08三角恒等变换及解三角形 (高三专题复习教案).doc

第八讲 三角恒等变换及解三角形知识结构一、三角恒等变换二、解三角形知识整理一、三角恒等变换1、 两角和与差的正弦、余弦、正切公式； ； ；（）；（）例题1 已知，求cos。分析：因为既可看成是看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。解法一：由已知sin+sin=1，cos+cos=0，22得 2+2cos； cos。22得 cos2+cos2+2cos（）=1，即2cos（）=1。解法二：由得由得得例题2 已知求。分析：由韦达定理可得到进而可以求出的值，再将所求值的三角函数式用tan表示便可知其值。解法一：由韦达定理得tan，所以tan解法二：由韦达定理得tan，所以tan，。2、 二倍角的正弦、余弦、正切公式例题1 化简下列各式：（1），（2）。 分析：（1）若注意到化简式是开平方根和2以及其范围不难找到解题的突破口；（2）由于分子是一个平方差，分母中的角，若注意到这两大特征，不难得到解题的切入点。解析：（1）因为，又因，所以，原式=。（2）原式= =。点评：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意三个角的内在联系的作用，是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，。例题2 若。分析：注意的两变换，就有以下的两种解法。解法一：由， 解法二：，点评：此题若将的左边展开成再求cosx，sinx的值，就很繁琐，把，并注意角的变换2运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如，等。3、半角公式 （后两个不用判断符号，更加好用）4、公式变形与常用角的代换（1） 公式变形升幂公式，降幂公式， Tips：“1”的变形： （2）常用角的代换5、万能公式 例题1 求sin220cos250sin20cos50的值。解析：原式（1cos40）（1cos100）（sin70sin30）1（cos100cos40）sin70sin70sin30sin70sin70sin70。点评：本题考查三角恒等式和运算能力。例题2 已知函数. （）求的定义域； （）设的第四象限的角，且，求的值。解析：（）由 得， 故在定义域为（）因为，且是第四象限的角, 所以a 故 。函数y=cos(x+) cos(x)+sin2x的值域是2,2,最小正周期是。6、辅助角公式（其中辅助角与点在同一象限，且）例题1 已知正实数a,b满足。分析：从方程 的观点考虑，如果给等式左边的分子、分母同时除以a，则已知等式可化为关于程，从而可求出由，若注意到等式左边的分子、分母都具有的结构，可考虑引入辅助角求解。解法一：由题设得 解法二：因为解法三：原式可变形为：点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式，或在历年高考中使用频率是相当高的，应加以关注；解法三利用了换元法，但实质上是综合了解法一和解法二的解法优点，所以解法三最佳。二、正弦定理和余弦定理1、 正弦定理及其变形， 两角和任意一边，求其它两边和一角； （唯一解） 两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）2、 余弦定理及其变形 已知三边，求三个角；（解唯一） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一） 两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解可能不唯一）考点一 正弦定理的应用例题1 (2010年高考山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_(2)满足A45，a2，c的ABC的个数为_考点二 余弦定理的应用例题2 在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b的值；(2)若sinB2sinA，求ABC的面积考点三 三角形形状的判定判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别例题3 (2010年高考辽宁卷)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状方法总结解三角形常见题型及求解方法(1)已知两角A、B与一边a，由ABC180及，可求出角C，再求出b，c.(2)已知两边b，c与其夹角A，由a2b2c22bccosA, 求出a，再由正弦定理，求出角B，C.(3)已知三边a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.(4)已知两边a、b及其中一边的对角A，由正弦定理求出另一边b的对角B，由C(AB)，求出C，再由，求出c，而通过求B时，可能出现一解，两解或无解的情况，其判断方法如下表：课后作业1在ABC中，a15，b10，A60，则cosB()AB. C D.2. 在ABC中，若cosA，cosB，则cosC的值是_3. 的值是_4在ABC中