我们可以看出来波 函数经过归一化之后 就是说电子还是只有那一个电子 但是它的位置不确定 了 这才形成在一定的范围内的一个云状分布 你要计算某一个范围内的电荷 是多少 这样你会得到一个分数的电荷量 但这只能告诉你电子在你研究的范 围内分布的概率有多大 并不是说在这一范围内真正存在多少电子 关于以上的详细描述我想可以参看费恩曼物理学讲义卷三的第一章 或者 物理学刊十九期对量子力学中基本问题的说明与讨论第一小节 波方程波方程 我们有了波函数 也有了概率波解释 那么我们就该建立一个概率波所满 足的波方程了 这就是薛定谔建立波方程的最初考虑 今天我们看到波方程是 这样一种形式 很习以为常 但是实际上波一开始并不是如此 或者说这个看 似很简单的方程其实最早并不是那么容易发现的 从数学上来说 要构造一个 关于波函数满足的方程有很多种方法 但为什么是这样 其实这里有多方面的 考虑 首先 当时是相对论刚刚建立并且刚去的很好的验证被很多人接受的时代 那么薛定谔在找一种关系式时 很自然就考虑到用相对论的基本式子来作为出 发点 于是 他选了质能方程来作为出发点 然后得到这个 2 2 2 02 2 形式的方程 但他发现这个方程得到的结论并不能与实验完全一致 于是他放 弃了这个方程 进而选择了经典的表达式 这就是为什么薛定谔方程 2 2 会是个能量的方程 虽然从理论上我们可以用 任何一种算符得到任何一个量的本征方程来作为波方程 但我们还是习惯于用 这个最基本的本征方程 并且在这里还有一点 就是求定态波函数对时间的偏 微分的话 我们得到的是能量的本征值 这本身会使方程很简单 其次 在这里我们用了算符 这有两个原因 一是为了保证方程的普适性 由于这个方程里面不能有其他的特殊参量 所以方程里面除了 之外都是用由 等构成的算符表示的 其二就是所谓的不确定关系所决定的 不确 定关系告诉我们 并且波函数是位置和时间的函数 在量子力 4 学中我们很关心一个物理量的期望值 那也就是说我们在求动量的平均值时我 们不能直接用波函数来求 因为对应于一个确定的位置我们根本没法确 定一个确定的动量 或者说对于一个确定的动量来说 我们没办法得到一个确 定的位置 进而得不到一个确定的波函数 因此我们至少要把波函数变为 而这是一种表象变换 通过傅里叶变换也很容易得到动量平均值 而 在这个过程中会发现可以用称为动量算符的作用量作用于波函数 从而得到正 确的结果 这也就是算符的最初来源 因此 我们知道其实波方程的建立是很 多因素作用的结果 并不是说只能是这样 但这样一定是够基本够简单的 测量测量 测量问题一直是纠缠不清的基本问题 其实我们上面讨论得很好了 就是 说我们已经有了概率解释 对于测量我们确实是会影响到粒子的波函数的 也 就是所谓的 塌缩 如果我们承认我们 看 到了离子确实在某处 但既 然是概率波 那我们就不能确定在测量之前粒子在哪里了 当然这个问题争论 太多 我们还是很难回答 量子力学基本原理量子力学基本原理 不确定原理不确定原理 不确定原理的数学形式以及证明大家都很熟悉了 并且对于算符的对易或 者不对易本身就决定了算符是否正交 或者说是否相关 这也能说明为什么我 们可以找到一个简并体系的力学量完全集 从而得到完整的并且是互不相关的 波函数和波方程 因为算符正交 对波函数作用时互不影响 我们就可以得到 不同的算符的本征值 并且要注意的是 这里的不确定是真正意义上的不确定 而不是所谓的测不准 跟外界没有关系 体系本身就是如此 不同表象的波函 数很好的描述这些 两个不对易的算符所对应的不同本征函数也是相关的 这 就是不确定原理的本质 态叠加原理态叠加原理 就其本身来说 这是量子力学中遇到的一个很重要的基本原理 但是在我 们的书上被广义统计诠释替代了 我认为还是我们课本上说的比较好 因为狭 义的态叠加原理 这是我自己的称谓和定义 并不是真的有这种说法 我所谓 的狭义就是说参与叠加的都是可测量的本征函数 广义上指今仅存在于形式上 的东西 并没有实质内容 会使 x 的分布很特殊 而这种量子叠加态 本身是 一个量子态 却说是态叠加原理 这未免有些不合适 其实就是不同力学量的 分布 也可以说是不同表象的变换 很明显 我们不能把 x 给特殊化 虽然 我们知道 确实是对一个量子态的完整描述 有了我们可以通过 傅里叶变换得到任何我们想要的表象下的概率分布 也就可以得到任何我们想 要的力学量的概率分布了 可是这里有一个波函数随时间的分布 而不仅仅是 关于 x 的分布 所以我们能得到其他力学量的分布一点都不奇怪 可是即使如 此 我们也不能说关于 x 的分布有多特殊 所以我们说的广义统计诠释是对任 何一个力学量的分布都是适用的 这就不用再说什么叠加态了 而广义的叠加 态在理论上还是有用的 比如说他告诉我们波方程的任何两个解的线性叠加还 是方程的解 可是这一点很容易从线性方程的性质得到 所以这种称谓本身来 说并没有什么新东西 量子力学的不同理论体系量子力学的不同理论体系 一般来说可以归为三类 一是薛定谔的波动力学 二是海森伯的矩阵力学 三是费恩曼的路径积分 他们分别跟经典力学中的哈密顿力学的正则方程 泊 松括号 拉格朗日变分方程相对应 我们主要学了量子力学的薛定谔形式和海森伯形式 薛定谔方法我们很了解了 就是所谓的薛定谔方程 其实薛定谔方程是线 性方程 因为方程里所有的算符都是一些微分运算 所以波函数可以叠加 并 且我们可以通过一些方法使波函数正交归一 而一般分离谱定态波函数本身就 是正交的 而在连续情形下需要用到狄拉克正交归一化的方法来使波函数正交 归一 而通过傅里叶变换我们又能得到完备的波函数集合 这些都保证了量子 力学对一个系统描述的完备性 只有承认这些 我们才有可能对量子力学作进 一步的讨论 对薛定谔方程求解的话 一般过程是先求定态方程 得到能量本征值和本 征函数 然后再去做线性组合得到波函数 如果不能得到解析解的话 还有很 多近似方法 按照需要和情况可以选择合适的近似方法 矩阵力学可以看下 曾谨言量子力学的第 8 章 那里有很详细的幺正变换和矩阵力学形式 我们在证明和推导一些基本理论的时候最经常使用的是狄拉克符号的表示 方法 这是一种形式理论 利用希尔伯特空间的基矢以及一些运算法则 得到 一种简单实用的量子力学表述方法 这种方法可以说是对上述两种形式的量子 力学表述都有用的 狄拉克用右矢量表示矢量 左矢表示矢量的线性泛函 然 后又定义了算符 如果我们进行运算时消掉基矢 仅选择基矢前面的系数 这 就构成矩阵运算 如果我们选择基矢和系数的线性组合构成的波函数的话 我 们就得到波方程运算 然后这种共轭矢量的乘积运算方法再加上厄米变换和本 征波函数的正交归一化 我们就很容易在数学上进行运算了 比如说在求期望 时 我们只需要在运算的时候写出左矢量 算符和右矢量的内积形式就可以了 并且通过这种矢量的内积和正交归一性 我们可以消掉很多不必要的量 进而 使计算更简单清晰 如用这种方法得到久期方程 进而求解不同的本征值 再 回代得到本征值得概率密度分布 这在量子力学的矩阵方法中也是一种通用解 法 而一般的一个内积在薛定谔形式中往往是很复杂的积分加求和运算 因此 利用狄拉克符号和狄拉克规则来进行计算往往是很简单的 并且这也让量子力 学在我们这里变得更清晰 更容易理解量子力学是干什么的 量子体系随时间的演化量子体系随时间的演化 至于力学量随时间的演化的那一部分 我们需要知道艾伦费斯特关系来确 定 其中 A 是不显含时间的 分别在不同的图像中的话就形成不 1 同的演化方式 在薛定谔那里 态矢量随时间演化 而力学量不随时间演化 人们只需讨论力学量平均值和概率分布随时间的演化即可 相应的演化是含时 薛定谔方程 在海森伯图像中力学量要随时间演化 而态矢量不变 相应的演化有海森伯方程 而如果 A H 对易的 1 话 A 就是守恒量 我们可以证明量子力学的守恒量无论在什么态下平均值和概 率分布都不随时间改变 而在含时微扰那里我们充分利用了这一结论 在