2012届高三数学一轮复习 第九章《立体几何》9-7精品练习

用心 爱心 专心 1 第第 9 9 章章 第第 7 7 节节 一 选择题 1 已知正方体ABCD A1B1C1D1中 E为侧面BCC1B1的中心 若 z x y 则 AE AA1 AB AD x y z的值为 A 1 B 3 2 C 2 D 3 4 答案 C 解析 AE AB BE AB 1 2AA1 1 2AD 2 将边长为 1 的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角 若点 P满足 则 2的值为 BP 1 2BA 1 2BC BD BP A B 2 3 2 C D 10 2 4 9 4 答案 D 解析 由题意 翻折后AC AB BC ABC 60 2 2 BP 1 2BA 1 2BC BD 2 2 2 2 1 1 cos60 1 4 BA 1 4 BC BD 1 2BA BC BC BD BA BD 1 4 1 4 1 2 1 cos45 1 cos45 22 9 4 3 2010 广西南宁二中模考 在正三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 AB 则AC1与平面 BB1C1C所成的角的正弦值为 A B 2 2 15 5 C D 6 4 6 3 答案 C 解析 解法一 取BC的中点D 在正三角形ABC中 AD BC 在正三棱柱中 CC1 平面ABC AD 平面ABC 用心 爱心 专心 2 CC1 AD AD 平面BCC1B1 AC1D为AC1与平面BB1C1C所成的角 设 AB AA1 1 则AD AC1 sin AC1D 故选 C 3 22 AD AC1 6 4 解法二 以线段BC的中点D为原点 直线BC AD分别为x轴 y轴建立空间直角坐标 系 如图 设AB 1 则A 0 0 C1 0 1 3 2 1 2 设AC1与平面BB1C1C所成角为 易知平面BB1C1C的一个法向量为 0 0 DA 3 2 又 1 AC1 1 2 3 2 sin cos 故选 C AC1 DA AC1 DA AC1 DA 6 4 4 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中 G为AA1的中点 则直线BD与平面GB1D1的 距离为 A B 3 3 2 6 3 C D 6 3 2 3 3 答案 B 分析 求直线与平面的距离 应有直线与平面平行 故可转化为点面距 为此找出平 面的一个法向量和该点与平面内一点连线的方向向量 即可通过向量的数量积来求 一般地 平面 的法向量为n n 平面内一点P和平面外一点Q 则Q到 的距离d n n PQ n n 解析 如图建立空间直角坐标系 则B 2 2 0 G 2 0 1 B1 2 2 2 D1 0 0 2 2 2 0 2 0 1 0 0 2 D1B1 D1G BB1 用心 爱心 专心 3 设平面GB1D1的法向量n n x y z 则 n n 0 n n 0 D1B1 D1G 2x 2y 0 2x z 0 即y x z 2x 令x 1 则n n 1 1 2 BD B1D1 BD 平面GB1D1 BD与平面GB1D1的距离为 d 故选 B BB1 n n n n 2 6 3 5 已知二面角 l 的大小为 120 点B C在棱l上 A D AB l CD l AB 2 BC 1 CD 3 则AD的长为 A B 1413 C 2 D 2 25 答案 D 解析 由条件知 2 1 3 60 AB BC CD AB BC BC CD AB CD AD AB BC CD 2 2 2 2 2 2 2 AD AB BC CD AB BC BC CD AB CD 4 1 9 2 2 3 cos60 20 2 AD 5 6 正四棱锥P ABCD的底面边长为 2 高为 3 E F分别为PC PD的中点 则异面直 线AC与EF的距离为 A B 1 2 3 2 C D 2 3 3 2 3 答案 B 分析 若能找到n n n n 0 n n 0 则d AC EF CF n n n n 解析 以正方形ABCD的中心为原点 与边BC CD垂直的直线分别为x轴 y轴 OP 为z轴建立空间直角坐标系 则由条件知 C 1 1 0 D 1 1 0 P 0 0 3 E F 1 1 0 1 0 0 设n n x y z 则 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 OC EF 用心 爱心 专心 4 n n 0 n n 0 x y 0 x 0 x y 0 OC EF 取n n 0 0 1 又 CF 3 2 1 2 3 2 d 故选 B n n CF n n 3 2 点评 只要向量n n与两条异面直线的方向向量垂直 不论两点M N分别是两异面直 线上的哪一点 都有d n n MN n n 7 2010 河南新乡市模考 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 O是底面 A1B1C1D1的中心 则点O到平面ABC1D1的距离为 A B 1 2 2 4 C D 2 2 3 2 答案 B 解析 以D为原点 DA DC DD1为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则 A 1 0 0 B 1 1 0 D1 0 0 1 C1 0 1 1 O 设平面ABCD的法向量 1 2 1 2 1 n n x y 1 则 Error Error Error n n 1 0 1 又 OD1 1 2 1 2 0 用心 爱心 专心 5 O到平面ABC1D1的距离d n n OD1 n n 1 2 2 2 4 点评 1 建立坐标系可以有不同的方案 如 以A为原点 直线AB AD AA1分别为x轴 y轴 z建立空间直角坐标系 则O A 0 0 0 B 1 0 0 D1 0 1 1 1 2 1 2 1 设平面ABC1D1的法向量n n x y 1 则 Error Error n n 0 1 1 O到平面ABC1D1的距离h AO n n n n 2 4 2 也可以不用空间向量求解 取B1C1的中点M 连结B1C交BC1于O 取O C1的中点N 连结MN 则MN BC1 又 在正方体ABCD A1B1C1D1中 OM平行于平面ABC1D1 则O到平面ABC1D1的距离转化为M到平 面ABC1D1的距离 即MN 故选 B 2 4 8 将正方形ABCD沿对角线BD折成一个 120 的二面角 点C到达点C1 这时异面直线 AD与BC1所成角的余弦值是 A B 3 4 3 4 C D 3 4 3 4 答案 D 解析 设正方形的边长为 1 AC与BD交于点O 当折成 120 的二面角时 AC12 2 2 2 cos120 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 又 AC1 AD DB BC1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 AC1 AD DB BC1 AD DB AD BC1 DB BC1 2 cos135 2 1 cos135 2 2 2 AD BC1 AD BC1 2 cos 2cos AD BC1 AD BC1 AD BC1 cos AD BC1 3 4 9 2010 陕西宝鸡 已知正四面体A BCD 设异面直线AB与CD所成的角为 侧棱 AB与底面BCD所成的角为 侧面ABC与底面BCD所成的角为 则 用心 爱心 专心 6 A B C D 答案 B 解析 如图 取底面BCD的中心为点O 连接AO BO 易知 ABO 取BC的中点E 连接AE OE 易知 AEO OB OE 0 故选 B 2 10 二面角的棱上有A B两点 直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内 且都 垂直于AB 已知AB 4 AC 6 BD 8 CD 2 则该二面角的大小为 17 A 150 B 45 C 60 D 120 答案 C 解析 由条件知 0 0 CA AB AB BD CD CA AB BD 2 2 2 2 2 2 2 62 42 82 2 6 8cos CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD CA BD 116 96cos 2 2 CA BD 17 cos CA BD 1 2 120 所以二面角的大小为 60 CA BD 二 填空题 11 2010 上海奉贤区调研 在正四面体ABCD中 E F分别是BC AD中点 则异面直 线AE与CF所成的角是 用反三角函数值表示 答案 arccos 2 3 解析 设正四面体的棱长为 1 a a b b c c 则 a a b b AB AC AD AE 1 2 c c b b a a b b c c 1 a a b b b b c c c c a a CF 1 2 1 2 用心 爱心 专心 7 a a b b c c b b AE CF 1 2 1 2 a a c c b b c c a a b b b b 2 1 4 1 4 1 2 1 2 1 2 2 a a 2 b b 2 2a a b b AE 1 4 3 4 2 c c 2 b b 2 b b c c CF 1 4 3 4 AE 3 2 CF 3 2 cos AE CF AE CF AE CF 2 3 因异面直线所成角是锐角或直角 AE与CF成角为 arccos 2 3 12 2010 江西九江一中 空间一条直线l1与一个正四棱柱的各个面所成的角都为 而另一条直线l2与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为 则 sin2 sin2 答案 1 解析 由正四棱柱的对称性知 若直线l1与各面成角都相等 则该直线一定经过或平 行于四棱柱的一条体对角线 l2也一样 于是取对角线BD1研究 则 BD1B1 BD1D sin2 sin2 sin2 cos2 1 13 2010 山东聊城联考 如图 以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕 把 ABD和 ACD折成互相垂直的两个平面后 某学生得出下列四个结论 0 BD AC 用心 爱心 专心 8 BAC 60 三棱锥D ABC是正三棱锥 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 其中正确的是 填序号 答案 解析 BD 平面ADC BD AC 错 AB AC BC 对 由Error 知 对 错 14 给出下列命题 直线l的方向向量为a a 1 1 2 直线m的方向向量为b b 2 1 则l与 1 2 m垂直 直线l的方向向量为a a 0 1 1 平面 的法向量为n n 1 1 1 则 l 平面 的法向量分别为n n1 0 1 3 n n2 1 0 2 则 平面 经过三点A 1 0 1 B 0 1 0 C 1 2 0 向量n n 1 u t 是平面 的法向量 则u t 1 其中真命题的序号是 答案 解析 a a b b 1 1 2 2 1 0 1 2 a a b b l m 故 真 a a n n 0 1 1 1 1 1 0 a a n n l 或l 故 假 n n1与n n2不平行 与 不平行 假 1 1 1 2 2 1 AB AC 由条件n n n n AB AC Error 即Error Error u t 1 三 解答题 15 2010 温州中学模拟 如图 在底面是矩形的四棱锥 P ABCD中 PA 平面ABCD PA AB 2 BC 4 E是PD的中 点 1 求证 平面PDC 平面PAD 2 求点B到平面PCD的距离 用心 爱心 专心 9 2 方法 1 过A作AF PD 垂足为F 在 RtPAD中 PA 2 AD BC 4 PD 2 42 225 AF PD PA AD AF 2 4 2 5 4 5 5 即点B到平面PCD的距离为 4 5 5 方法 2 如图 以A为原点 AD AB AP所在的直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间 直角坐标系A xyz 则依题意可知A 0 0 0 B 0 2 0 C 4 2 0 D 4 0 0 P 0 0 2 4 0 2 0 2 0 4 0 0 PD CD BC 设面PCD的一个法向量为n n x y z 则 Error Error Error 所以面PCD的一个单位法向量为 n n n n 5 5 0 2 5 5 所以 4 0 0 0 则点B到面PCD的距离为 BC n n n n 5 5 2 5 5 4 5 5 4 5 5 3 方法 1 过C作CH AE 垂足为H 连接DH 由 1 可知CD 面PAD 用心 爱心 专心 10 Error AE DH Error CHD为二面角C AE D的平面角 在 Rt ADH中 DH AD sin DAH 4 5 5 4 5 5 在 Rt CDH中 CH2 CD2 DH2 CH 6 5 5 所以 cos CHD DH CH 4 5 5 6 5 5 2 3 方法 2 建立空间直角坐标系同 2 的方法 2 则依题意可知A 0 0 0 C 4 2 0 D 4 0 0 P 0 0 2 E 2 0 1 易知面ADE的一个法向量为n n1 0 1 0 设面ACE的一个法向量为n n2 x y 1 又 2 0 1 4 2 0 AE AC 则Error Error Error 所以平面ACE的一个法向量为n n2 1 1 1 2 设二面角C AE D的平面角为 则 cos n n1 n n2 n n1 n n2 1 2 0 1 1 1 0 1 2 2 12 12 02 12 02 2 3 结合图形可知二面角C AE D的余弦值为 2 3 16 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD为矩形 侧棱PA 底面 ABCD AB BC 1 PA 2 E为PD的中点 3 1 求直线AC与PB所成角的余弦值 2 在侧面PAB内找一点N 使NE 平面PAC 并求出点N到AB和AP的距离 解析 1 分别以AB AD AP为x轴 y轴 z轴建立如图所示的空间直角坐标系 则A B C D P E的坐标为A 0 0 0 B 0 0 C 1 0 D 0 1 0 P 0 0 2 33 E 0 1 从而 1 0 0 2 1 2 AC 3 PB 3 用心 爱心 专心 11 设与的夹角为 AC PB 则 cos AC PB AC PB 3 2 7 3 7 14 AC与PB所成角的余弦值为 3 7 14 2 由于N点在侧面PAB内 故可设N点坐标为 x 0 z 则 x 1 z 由 NE 1 2 NE 平面PAC可得 Error 即Error 化简得Error Error 即N点的坐标为 0 1 3 6 从而N点到AB和AP的距离分别为 1 3 6 17 直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD是等腰梯形 AB DC AB 2AD 2DC 2 E为BD1的中点 F为AB中点 1 求证EF 平面ADD1A1 2 若BB1 求A1F与平面DEF所成角的大小 2 2 解析 1 证明 连结AD1 在 ABD1中 E是BD1的中点 F是BA中点 EF綊AD1 1 2 又EF 平面ADD1A1 AD1 平面ADD1A1 EF 平面ADD1A1 用心 爱心 专心 12 2 解法 1 延长D1A1至H 使A1H D1A1 延长DA至G 使AG DA 并连结HG和A1G 则A1G D1A EF A1G 平面DEF A1到平面DEF的距离等于G到平面DEF的距离 设为x 由题意可得 DF BC AD 1 连DB 在 Rt