北京市顺义区2012届高三数学尖子生综合素质展示试题 文

用心 爱心 专心 1 顺义区顺义区 20122012 届高三尖子生综合素质展示数学试卷 文科 届高三尖子生综合素质展示数学试卷 文科 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四 个选项中 选出符合题目要求的一项 1 已知集合 则 03 xxxP 22Mxx PM A B C D 0 2 2 0 3 2 3 2 2 某程序的框图如图所示 则运行该程序后输出的的值是 B A B C D 6331157 3 直线 都是函数的对称轴 且函 3 x 2 x 0 sin xxf 数在区间上单调递减 则 xf 2 3 A B 6 2 6 2 C D 2 3 2 4 在三棱锥中 DABC 2ACBCCD 平面 若其主视图 俯视图CD BCD90ACB 如图所示 则其左视图的面积为 A B C D 6232 5 等差数列的前项的和为 若 则 n a nn S20 5 S 14 2aa A 9 B 12 C 15 D 18 6 从中随机抽取一个数记为 从中随机抽取一个数记为 则 1 1 2 3 3 2a 1 1 2 2 b 函数的图象经过第三象限的概率是 x yab A B C D 1 8 1 4 3 8 1 2 7 直线与圆相交于不同的 A B 两点 其中是实数 1axby 1 22 yxba 且 O 是坐标原点 则点 P与点距离的取值范围为 0OA OB ba 1 0 2 C D B A 俯视图俯视图 主视图主视图 用心 爱心 专心 2 A B C D 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 8 对于任意 表示不超过的最大整数 如 定义上的函x xx 1 1 1 2 1 3 R 数 若 则中所有元素的和为 2 4 f xxxx 01Ay yf xx A A 11 B 15 C 17 D 21 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在题中横线上 9 等差数列的前项的和为 若 则 n an n S20 5 S 14 2aa 10 两条分别平行于轴和轴的直线与椭圆 交于 四点 xyC1 925 22 yx ABCD 则四边形面积的最大值为 ABCD 11 已知的面积 则 ABC 1 S 45 A ACAB 12 已知函数 如果 则的取值范 3 sin 1 1 f xxx x 2 1 1 0fmfm m 围是 13 已知函数 若恰有两个实数根 则的取值范围 2 2 1 45 1 xx f x xxx 0f xa a 是 14 设 则的值是 的值 1 1 3 1 1 2 1 1 222 n an 3 2 n 4 a 10 a 是 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知角的顶点在原点 始边与轴的正半轴重合 终边经过点 x 3 3 P 求的值 sin2tan 若函数 cos cossin sinf xxx xR 求函数的最大值 并指出取到最大值时的值 2 3 2 2 2 yfxfx x 16 本小题共 13 分 等比数列 n a中 14 2 16aa 用心 爱心 专心 3 求数列 n a的通项公式 若 35 a a分别为等差数列 n b的第 4 项和第 16 项 试求数列 n b的前n项和 n S 17 本小题共 13 分 公安部发布酒后驾驶处罚的新规定 一次性扣罚 12 分 已于今年 4 月 1 日起正式施 行 酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次 酒后驾车 和 醉酒驾车 其检测标准是 驾驶人员血液中的酒精含量 简称血酒含量 单位是毫克 100 毫升 当时 Q2080Q 为酒后驾车 当时 为醉酒驾车 某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动80Q 中 依法检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量 如下表 依据上述材料回答下列问题 分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率 从酒后违法驾车的司机中 抽取 2 人 请一一列举出所有的抽取结果 并求取到 的 2 人中含有醉酒驾车的概率 酒后驾车的人用大写字母如 A B C D 表示 醉酒驾车的人用小写字母如 a b c d 表示 18 本小题共 13 分 设椭圆M 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为 2 2 点A a 0 B 0 b 原点O到直线AB的距离为 2 3 3 求椭圆M的方程 设点C为 a 0 点P在椭圆M上 与A C均不重合 点E在直线 PC上 若直线PA的方程为4ykx 且0CP BE 试求直线BE的方程 19 本小题共 14 分 已知 函数 0 a 232 12 33 f xa xax 1g xax x R 当时 求函数在点的切线方程 1 a f x 1 1 f 求函数在的极值 f x 1 1 若在区间上至少存在一个实数 使成立 求正实数的取值 1 0 2 0 x 00 f xg x a 范围 20 本小题共 14 分 已知函数 如果存在给定的实数对 使得恒成立 则 xfba bxafxaf 称为 S 函数 xf 判断函数是否是 S 函数 x xfxxf3 21 若是一个 S 函数 求出所有满足条件的有序实数对 xxftan 3 ba 血酒含量 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 100 12 0 人数 19412111 用心 爱心 专心 4 若定义域为的函数是 S 函数 且存在满足条件的有序实数对和R xf 1 0 当时 的值域为 求当时函数 1 1 1 0 x xf 2 1 2012 2012 x 的值域 xf 顺义区 2012 届高三尖子生综合素质展示 数学试题参考答案 文科 一 选择题 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合 题目要求的一项 题号 12345678 选项 BAADBCDB 8 解 1 0 0 4 xf x 1 2 1 4 4 xf x 2 3 3 4 4 xf x 3 1 4 4 xf x 1 7f 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在题中横线上 有两空的题目 第一空 3 分 第二空 2 分 9 12 10 30 11 2 12 13 或a 1 14 1 2 23a 8 5 20 11 三 解答题 本大题共 4 小题 共 30 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 解 因为角终边经过点 3 3 P 所以 3 分 1 sin 2 3 cos 2 3 tan 3 6 分 333 sin2tan2sincostan 236 8 分 cos cossin sincosf xxxx xR 用心 爱心 专心 5 2 3cos 2 2cos3sin21 cos22sin 2 1 26 yxxxxx 10 分 此时 13 分 2 11y 最大值 3 xk kZ 16 本小题共 13 分 解 设 n a的公比为q 由已知得 3 162q 解得2q 3 分 又 所以 6 分 1 2a 11 1 222 nnn n aa q 由 I 得 2 8a 5 32a 则 4 8b 16 32b 设 n b的公差为d 则有 解得 10 分 1 1 38 1532 bd bd 1 2 2 b d 则数列 n b的前n项和 13 分 1 1 2 n n n Snbd 2 1 22 2 n n nnn 17 本小题共 13 分 解 由表可知 酒后违法驾车的人数为 6 人 1 分 则违法驾车发生的频率为 或 3 分 100 3 200 6 03 0 酒后违法驾车中有 2 人是醉酒驾车 则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为 3 1 6 2 6 分 设酒后驾车的 4 人分别为 A B C D 醉酒驾车的 2 人分别为 a b 7 分 则从违法驾车的 6 人中 任意抽取 2 人的结果有 A B A C A D A a A b B C B D B a B b C D C a C b D a D b a b 共有 15 个 9 分 设取到的 2 人中含有醉酒驾车为事件E 10 分 则事件E含有 9 个结果 A a A b B a B b C a C b D a D b a b 12 分 13 分 93 155 P E 18 本小题共 13 分 解 由 2222 2 222 1 1 2 cabb e aaa 得2ab 2 分 由点A a 0 B 0 b 知直线AB的方程为1 xy ab 于是可得直线AB的方程为220 xyb 4 分 因此 22 002 22 3 33 1 2 bb 得2b 2 2b 2 4a 所以椭圆M的方程为 22 1 42 xy 6 分 用心 爱心 专心 6 由 知A B的坐标依次为 2 0 0 2 因为直线PA经过点 2 0 A 所以024k 得2k 即得直线PA的方程为24yx 8 分 因为0CP BE 所以1 CPBE kk 即 1 BE CP k k 9 分 设P的坐标为 00 xy 则 2 000 2 000 21 2 22442 CP yyy k xxx 得 1 4 CP k 即直线BE的斜率为 4 12 分 又点B的坐标为 0 2 因此直线BE的方程为42yx 13 分 19 本小题共 14 分 解 由求导得 1 分 232 12 33 f xa xax 22 2fxa xax 当时 3 分1 a 1 1 f 1 0 f 所以在点的切线方程是 4 分 f x 1 1 f1 yx 令 0 得 fx 1 0 x 2 2 x a 1 当即时 2 01 a 2 a x 1 0 0 2 0 a 2 a 2 1 a f x 0 0 f x 极大值 极小值 6 分 故的极大值是 极小值是 7 分 f x 2 3 24 3 a a 2 当即时 2 1 a 02 a 在上递增 在上递减 8 分 f x 1 0 0 1 所以的极大值为 无极小值 9 分 f x 2 0 3 f 设 232 11 33 F xf xg xa xaxax 1 0 2 x 对求导 得 10 分 F x 2222 2 1 2 F xa xaxaa xax 用心 爱心 专心 7 因为 所以 1 0 2 x 0a 22 1 2 0F xa xax 在区间上为增函数 则 12 分 F x 1 0 2 max 1 2 F xF 依题意 只需 即 max 0F x 2 11111 0 38423 aaa 即 解得或 舍去 2 680aa 317a 317a 所以正实数的取值范围是 14 分a 317 20 本小题共 14 分 解 若是 S 函数 则存在常数使得 a x a x b xxf 1 ba 即x2 a2 b 时 对x R 恒成立 而x2 a2 b 最多有两个解 矛盾 因此不是 S 函数 2 分xxf 1 若是 S 函数 则存在常数a b 使得 x xf3 2 axaxa2 333 即存在常数对 a 32a 满足 因此是 S 函数 4 分 x xf3 2 是一个 S 函数 设有序实数对 a b 满足 xxftan 3 则 tan a x tan a x b 恒成立 当a 时 tan a x tan a x cot2 x 不是常数 Zkk 2 5 分 因此 时 Zkka 2 Zmmx 2 则有 b xa xa xa xa xa xa 22 22 tantan1 tantan tantan1 tantan tantan1 tantan 即恒成立 7 分0 tantan 1tan 222 baxab 即 1 1tan 0tan 01tan 2 2 2 b a ba ab Zk b ka 1 4 当 时 tan a x tan a x cot2 a 1 Zmmx 2 4 ka 因此满足是一个 S 函数 的常数 a b 9xxftan 3 Zkk 1