选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题

2 32 3 随机变量及其分布随机变量及其分布 离离散散型型随随机机变变量量及及其其分分布布列列 1 随随机机变变量量 在在随随机机试试验验中中 我我们们确确定定了了一一个个对对应应关关 系系 使使得得每每一一个个试试验验结结果果都都用用一一个个确确定定的的数数字字表表示示 在在这这 个个对对应应关关系系下下 数数字字随随着着试试验验结结果果的的变变化化而而变变化化 像像这这种种 随随着着试试验验结结果果变变化化而而变变化化的的变变量量称称为为随随机机变变量量 通通常常用用字字 母母X Y 等等表表示示 2 离离散散型型随随机机变变量量 所所有有取取值值可可以以一一一一列列出出的的随随机机变变量量 称称为为离离散散型型随随机机变变量量 3 离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布列列 要要点点归归纳纳 一一 1 一一般般地地 若若离离散散型型随随机机变变量量X可可能能取取的的不不同同值值为为x1 x2 xi xn X取取每每一一个个值值xi i 1 2 n 的的概概率率 P X xi pi 以以表表格格的的形形式式表表示示如如下下 Xx1x2 xi xn Pp1p2 pi pn 我我们们将将上上表表称称为为离离散散型型随随机机变变量量X的的概概率率分分布布列列 简简称称为为 X的的分分布布列列 有有时时为为了了简简单单起起见见 也也用用等等式式P X xi pi i 1 2 n表表示示X的的分分布布列列 4 离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布列列的的性性质质 pi 0 i 1 2 n i 1 n pi 1 5 常常见见的的分分布布列列 两两点点分分布布 如如果果随随机机变变量量X的的分分布布列列具具有有下下表表的的形形式式 则则 称称X服服从从两两点点分分布布 并并称称p P X 1 为为成成功功概概率率 X01 P1 pp 两两点点分分布布又又称称 0 1 分分布布 伯伯努努利利分分布布 超超几几何何分分布布 一一般般地地 在在含含有有 M 件件次次品品的的 N 件件产产品品中中 任任取取 n 件件 其其中中恰恰有有 X 件件次次品品 则则事事件件 X k 发发生生的的概概率率为为 P X k C k MC n k N M CnN k 0 1 2 m 即即 X01 m P C0MCn 0 N M Cn N C1MCn 1 N M Cn N Cm MC n m N M Cn N 其其中中m min M n 且且n N M N n M N N 如如 果果随随机机变变量量X的的分分布布列列具具有有上上表表的的形形式式 则则称称随随机机变变量量X 服服从从超超几几何何分分布布 二二项项分分布布及及其其应应用用2 1 条条件件概概率率 一一般般地地 设设 A 和和 B 是是两两个个事事件件 且且 P A 0 称称 P B A P AB P A 为为在在事事件件 A 发发生生的的条条件件下下 事事件件 B 发发生生 的的条条件件概概率率 P B A 读读作作 A 发发生生的的条条件件下下 B 发发生生的的概概率率 2 条条件件概概率率的的性性质质 0 P B A 1 必必然然事事件件的的条条件件概概率率为为1 不不可可能能事事件件的的条条件件概概率率为为0 4 独独立立重重复复试试验验 一一般般地地 在在相相同同条条件件下下重重复复做做的的n次次试试 验验称称为为n次次独独立立重重复复试试验验 5 二二项项分分布布 一一般般地地 在在n次次独独立立重重复复试试验验中中 设设事事件件A 发发生生的的次次数数为为X 在在每每次次试试验验中中事事件件A发发生生的的概概率率为为p 那那 么么在在n次次独独立立重重复复试试验验中中 事事件件A恰恰好好发发生生k次次的的概概率率为为 如如果果 B 和和 C 是是两两个个互互斥斥事事件件 则则 P B C A P B A P C A 3 事事件件的的相相互互独独立立性性 设设 A B 为为两两个个事事件件 如如果果 P AB P A P B 则则称称事事件件 A 与与事事件件 B 相相互互独独立立 如如果果事事件件 A 与与 B 相相互互独独立立 那那么么 A 与与B A 与 与 B A 与 与B 也 也都都相相互互独独立立 P X k Cpk 1 p n k k 0 1 2 n 此此时时称称随随机机 变变量量X服服从从二二项项分分布布 记记作作X B n p 并并称称p为为成成功功概概 率率 两两点点分分布布是是当当n 1时时的的二二项项分分布布 二二项项分分布布可可以以看看成成 是是两两点点分分布布的的一一般般形形式式 离离散散型型随随机机变变量量的的均均值值与与方方差差 1 均均值值 方方差差 一一般般地地 若若离离散散型型随随机机变变量量X的的分分布布列列为为 3 Xx1x2 xi xn Pp1p2 pi pn 则则称称E X x1p1 x2p2 xipi xnpn为为随随机机变变量量X的的 均均值值或或数数学学期期望望 它它反反映映了了离离散散型型随随机机变变量量取取值值的的平平均均水水 平平 2 均均值值与与方方差差的的性性质质 若若Y aX b 其其中中a b是是常常数数 X 是是随随机机变变量量 则则Y也也是是随随机机变变量量 且且E aX b aE X b D aX b a2D X 3 常常见见分分布布的的均均值值和和方方差差公公式式 两两点点分分布布 若若随随机机变变量量 X服服从从参参数数为为p的的两两点点分分布布 则则均均值值E X p 方方差差D X p 1 p 二二项项分分布布 若若随随机机变变量量X B n p 则则均均值值E X np 方方差差D X np 1 p 称称 D X i 1 n xi E X 2pi为为随随机机变变量量 X 的的方方差差 D X 为为 随随机机变变量量 X 的的标标准准差差 曲曲线线与与x轴轴之之间间的的面面积积为为1 3 和和 对对正正态态曲曲线线的的影影响响 当当 一一定定时时 曲曲线线的的位位置置由由 确确定定 曲曲线线随随着着 的的变变化化而而沿沿x 轴轴平平移移 当当 一一定定时时 曲曲线线的的形形状状由由 确确定定 越越小小 曲曲线线越越 瘦瘦高高 表表示示总总体体的的分分布布越越集集中中 越越大大 曲曲线线越越 矮矮胖胖 表表示示总总体体的的 分分布布越越分分散散 2 正正态态曲曲线线的的特特点点 曲曲线线位位于于 x 轴轴上上方方 与与 x 轴轴不不相相交交 曲曲线线是是单单峰峰的的 它它关关于于直直线线 x 对对称称 曲曲线线在在 x 处处达达到到峰峰值值 1 2 4 正正态态分分布布的的3 原原则则 若若随随机机变变量量X N 2 则则P X 0 682 6 P 2 X 2 0 954 4 P 3 X 3 0 997 4 在在实实际际应应用用中中 通通常常认认为为服服从从于于正正态态分分布布N 2 的的随随机机 变变量量X只只取取 3 3 之之间间的的值值 并并简简称称之之为为3 原原 则则 专专题题一一条条件件概概率率 1 条条件件概概率率的的求求法法 1 利利用用定定义义 分分别别求求出出 P A 和和 P AB 解解得得 P B A P AB P A 2 借借助助古古典典概概型型公公式式 先先求求事事件件 A 包包含含的的基基本本事事件件数数 n A 再再在在事事件件 A 发发生生的的条条件件下下求求事事件件 B 包包含含的的基基本本事事 件件数数 n AB 得得 P B A n AB n A 解解决决概概率率问问题题要要注注意意 三三个个步步骤骤 一一个个结结合合 1 求求概概率率的的步步骤骤是是 第第一一步步 确确定定事事件件性性质质 第第二二步步 判判断断事事件件的的运运算算 第第三三步步 运运用用公公式式 2 概概率率问问题题常常常常与与排排列列 组组合合知知识识相相结结合合 2 在在5道道题题中中有有3道道理理科科题题和和2道道文文科科题题 如如果果不不放放回回地地依依 次次抽抽取取2道道题题 求求 1 第第1次次抽抽到到理理科科题题的的概概率率 2 第第1次次和和第第2次次都都抽抽到到理理科科题题的的概概率率 3 在在第第1次次抽抽到到理理科科题题的的条条件件下下 第第2次次抽抽到到理理科科题题的的概概率率 解解设设 第第1次次抽抽到到理理科科题题 为为事事件件A 第第2次次抽抽到到理理科科题题 为为 事事件件B 则则 第第1次次和和第第2次次都都抽抽到到理理科科题题 为为事事件件AB 例例1 1 从从5道道题题中中不不放放回回地地依依次次抽抽取取2道道题题的的事事件件数数为为n A2 5 20 根根据据分分步步乘乘法法计计数数原原理理 n A A1 3 A1 4 12 于于是是 P A n A n 12 20 3 5 求求相相互互独独立立事事件件一一般般与与互互斥斥事事件件 对对立立事事件件结结合合在在一一起起进进 行行考考查查 解解答答此此类类问问题题时时应应分分清清事事件件间间的的内内部部联联系系 在在些些 基基础础上上用用基基本本事事件件之之间间的的交交 并并 补补运运算算表表示示出出有有关关事事 件件 并并运运用用相相应应公公式式求求解解 特特别别注注意意以以下下两两公公式式的的使使用用前前提提 1 若若A B互互斥斥 则则P A B P A P B 反反之之不不成成立立 2 若若A B相相互互独独立立 则则P AB P A P B 反反之之成成立立 专专题题二二相相互互独独立立事事件件的的概概率率 1 2 例例2 甲甲 乙乙 丙丙三三台台机机床床各各自自独独立立加加工工同同一一种种零零件件 甲甲机机床床加加 工工的的零零件件是是一一等等品品而而乙乙机机床床加加工工的的零零件件不不是是一一等等品品的的概概率率为为1 4 乙乙机机床床加加工工的的零零件件是是一一等等品品而而丙丙机机床床加加工工的的零零件件不不是是一一等等品品的的 概概率率为为 1 12 甲甲丙丙两两台台机机床床加加工工的的零零件件都都是是一一等等品品的的概概率率为为2 9 1 分分别别求求出出甲甲 乙乙 丙丙三三台台机机床床各各自自独独立立加加工工的的零零件件是是一一等等品品 的的概概率率 2 从从甲甲 乙乙 丙丙加加工工的的零零件件中中各各取取一一个个检检验验 求求至至少少有有一一个个一一 等等品品的的概概率率 离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布列列在在高高中中阶阶段段主主要要学学习习两两种种 超超几几 何何分分布布与与二二项项分分布布 由由于于这这两两种种分分布布列列在在生生活活中中应应用用较较为为 广广泛泛 故故在在高高考考中中对对该该知知识识点点的的考考查查相相对对较较灵灵活活 常常与与期期 望望 方方差差融融合合在在一一起起 横横向向考考查查 对对于于分分布布列列的的求求法法 其其难难点点在在于于每每个个随随机机变变量量取取值值时时相相关关 概概率率的的求求法法 计计算算时时可可能能会会用用到到等等可可能能事事件件 互互斥斥事事件件 相相互互独独立立事事件件的的概概率率公公式式等等 均均值值与与方方差差都都是是随随机机变变量量重重要要的的数数字字特特征征 方方差差是是建建立立在在 均均值值这这一一概概念念之之上上的的 它它表表明明了了随随机机变变量量所所取取的的值值相相对对于于 它它的的均均值值的的集集中中与与离离散散程程度度 二二者者联联系系密密切切 在在现现实实生生产产 生生活活中中特特别别是是风风险险决决策策中中有有着着重重要要意意义义 因因此此在在当当前前的的高高 考考中中是是一一个个热热点点问问题题 专专题题三三离离散散型型随随机机变变量量的的分分布布列列 均均值值与与方方差差 1 2 3 1 求求该该学学生生考考上上大大学学的的概概率率 2 如如果果考考上上大大学学或或参参加加完完5次次测测试试就就结结束束 记记该该生生参参加加测测 试试的的次次数数为为X 求求X的的分分布布列列及及X的的数数学学期期望望 例例3 某某地地区区试试行行高高考考考考试试改改革革 在在高高三三学学年年中中举举行行 5 次次统统一一 测测试试 学学生生如如果果通通过过其其中中 2 次次测测试试即即可可获获得得足足够够学学分分升升上上大大学学 继继续续学学习习 不不用用参参加加其其余余的的测测试试 而而每每个个学学生生最最多多也也只只能能参参加加 5 次次测测试试 假假设设某某学学生生每每次次通通过过测测试试的的概概率率都都是是1 3 每每次次测测试试时时 间间间间隔隔恰恰当当 每每次次测测试试通通过过与与否否互互相相独独立立 X2345 P P X 5 C1 4 1 3 2 3 3 2 3 4 16 27 故故 X 的的分分布布列列为为 E X 2 1 9 3 4 27 4 4 27 5 16 27 38 9 1 9 4 27 4 27 16 27 1 写写出出 的的概概率率分分布布列列 不不要要求求计计算算过过程程 并并求求出出E E 2 求求D D 请请你你根根据据得得到到的的数数据据 建建议议该该单单位位派派哪哪 个个选选手手参参加加竞竞赛赛 例例4 2012 枣枣庄庄检检测测 某某单单位位为为了了参参加加上上级级组组织织的的普普及及消消防防知知 识识竞竞赛赛 需需要要从从两两名名选选手手中中选选出出一一人人参参加加 为为此此 设设计计了了一一个个 挑挑选选方方案案 选选手手从从 6 道道备备选选题题中中一一次次性性随随机机抽抽取