浅淡“鸡兔同笼”问题的解法

浅淡浅淡 鸡兔同笼鸡兔同笼 问题的解法问题的解法 铜仁市南长城小学 余廷芬 鸡兔同笼是我国古代著名数学趣题之一 也是现在小学阶段中一 类经典的题型 大约在1500年前 孙子算经 中就记载了这个有趣的 问题 书中是这样叙述的 今有雉兔同笼 上有三十五头 下有九 十四足 问雉兔各几何 这四句话的意思是 有若干只鸡兔同在一 个笼子里 从上面数 有35个头 从下面数 有94只脚 问笼中各有 几只鸡和兔 对于这个经典的古代趣题 从解题的角度而言 可以有一系列的 方法 如 画图法 列表法 假设法 方程法等 与此同时 这个问 题也蕴含着丰富的数学思想 化归 枚举 数形结合 假设 方程等 这些数学思想方法和具体的解题方法之间亦存在着一定的对应关系 比如 枚举和列表法 数形结合和画图法 方程和方程法 在多年的 教学实践中 许许多多的教师们面对鸡兔同笼这一问题 都给予了多 元化的诠释 我在教学中引导学生运用以下方法巧妙地解决了 鸡兔 同笼 问题 一 理解问题由难到易一 理解问题由难到易 引导学生从 孙子算经 中的原题 笼子里有若干只鸡和兔 从上面数 有35个头 从下面数 有94只脚 鸡和兔各有几只 转 化成了例题1 笼子里有若干只鸡和兔 从上面数 有8个头 从下 面数 有26只脚 鸡和兔各有几只 在同样的 鸡兔同笼 问题中 由于数量由大到小的变化 为学生分析和解决问题提供了方便 二 解题方法二 解题方法 一 猜测法 让学生先根据例题中的 从上面数 有8个头 大胆猜测 鸡和 兔各有几只 再根据 从下面数 有26只脚 来小心求证 在猜想 不正确的情况下 学生逐步感受到 如果总脚数猜多了 就要多猜鸡 少猜兔的只数 如果总脚数猜少了 要多猜兔少猜鸡的只数 也正是 在这样的过程中 学生参与探究的热情更高了 开展探究的勇气更大 了 解决问题的思路更明了 二 列表法 引导学生把各种猜想的结果有序填写到六年级数学上册教材113页 的表格之中 见下表 即为全部猜想的有序列举 鸡 876543210 兔 012345678 脚 161820222426283032 从表中不难看出 鸡3只 兔5只 就是满足问题要求的答案 观 察表中数据的变化规律 还可发现 当鸡的只数每减少1只 兔的只 数每增加1只 脚的只数就会增加2只 列表法虽然也可以解决问题 但当数据较大时过程颇为繁琐 三 画图凑数法 使用转化的数学思想方法 将大数目的 鸡兔同笼 问题转变成 小数目的 鸡兔同笼 问题后 使得用画出直观图的思想方法来解决 这一问题成为可能 用 O 表示头 用 1 表示脚 先给每个头下面 画两只脚 再把剩下的脚从左到右给每个头下再添两只 最后分别数出 有4脚 兔 和2脚 鸡 的只数 四 假设法 假设法 是一种算术方法 它有其独特的特点 是一个假设 计算 推理 解答的过程 在教学中引导学生假想 如果笼子 里都是鸡 那么就有8 2 16只脚 这样就多出26 16 10只脚 一 只兔比一只鸡多2只脚 也就是有10 2 5只兔 所以笼子里有3只鸡 5只兔 学生顺势指出 还可以这样想 如果笼子里都是兔 那么就有 8 4 32只脚 这样就少出32 26 6只脚 一只鸡比一只兔少2只脚 也就是有6 2 3只鸡 所以笼子里有3只鸡 5只兔 实际上 假设法 可以有很多巧妙的思路 阅读资料 中介绍的 抬腿法 也是其中之一 这类方法有助于培养学生的逻辑思维能力 五 列方程法 列方程则是一种代数解法 通过假设鸡或兔任何一个量为x 然后 根据只数与脚数之间的数量关系列出方程并求解即可 即 设有x只兔 那么就有 8 x 只鸡 鸡兔共有26只脚 就是 4x 2 8 x 26 x 5 8 5 3 即兔有5只 鸡有3只 这种解决问题的思想方 法直接 简单 可化难为易 特别是在解决比较复杂的数学问题时用 代数的思想方法就更容易 六 估算法 因为26 2 13 只 让鸡兔的脚各减一半 使鸡剩下一只脚 兔子 剩下2只脚 13 8 5只 兔 因为在这种情况下 鸡头与鸡脚抵消 所得 的差是兔的头数与脚数相差所得的脚数 这些脚数正好与兔的头数相等 进 而找出鸡的只数 8 5 3 只 这样的思路清晰而又新颖有趣 学生兴 趣盎然 鸡兔同笼 问题的钻研 在课堂上激发了学生的学习兴趣 更展 示了新教材的魅力 增强了学