2006年高考数学试卷(山东卷.理)含详解

绝密 启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 理科数学 必修 选修 II 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第 I 卷 1 至 2 页 第 II 卷 3 至 10 页 满分 150 分 考试用时 120 分钟 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 I 卷 共 60 分 注意事项 1 答第 I 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡上 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮檫干净后 再选其 他答案标号 不能答在试题卷上 参考公式 如果事件 A B 互斥 那么 P A B P A P B 如果事件 A B 相互独立 P A B P A P B 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 选择一个符合题目要 求的选项 1 定义集合运算 A B z z xy x y z A y B 设集合 A 0 1 B 2 3 则集合 A B 的所有元素之和为 A 0 B 6 C 12 D 18 2 函数 y 1 ax 0 a2 的解集为 2 1 log 2 2 2 1 xx xt t x A 1 2 3 B 10 C 1 2 D 1 2 10 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c A a b 1 则 c 3 3 A 1 B 2 C 1 D 33 5 设向量 a 1 2 b 1 1 c 1 2 若表示向量 4a 4b 2c 2 a c d 的有向线段首尾相连能构成四边 形 则向量 d 为 A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 6 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 则 f 6 的值为 A 1 B 0 C 1 D 2 7 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 焦点到相应准线的距离为 1 则该椭圆的离心率2 为 A B C D 2 2 2 2 1 4 2 8 设 p x x 20 0 q 0 0 0 函数 且 y f x 的最大值为 2 其图象相邻两对称轴的距 x 2 离为 2 并过点 1 2 1 求 2 计算 f 1 f 2 f 2 008 得分评卷人 18 本小题满分 12 分 设函数 f x ax a 1 ln x 1 其中 a 1 求 f x 的单调区间 得分评卷人 19 本小题满分 12 分 如图 ABC A1B1C1 已知平面平行于三棱锥 V A1B1C1的底面 ABC 等边 AB1C 所在的平面与底面 ABC 垂直 且ABC 90 设 AC 2a BC a 1 求证直线 B1C1是异面直线与 A1C1的公垂线 2 求点 A 到平面 VBC 的距离 3 求二面角 A VB C 的大小 19 题图 得分评卷人 20 本小题满分 12 分 袋中装着标有数学 1 2 3 4 5 的小球各 2 个 从袋中任取 3 个小球 按 3 个小球上最大数字的 9 倍计 分 每个小球被取出的可能性都相等 用表示取出的 3 个小球上的最大数字 求 1 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率 2 随机变量的概率分布和数学期望 3 计分介于 20 分到 40 分之间的概率 得分评卷人 21 本小题满分 12 分 双曲线 C 与椭圆有相同的热点 直线 y 为 C 的一条渐近线 1 48 22 yx x3 1 求双曲线 C 的方程 2 过点 P 0 4 的直线 l 求双曲线 C 于 A B 两点 交 x 轴于 Q 点 Q 点与 C 的顶点不重合 当 PQ 且时 求 Q 点的坐标 1 QBQA 2 3 8 21 得分评卷人 22 本小题满分 14 分 已知 a1 2 点 an an 1 在函数 f x x2 2x 的图象上 其中 1 2 3 1 证明数列 lg 1 an 是等比数列 2 设 Tn 1 a1 1 a2 1 an 求 Tn及数列 an 的通项 3 记 bn 求 bn 数列的前项和 Sn 并证明 Sn 1 2 11 nn aa13 2 n T 参考答案参考答案 1 12 DACBD BBAAD CC 13 2 14 32 15 16 4 5 3 3 4 4 1 定义集合运算 A B z z xy x y x A y B 设集合 A 0 1 B 2 3 则集合 A B 的所有元素之和为 D A 0 B 6 C 12 D 18 解 当 x 0 时 z 0 当 x 1 y 2 时 z 6 当 x 1 y 3 时 z 12 故所有元素之和为 18 选 D 2 函数 y 1 ax 0 a 1 的反函数的图象大致是 A A B C D 解 函数 y 1 ax 0 a2 的解集为 C 1 2 3 2 2 log 1 2 x ex xx A 1 2 3 B 10 C 1 2 D 1 2 10 解 令 2 x 2 解得 1 x 2 令 2 x 2 解得 x 1 2 x e 2 3 log 1 x 10 选 C 4 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c A a b 1 则 c B 3 3 B 1 B 2 C 1 D 33 解 由正弦定理可得 sinB 又 a b 所以 A B 故 B 30 所以 C 90 故 c 2 选 B 1 2 5 设向量 a 1 3 b 2 4 c 1 2 若表示向量 4a 4b 2c 2 a c d 的有向线段首尾相连能构成四 边形 则向量 d 为 D A 2 6 B 2 6 C 2 6 D 2 6 解 设 d x y 因为 4a 4 12 4b 2c 6 20 2 a c 4 2 依题意 有 4a 4b 2c 2 a c d 0 解得 x 2 y 6 选 D 6 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 2 f x 则 f 6 的值为 B A 1 B 0 C 1 D 2 解 因为 f x 是定义在 R 上的奇函数 所以 f 0 0 又 f x 4 f x 2 f x 故函数 f x 的周期为 4 所以 f 6 f 2 f 0 0 选 C 7 在给定椭圆中 过焦点且垂直于长轴的弦长为 焦点到相应准线的距离为 1 则该椭圆的离心率2 为 B A B C D 2 2 2 2 1 4 2 解 不妨设椭圆方程为 a b 0 则有 据此求出 e 选 B 22 22 1 xy ab 22 2 21 ba c ac 且 2 2 8 设 p x x 20 0 q 0 x 5 或 x 4 q 0 x 2 或 1 x 1 或 x 2 借助图形知选 A 2 2 1 2 x x 9 已知集合 A 5 B 1 2 C 1 3 4 从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的 坐标 则确定的不同点的个数为 A A 33 B 34 C 35 D 36 解 不考虑限定条件确定的不同点的个数为 36 但集合 B C 中有相同元素 1 由 5 1 1 三个 113 233 C C A 数确定的不同点的个数只有三个 故所求的个数为 36 3 33 个 选 A 10 已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为 其中 1 则展开式中常数项是 2 n i x x 14 3 2 i A A 45i B 45i C 45 D 45 解 第三项的系数为 第五项的系数为 由第三项与第五项的系数之比为 可得 n 10 2 n C 4 n C 14 3 则 令 40 5r 0 解得 r 8 故所求的常数项为 2 10 110 rrr r i TCx x 40 5 2 10 r rr i C x 45 选 A 88 10 i C 11 某公司招收男职员 x 名 女职员 y 名 x 和 y 须满足约束条件则 z 10 x 10y 的最大 112 932 22115 x yx yx 值是 C A 80 B 85 C 90 D 95 解 画出可行域 易得 A 5 5 4 5 且当直线 z 10 x 10y 过 A 点时 z 取得最大值 此时 z 90 选 C x y 2x 3y 9 2x 11 5x 11y 22 C B A O 12 如图 在等腰梯形 ABCD 中 AB 2DC 2 DAB 60 E 为 AB 的中点 将 ADE 与 BEC 分别沿 ED EC 向上折起 使 A B 重合于点 P 则 P DCE 三棱锥的外接球的体积为 C A B C D 27 34 2 6 8 6 24 6 12 题图 解 易证所得三棱锥为正四面体 它的棱长为 1 故外接球半径为 外接球的体积为 6 4 选 C 3 466 348 绝密 启用前 2006 年普通高等学校招生全国统一考试 山东卷 理科数学 必修 选修 II 注意事项 1 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚 得分评卷人 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 16 分分 答案须填在题中横线上答案须填在题中横线上 13 若 2 1 lim1 n a nnan 则常数 解 P E D C O 11 limlimlim 11 1 212 nnn nana annnana n a a 14 已知抛物线 y2 4x 过点 P 4 0 的直线与抛物线相交于 A x1 y1 B x2 y2 两点 则的最小值是 22 12 yy 32 解 显然 0 又 4 8 当且仅当时取等号 所以所求的值为 12 x x 22 12 yy 12 xx 12 x x 12 4xx 32 15 如图 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都相等 D 是 A1C1的 中点 则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 15 题图 解 易证 B1 平面 AC1 过 A 点作 AG CD 则 AG 平面 B1DC 于是 ADG 即 ADC 为直线 AD 与平面 B1DC 所成角 由平面几何知识可求得它的正弦值 为 4 5 16 下列四个命题中 真命题的序号有 写出所有真命题的序号 将函数 y 的图象按向量 y 1 0 平移 得到的图象对应的函数表达式为 y 1 xx 圆 x2 y2 4x 2y 1 0 与直线 y 相交 所得弦长为 2x 2 1 若 sin sin 则 tancot 5 2 1 3 1 如图 已知正方体 ABCD A1B1C1D1 P 为底面 ABCD 内一动点 P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的距离相等 则 P 点的轨迹是抛物线的一部分 解 错误 得到的图象对应的函数表达式应为 y x 2 错误 圆心坐标为 2 1 到直线 y 的距离为x 2 1 半径 2 故圆与直线相离 4 5 5 正确 sin sincos cossin 2 1 sin sincos cossin 3 1 两式相加 得 2 sincos 5 6 两式相减 得 2 cossin 故将上两式相除 即得 tancot 5 1 6 正确 点 P 到平面 AD1的距离就是点 P 到直线 AD 的距离 A1B1 C1 D A C B G 点 P 到直线 CC1就是点 P 到点 C 的距离 由抛物线的定义 可知点 P 的轨迹是抛物线 16 题图 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知函数 且的最大值为 2 其图象相邻两对称 2 sin 0 0 0 2 f xAxA yf x 轴间的距离为 2 并过点 1 2 I 求 II 计算 1 2 2008 fff 解 I 2 sin cos 22 22 AA yAxx 的最大值为 2 yf x 0A 2 2 22 AA A 又其图象相邻两对称轴间的距离为 2 0 1 2 2 2 24 22 cos 2 1 cos 2 2222 f xxx 过点 yf x 1 2 cos 2 1 2 22 2 kkZ 22 2 kkZ 4 kkZ 又 0 2 4 II 解法一 4 1 cos 1 sin 222 yxx 1 2 3 4 2 1 0 14ffff 又的周期为 4 yf x 20084 502 A B C A1 V B1 C1 1 2 2008 4 5022008 fff 解法二 2 2sin 4 f xx 22 3 1 3 2sin 2sin 2 44 ff 22 2 4 2sin 2sin 2 2 ff 1 2 3 4 4 ffff 又的周期为 4 yf x 20084 502 1 2 2008 4 5022008 fff 18 本小题满分 12 分 设函数 其中 求的单调区间 1 ln 1 f xaxax 1a f x 解 由已知得函数的定义域为 且 f x 1 1 1 1 ax fxa x 1 当时 函数在上单调递减 10a 0 fx f x 1 2 当时 由解得0a 0 fx 1 x a 随的变化情况如下表 fx f xx x 1 1 a 1 a 1 a fx 0 f x A 极小值A 从上表可知 当时 函数在上单调递减 1 1 x a 0 fx f x 1 1 a 当时 函数在上单调递增 1 x a 0 fx f x 1 a 综上所述 当时 函数在上单调递减 10a f x 1 当时 函数在上单调递减 函数在0a f x 1 1 a f x上 1 a 单调递增 19 本小题满分 12 分 如图 已知平面平行于三棱锥的底面 111 A BCVABC ABC 等边 所在的平面与底面 ABC 垂直 且 ACB 90 设 1 ABC2 ACa BCa 1 求证直线是异面直线与的公垂线 11 BC 1 AB 11 AC 2 求点 A 到平面 VBC 的距离 3 求二面角的大小 AVBC 解法 1 证明 平面 平面 111 ABCABC 1111 BCBC ACAC BCAC 1111 BCAC 又 平面 平面 平面 平面 1 ABCABC 1 ABCABCAC 平面 BC 1 ABC 1 BCAB 111 BCAB 又 11111 ACBCC 1111 BCABB 为与的公垂线 11 BC 1 AB 11 AC 解法 1 过 A 作于 D 1 ADBC 为正三角形 1 ABC D 为的中点 1 BC BC 平面 1 ABC BCAD 又 1 BCBCC AD 平面 VBC 线段 AD 的长即为点 A 到平面的距离 VBC 在正 中 1 ABC 33 23 22 ADACaa 点 A 到平面的距离为 VBC3a 解法 2 取 AC 中点 O 连结 则 平面 且 1 BO 1 BOABC 1 BO3a 由 知 设 A 到平面的距离为 x 1 BCBC VBC 11 BABCA BB C VV 即 解得 11 1111 3232 BC AC BOBC BC x 3xa 即 A 到平面的距离为 VBC3a 则 11 cos dABAB n 1 1 1 cos AB n AB ABn 2 3 3 2 a a 所以 到平面的距离为 AVBC3a III 过点作于 连 由三重线定理知DDHVB HAHAHVB 是二面角的平面角 AHD A VBC 在中 Rt AHDA 1 11 1 3 B DDH ADaB DHB BC BCB B AA 1 1 5 5 B D BC DHa B B tan15 AD AHD DH arctan 15AHD 所以 二面角的大小为 arctan A VBC 15 解法二 取中点连 易知底面 过作直线交 ACO 1 BO 1 OB ABCO OEBCABE于 取为空间直角坐标系的原点 所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角O 1 OE OC OBxyz 坐标系 则 1 0 0 0 0 0 0 0 3 AaB a aCaBa I 0 0 BCa 1 0 3 ABaa 1 0 0 0 3 0BC ABaaa 1 BCAB 1 BCAB 又 11111 BCBC BCAB 由已知 11 BCAC ACAC 11 BCAC 而 111111 BCBCBCAC 又显然相交 111 BCAB与 11 AC 是的公垂线 11 BC 111 ABAC与 II 设平面的一个法向量 VBC nx y z 又 1 0 3 CBaa 由 1 0 0 0 0 3 0 x y zanBC x y zaanCB A A 取 得 1z 0 3 1 n 点到平面的距离 即在平面的法向量上的投影的绝对值 AVBC 1 AB VBCn 设所求距离为 1 0 3 ABaa d 则 11 cosdABAB n 1 1 1 AB n AB ABn 2 3 3 2 a 所以 A 到平面 VBC 的距离为 3a III 设平面的一个法向量VAB 111 mx y z 1 mAB 1 0m AB 11 30ayaz 由 mAB 0m AB 11 20axay 取 1 1z 2 3 3 1 m 1 cos 4 m n m n mn 二面角为锐角 A VBC 所以 二面角的大小为A VBC 1 arccos 4 20 本小题满分 12 分 袋中装着标有数字 1 2 3 4 5 的小球各 2 个 从袋中任取 3 个小球 按 3 个小球上最大数字的 9 倍计 分 每个小球被取出的可能性都相等 用 表示取出的 3 个小球上的最大数字 求 1 取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率 2 随机变量 的概率分布和数学期望 3 计分介于 20 分到 40 分之间的概率 解 I 解法一 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同 的事件记为 A 则 3111 5222 3 10 2 3 CCCC P A C 解法二 一次取出的 3 个小球上的数字互不相同的事件记为 A 一次取出的 3 个小球上有两个数字相 同 的事件记为 则事件和事件是互斥事件 因为BAB 121 528 3 10 1 3 CCC P B C 所以 12 1 1 33 P AP B II 由题意有可能的取值为 2 3 4 5 2112 2222 3 10 1 2 30 CCCC P C 2112 4242 3 10 2 3 15 CCCC P C 2112 6262 3 10 3 4 10 CCCC P C 2112 8282 3 10 8 5 15 CCCC P C 所以随机变量的概率分布为 2345 P1 30 2 15 3 10 8 15 因此的数学期望为 123813 2345 301510153 E 一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间 的事件记为 则C 2313 3 4 3 4 151030 P CPPP 或 21 本小题满分 12 分 双曲线 C 与椭圆有相同的焦点 直线为 C 的一条渐近线 22 1 84 xy 3yx 1 求双曲线 C 的方程 2 过点的直线 交双曲线 C 于 A B 两点 交轴于 Q 点 Q 点与 C 的顶点不重合 当 0 4 Plx 且时 求点的坐标 12 PQQAQB 12 8 3 Q 解 设双曲线方程为 22 22 1 xy ab 由椭圆 22 1 84 xy 求得两焦点为 2 0 2 0 对于双曲线 又为双曲线的一条渐近线 2C c 3yx C 解得 3 b a 22 1 3ab 双曲线的方程为 C 2 2 1 3 y x 解法一 由题意知直线 的斜率存在且不等于零 lk 设 的方程 l 11 4 ykxA x y 22 B xy 则 4 0 Q k 1 PQQA 111 44 4 xy kk 1 111 111 1 44 44 4 4 x kkx kk yy 在双曲线上 11 A x yC 2 1 2 11 11616 10 k 2222 11 16 1632160 3 kk 222 11 16 16 32160 3 kk 同理有 222 22 16 16 32160 3 kk 若则直线 过顶点 不合题意 2 160 k l 2 160 k 是二次方程的两根 12 222 16 16 32160 3 kxxk 12 2 328 163k 2 4k 此时 0 2k 所求的坐标为 Q 2 0 解法二 由题意知直线 的斜率存在且不等于零lk 设 的方程 则 l 1122 4 ykxA x yB xy 4 0 Q k 1 PQQA 分的比为 Q PA 1 由定比分点坐标公式得 1 1 11 11 11 1 11 44 1 1 44 0 1 x x kk y y 下同解法一 解法三 由题意知直线 的斜率存在且不等于零lk 设 的方程 则 l 1122 4 ykxA x yB xy 4 0 Q k 12 PQQAQB 111222 444 4 xyxy kkk 1122 4yy 1 1 4 y 2 2 4 y 又 12 8 3 12 112 3yy 即 1212 3 2yyy y 将代入得4ykx 2 2 1 3 y x 222 3 244830kyyk 否则 与渐近线平行 2 30k l 2 1212 22 24483 33 k yyy y kk 2 22 24483 3