六年级数学难题（练习题附答案）

六年级数学难题 练习题 附答案 例 1 只修改 970405 的某一个数字 就可使修改后的六位数能被 225 整除 修 改后的六位数是 安徽省 1997 年小学数学竞赛题 解 逆向思考 因为 225 25 9 且 25 和 9 互质 所以 只要修改后的数 能分别被 25 和 9 整除 这个数就能被 225 整除 我们来分别考察能被 25 和 9 整除的情形 由能被 25 整除的数的特征 末两位数能被 25 整除 知 修改后的六位数 的末两位数可能是 25 或 75 再据能被 9 整除的数的特征 各位上的数字之和能被 9 整除 检验 得 9 7 0 4 5 25 25 2 27 25 7 32 故知 修改后的六位数是 970425 7 在三位数中 个位 十位 百位都是一个数的平方的共有 个 答案 48 解 百位有 1 4 9 三种选择 十位 个位有 0 1 4 9 四种选择 满足 题意的三位数共有 3 4 4 48 个 12 已知三位数的各位数字之积等于 10 则这样的三位数的个数是 个 答案 6 解 因为 10 2 5 所以这些三位数只能由 1 2 5 组成 于是共有 6 个 12 下图中有五个三角形 每个小三角形中的三个数的和都等于 50 其中 A7 25 A1 A2 A3 A4 74 A9 A3 A5 A10 76 那么 A2 与 A5 的 和是多少 答案 25 解 有 A1 A2 A8 50 A9 A2 A3 50 A4 A3 A5 50 A10 A5 A6 50 A7 A8 A6 50 于是有 A1 A2 A8 A9 A2 A3 A4 A3 A5 A10 A5 A6 A7 A8 A6 250 即 A1 A2 A3 A4 A9 A3 A5 A10 A2 A5 2A6 2A8 A7 250 有 74 76 A2 A5 2 A6 A8 A7 250 而三角形 A6A7A8 中有 A6 A7 A8 50 其中 A7 25 所以 A6 A8 50 25 25 那么有 A2 A5 250 74 76 50 25 25 提示 上面的推导完全正确 但我们缺乏方向感和总体把握性 其实 我们看到这样的数阵 第一感觉是看到这里 5 个 50 并不表示 10 个数之 和 而是这 10 个数再加上内圈 5 个数的和 这一点是最明显的感觉 也是重 要的等量关系 再 看问题定方向 要求第 2 个数和第 5 个数的和 说明跟内圈另外三个数有关系 而其中第 6 个数和第 8 个数的和是 50 25 25 再看第 3 个数 在加两条直线第 1 2 3 4 个数和第 9 3 5 10 个数时 重复算到第 3 个数 好戏开演 74 76 50 25 第 2 个数 第 5 个数 50 5 所以 第 2 个数 第 5 个数 25 一 填空题 1 满足下式的填法共有 种 口口口口 口口口 口口 答案 4905 解 由右式知 本题相当于求两个两位数 a 与 b 之和不小于 100 的算式有多 少种 a 10 时 b 在 90 99 之间 有 10 种 a 11 时 b 在 89 99 之间 有 11 种 a 99 时 b 在 1 99 之间 有 99 种 共有 10 11 12 99 4905 种 提示 算式谜跟计数问题结合 本题是一例 数学模型的类比联想是解题关 键 4 在足球表面有五边形和六边形图案 见右上图 每个五边形与 5 个六边形相 连 每个六边形与 3 个五边形相连 那么五边形和六边形的最简整数比是 答案 3 5 解 设有 X 个五边形 每个五边形与 5 个六边形相连 这样应该有 5X 个六 边形 可是每个六边形与 3 个五边形相连 即每个六边形被数了 3 遍 所以六 边形有 个 二 解答题 1 小红到商店买一盒花球 一盒白球 两盒球的数量相等 花球原价是 2 元 钱 3 个 白球原价是 2 元钱 5 个 新年优惠 两种球的售价都是 4 元钱 8 个 结果小红少花了 5 元钱 那么 她一共买了多少个球 答案 150 个 解 用矩形图来分析 如图 容易得 解得 所以 2x 150 2 22 名家长 爸爸或妈妈 他们都不是老师 和老师陪同一些小学生参加某 次数学竞赛 已知家长比老师多 妈妈比爸爸多 女老师比妈妈多 2 人 至少 有一名男老师 那么在这 22 人中 共有爸爸多少人 答案 5 人 解 家长和老师共 22 人 家长比老师多 家长就不少于 12 人 老师不多于 10 人 妈妈和爸爸不少于 12 人 妈妈比爸爸多 妈妈不少于 7 人 女老师比 妈妈多 2 人 女老师不少于 7 2 9 人 女老师不少于 9 人 老师不多于 10 人 就得出男老师至多 1 人 但题中指出 至少有 1 名男老师 因此 男老师 是 1 人 女老师就不多于 9 人 前面已有结论 女老师不少于 9 人 因此 女 老师有 9 人 而妈妈有 7 人 那么爸爸人数是 22 9 1 7 5 人 在这 22 人中 爸爸有 5 人 提示 妙 本题多次运用最值问题思考方法 且巧借半差关系 得出不等式 的范围 正反结合讨论的方法也有体现 3 甲 乙 丙三人现在岁数的和是 113 岁 当甲的岁数是乙的岁数的一半时 丙是 38 岁 当乙的岁数是丙的岁数的一半时 甲是 17 岁 那么乙现在是多大 岁数 答案 32 岁 解 如图 设过 x 年 甲 17 岁 得 解得 x 10 某个时候 甲 17 10 7 岁 乙 7 2 14 岁 丙 38 岁 年龄和为 59 岁 所以到现在每人还要加上 113 59 3 18 岁 所以乙现在 14 18 32 岁 7 甲 乙两班的学生人数相等 各有一些学生参加数学选修课 甲班参加数学 选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的 1 3 乙班参加数学选修课的人数 恰好是甲班没有参加的人数的 1 4 那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加 的人数的几分之几 答案 解 设甲班没参加的是 4x 人 乙班没参加的是 3y 人 那么甲班参加的人数是 y 人 乙班参加的人数是 x 人 根据条件两班人数相等 所以 4x y 3y x 3x 2y x y 2 3 因此 4x 3y 8 9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的 另解 列一元一次方程 可假设两班人数都为 1 设甲班参加的为 x 则甲 班未参加的为 1 x 则乙班未参加的为 3x 则乙班参加的为 1 3x 可列 方程 1 x 4 1 3x 求 x 3 11 提示 方程演算 设而不求 量化思想都有了 这道题不错 目标班 名校真卷七 一 填空题 31 满足下式的填法共有 种 口口口口 口口口 口口 答案 4905 解 由右式知 本题相当于求两个两位数 a 与 b 之和不小于 100 的算式有多 少种 a 10 时 b 在 90 99 之间 有 10 种 a 11 时 b 在 89 99 之间 有 11 种 a 99 时 b 在 1 99 之间 有 99 种 共有 10 11 12 99 4905 种 提示 算式谜跟计数问题结合 本题是一例 数学模型的类比联想是解题关 键 34 在足球表面有五边形和六边形图案 见右上图 每个五边形与 5 个六边形相 连 每个六边形与 3 个五边形相连 那么五边形和六边形的最简整数比是 答案 3 5 解 设有 X 个五边形 每个五边形与 5 个六边形相连 这样应该有 5X 个六 边形 可是每个六边形与 3 个五边形相连 即每个六边形被数了 3 遍 所以六 边形有 个 36 用方格纸剪成面积是 4 的图形 其形状只能有以下七种 如果用其中的四种拼成一个面积是 16 的正方形 那么 这四种图形的编号和 的最大值是 答案 19 解 为了得到编号和的最大值 应先利用编号大的图形 于是 可以拼出 由 7 6 5 1 7 6 4 1 7 6 3 1 组成的面积是 16 的正方形 显然 编号和最大的是图 1 编号和为 7 6 5 1 19 再验证一下 并无其 它拼法 提示 注意从结果入手的思考方法 我们画出面积 16 的正方形 先涂上阴 影 6 7 再涂出 5 经过适当变换 可知 只能利用 1 了 而其它情况 用上 6 7 和 4 则只要考虑 3 5 这两种情况 是否可以 40 设上题答数是 a a 的个位数字是 b 七个圆内填入七个连续自然数 使每 两个相邻圆内的数之和等于连线上的已知数 那么写 A 的圆内应填入 答案 A 6 解 如图所示 B A 4 C B 3 所以 C A 1 D C 3 所以 D A 2 而 A D 14 所以 A 14 2 2 6 提示 本题要点在于推导隔一个圆的两个圆的差 从而得到最后的和差关系来解题 43 某个自然数被 187 除余 52 被 188 除也余 52 那么这个自然数被 22 除的 余数是 答案 8 解 这个自然数减去 52 后 就能被 187 和 188 整除 为了说明方便 这个 自然数减去 52 后所得的数用 M 表示 因 187 17 11 故 M 能被 11 整除 因 M 能被 188 整除 故 M 也能被 2 整除 所以 M 也能被 11 2 22 整除 原来的自然数是 M 52 因为 M 能被 22 整除 当考虑 M 52 被 22 除后的余 数时 只需要考虑 52 被 22 除后的余数 52 22 2 8 这个自然数被 22 除余 8 56 有一堆球 如果是 10 的倍数个 就平均分成 10 堆 并且拿走 9 堆 如果 不是 10 的倍数个 就添加几个球 不超过 9 个 使这堆球成为 10 的倍数个 然后将这些球平均分成 10 堆 并且拿走 9 堆 这个过程称为一次操作 如果 最初这堆球的个数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 9 8 9 9 连续进行操作 直至剩下 1 个球为止 那么共进行了 次操作 共添加了 个球 答案 189 次 802 个 解 这个数共有 189 位 每操作一次减少一位 操作 188 次后 剩下 2 再 操作一次 剩下 1 共操作 189 次 这个 189 位数的各个数位上的数字之和是 1 2 3 9 20 900 由操作的过程知道 添加的球数相当于将原来球数的每位数字都补成 9 再添 1 个球 所以共添球 1899 900 1 802 个 60 有一种最简真分数 它们的分子与分母的乘积都是 693 如果把所有这样的 分数从大到小排列 那么第二个分数是 答案 解 把 693 分解质因数 693 3 3 7 11 为了保证分子 分母不能约分 否则 约分后分子与分母之积就不是 693 相同质因数要么都在分子 要么都 在分母 并且分子应小于分母 分子从大到小排列是 11 9 7 1 68 在 1 2 1997 这 1997 个数中 选出一些数 使得这些数中的每两个 数的和都能被 22 整除 那么 这样的数最多能选出 个 答案 91 解 有两种选法 1 选出所有 22 的整数倍的数 即 22 22 2 22 3 22 90 1980 共 90 个数 2 选出所有 11 的奇数倍 的数 即 11 11 22 1 11 22 2 11 22 90 1991 共 91 个数 所 以 这样的数最多能选出 91 个 二 解答题 1 小红到商店买一盒花球 一盒白球 两盒球的数量相等 花球原价是 2 元 钱 3 个 白球原价是 2 元钱 5 个 新年优惠 两种球的售价都是 4 元钱 8 个 结果小红少花了 5 元钱 那么 她一共买了多少个球 答案 150 个 解 用矩形图来分析 如图 容易得 解得 所以 2x 150 2 22 名家长 爸爸或妈妈 他们都不是老师 和老师陪同一些小学生参加某 次数学竞赛 已知家长比老师多 妈妈比爸爸多 女老师比妈妈多 2 人 至少 有一名男老师 那么在这 22 人中 共有爸爸多少人 答案 5 人 解 家长和老师共 22 人 家长比老师多 家长就不少于 12 人 老师不多于 10 人 妈妈和爸爸不少于 12 人 妈妈比爸爸多 妈妈不少于 7 人 女老师比 妈妈多 2 人 女老师不少于 7 2 9 人 女老师不少于 9 人 老师不多于 10 人 就得出男老师至多 1 人 但题中指出 至少有 1 名男老师 因此 男老师 是 1 人 女老师就不多于 9 人 前面已有结论 女老师不少于 9 人 因此 女 老师有 9 人 而妈妈有 7 人 那么爸爸人数是 22 9 1 7 5 人 在这 22 人中 爸爸有 5 人 提示 妙 本题多次运用最值问题思考方法 且巧借半差关系 得出不等式 的范围 正反结合讨论的方法也有体现 3 甲 乙 丙三人现在岁数的和是 113 岁 当甲的岁数是乙的岁数的一半时 丙是 38 岁 当乙的岁数是丙的岁数的一半时 甲是 17 岁 那么乙现在是多大 岁数 答案 32 岁 解 如图 设过 x 年 甲 17 岁 得 解得 x 10 某个时候 甲 17 10 7 岁 乙 7 2 14 岁 丙 38 岁 年龄和为 59 岁 所以到现在每人还要加上 113 59 3 18 岁 所以乙现在 14 18 32 岁 11 甲 乙两班的学生人数相等 各有一些学生参加数学选修课 甲班参加数 学选修课的人数恰好是乙班没有参加的人数的 1 3 乙班参加数学选修课的人 数恰好是甲班没有参加的人数的 1 4 那么甲班没有参加的人数是乙班没有参 加的人数的几分之几 答案 解 设甲班没参加的是 4x 人 乙班没参加的是 3y 人 那么甲班参加的人数是 y 人 乙班参加的人数是 x 人 根据条件两班人数相等 所以 4x y 3y x 3x 2y x y 2 3 因此 4x 3y 8 9 故那么甲班没有参加的人数是乙班没有参加的人数的 另解 列一元一次方程 可假设两班人数都为 1 设甲班参加的为 x 则甲 班未参加的为 1 x 则乙班未参加的为 3x 则乙班参加的为 1 3x 可列 方程 1 x 4 1 3x 求 x 3 11 提示 方程演算 设而不求 量化思想都有了 这道题不错 2007 年重点中学入学试卷分析系列七 24 著名的数学家斯蒂芬 巴纳赫于 1945 年 8 月 31 日去世 他在世时的某年 的年龄恰好是该年份的算术平方根 该年的年份是他该年年龄的平方数 则他出 生的年份是 他去世时的年龄是 答案 1892 年 53 岁 解 首先找出在小于 1945 大于 1845 的完全平方数 有 1936 442 1849 432 显然只有 1936 符合实际 所以斯蒂芬 巴纳赫在 1936 年为 44 岁 那么他出生的年份为 1936 44 1892 年 他去世的年龄为 1945 1892 53 岁 提示 要点是 确定范围 另外要注意的 潜台词 年份与相应年龄对应 则有年份 年龄 出生年份 36 某小学即将开运动会 一共有十项比赛 每位同学可以任报两项 那么要 有 人报名参加运动会 才能保证有两名或两名以上的同学报名参加的 比赛项目相同 答案 46 解 十项比赛 每位同学可以任报两项 那么有 45 种不同的报名方 法 那么 由抽屉原理知为 45 1 46 人报名时满足题意 37 43 如图 ABCD 是矩形 BC 6cm AB 10cm AC 和 BD 是对角线 图中 的阴影部分以 CD 为轴旋转一周 则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘 米 3 14 答案 565 2 立方厘米 解 设三角形 BOC 以 CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是 S S 等于高 为 10 厘米 底面半径是 6 厘米的圆锥的体积减去 2 个高为 5 厘米 底面半径 是 3 厘米的圆锥的体积减去 2 个高为 5 厘米 底面半径是 3 厘米的圆锥的体积 即 S 62 10 2 32 5 90 2S 180 565 2 立方厘米 提示 S 也可以看做一个高为 5 厘米 上 下底面半径是 3 6 厘米的圆台的 体积减去一个高为 5 厘米 底面半径是 3 厘米的圆锥的体积 4 如图 点 B 是线段 AD 的中点 由 A B C D 四个点所构成的所有线段 的长度均为整数 若这些线段的长度的积为 10500 则线段 AB 的长度是 答案 5 解 由 A B C D 四个点所构成的线段有 AB AC AD BC BD 和 CD 由于点 B 是线段 AD 的中点 可以设线段 AB 和 BD 的长是 x AD 2x 因此在乘积中一定有 x3 对 10500 做质因数分解 10500 22 3 53 7 所以 x 5 AB BD AD 53 2 AC BC CD 2 3 7 所以 AC 7 BC 2 CD 3 AD 10 5 甲乙两地相距 60 公里 自行车和摩托车同时从甲地驶向乙地 摩托车比自行 车早到 4 小时 已知摩托车的速度是自行车的 3 倍 则摩托车的速度是 答案 30 公里 小时 解 记摩托车到达乙地所需时间为 1 则自行车所需时间为 3 有 4 小时 对应 3 1 2 所以摩托车到乙地所需时间为 4 2 2 小时 摩托车的速度 为 60 2 30 公里 小时 提示 这是最本质的行程中比例关系的应用 注意份数对应思想 6 一辆汽车把货物从城市运往山区 往返共用了 20 小时 去时所用时间是回 来的 1 5 倍 去时每小时比回来时慢 12 公里 这辆汽车往返共行驶了 公里 答案 576 解 记去时时间为 1 5 那么回来的时间为 1 所以回来时间为 20 1 5 1 8 小时 则去时时间为 1 5 8 12 小时 根据反比关系 往返时间比为 1 5 1 3 2 则往返速度为 2 3 按比例分配 知道去的速度为 12 3 2 2 24 千米 所以往返路程为 24 12 2 576 千米 7 有 70 个数排成一排 除两头两个数外 每个数的 3 倍恰好等于它两边两个 数之和 已知前两个数是 0 和 1 则最后一个数除以 6 的余数是 答案 4 解 显然我们只关系除以 6 的余数 有 0 1 3 2 3 1 0 5 3 3 5 0 1 3 有从第 1 数开始 每 12 个数对于 6 的余数一循环 因为 70 12 5 10 所以第 70 个数除以 6 的余数为循环中的第 10 个数 即 4 提示 找规律 原始数据的生成也是关键 细节决定成败 8 老师在黑板上写了一个自然数 第一个同学说 这个数是 2 的倍数 第二 个同学说 这个数是 3 的倍数 第三个同学说 这个数是 4 的倍数 第 十四个同学说 这个数是 15 的倍数 最后 老师说 在所有 14 个陈述中 只有两个连续的陈述是错误的 老师写出的最小的自然数是 答案 60060 解 2 3 4 5 6 7 的 2 倍是 4 6 8 10 12 14 如果这个数不是 2 3 4 5 6 7 的倍数 那么这个数也不是 4 6 8 10 12 14 的倍数 错误的陈述不是连续的 与题意不符 所以这个数是 2 3 4 5 6 7 的倍 数 由此推知 这个数也是 2 5 10 3 4 12 2 7 14 3 5 15 的倍数 在剩下的 8 9 11 13 中 只有 8 和 9 是连续的 所以 这个数不是 8 和 9 的倍数 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 的最小公倍数是 22 3 5 7 11 13 60060 16 小王和小李平时酷爱打牌 而且推理能力都很强 一天 他们和华教授围 着桌子打牌 华教授给他们出了道推理题 华教授从桌子上抽取了如下 18 张 扑克牌 红桃 A Q 4 黑桃 J 8 4 2 7 3 5 草花 K Q 9 4 6 lO 方块 A 9 华教授从这 18 张牌中挑出一张牌来 并把这张牌的点数告诉小王 把这 张牌的花色告诉小李 然后 华教授问小王和小李 你们能从已知的点数或花 色中推断出这张牌是什么牌吗 小王 我不知道这张牌 小李 我知道你不知道这张牌 小王 现在我知道这张牌了 小李 我也知道了 请问 这张牌是什么牌 答案 方块 9 解 小王知道这张牌的点数 小王说 我不知道这张牌 说明这张牌的点 数只能是 A Q 4 9 中的一个 因为其它的点数都只有一张牌 如果这张牌的点数不是 A Q 4 9 那么小王就知道这张牌了 因为 A Q 4 9 以外的点数全部在黑桃与草花中 如果这张牌是黑桃或草花 小 王就有可能知道这张牌 所以小李说 我知道你不知道这张牌 说明这张牌 的花色是红桃或方块 现在的问题集中在红桃和方块的 5 张牌上 因为小王知道这张牌的点数 小王说 现在我知道这张牌了 说明这张牌的 点数不是 A 否则小王还是判断不出是红桃 A 还是方块 A 因为小李知道这张牌的花色 小李说 我也知道了 说明这张牌是方块 9 否 则 花色是红桃的话 小李判断不出是红桃 Q 还是红桃 4 提示 在逻辑推理中 要注意一个命题真时指向一个结论 而其逆命题也是 明确的结论 10 从 1 到 100 的自然数中 每次取出 2 个数 要使它们的和大于 100 则共有 种取法 答案 2500 解 设选有 a b 两个数 且 a b 当 a 为 1 时 b 只能为 100 1 种取法 当 a 为 2 时 b 可以为 99 100 2 种取法 当 a 为 3 时 b 可以为 98 99 100 3 种取法 当 a 为 4 时 b 可以为 97 98 99 100 4 种取法 当 a 为 5 时 b 可以为 96 97 98 99 100 5 种取法 当 a 为 50 时 b 可以为 51 52 53 99 100 50 种取法 当 a 为 51 时 b 可以为 52 53 99 100 49 种取法 当 a 为 52 时 b 可以为 53 99 100 48 种取法 当 a 为 99 时 b 可以为 100 1 种取法 所以共有 1 2 3 4 5 49 50 49 48 2 1 502 2500 种取法 拓展 从 1 100 中 取两个不同的数 使其和是 9 的倍数 有多少种不同的 取法 解 从除以 9 的余数考虑 可知两个不同的数除以 9 的余数之和为 9 通过 计算 易知除以 9 余 1 的有 12 种 余数为 2 8 的为 11 种 余数为 0 的有 11 种 但其中有 11 个不满足题意 如 9 9 18 18 要减掉 11 而余数为 1 的是 12 种 多了 11 种 这样 可以看成 1 100 种 每个数都对应 11 种情 况 11 100 2 550 种 除以 2 是因为 1 8 和 8 1 是相同的情况 14 已知三位数的各位数字之积等于 10 则这样的三位数的个数是 个 答案 6 解 因为 10 2 5 所以这些三位数只能由 1 2 5 组成 于是共有 6 个 12 下图中有五个三角形 每个小三角形中的三个数的和都等于 50 其中 A7 25 A1 A2 A3 A4 74 A9 A3 A5 A10 76 那么 A2 与 A5 的 和是多少 答案 25 解 有 A1 A2 A8 50 A9 A2 A3 50 A4 A3 A5 50 A10 A5 A6 50 A7 A8 A6 50 于是有 A1 A2 A8 A9 A2 A3 A4 A3 A5 A10 A5 A6 A7 A8 A6 250 即 A1 A2 A3 A4 A9 A3 A5 A10 A2 A5 2A6 2A8 A7 250 有 74 76 A2 A5 2 A6 A8 A7 250 而三角形 A6A7A8 中有 A6 A7 A8 50 其中 A7 25 所以 A6 A8 50 25 25 那么有 A2 A5 250 74 76 50 25 25 提示 上面的推导完全正确 但我们缺乏方向感和总体把握性 其实 我们看到这样的数阵 第一感觉是看到这里 5 个 50 并不表示 10 个数之 和 而是这 10 个数再加上内圈 5 个数的和 这一点是最明显的感觉 也是重 要的等量关系 再 看问题定方向 要求第 2 个数和第 5 个数的和 说明跟内圈另外三个数有关系 而其中第 6 个数和第 8 个数的和是 50 25 25 再看第 3 个数 在加两条直线第 1 2 3 4 个数和第 9 3 5 10 个数时 重复算到第 3 个数 好戏开演 74 76 50 25 第 2 个数 第 5 个数 50 5 所以 第 2 个数 第 5 个数 25 13 下面有三组数 1 1 5 2 0 7 1 55 3 1 6 从每组数中取出一个数 把取出的三个数相乘 那么所有不同取法的三个数乘 积的和是多少 答案 720 铺垫 在一个 6 5 的方格中 最上面一行依次填写 0 1 3 5 7 9 在 最左一列依次