2010年初三升高一数学教材.doc

新人教版高一数学（必修1） 月成辅导学校内部专用第一章 集合与函数概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示（1） 元素：一般地，我们把研究的对象称为元素（element）。元素通常用小写字母a，b，c表示。（2） 集合：把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。集合通常用大写字母A，B，C表示。课文说“我们一般用花括号表示集合”，也就是赋予了符号“”新的含义：表示“所有的”、“全部的”，具有共同特征的研究对象都在大括号内。注意：正数表示所有大于0的实数组成的集合。这种表示是正确的。但是所有的正数这种表示方法是错误的。因为“”已经包含“所有的”含义。（3） 元素与集合的关系：元素与集合的关系有“属于”和“不属于”两种。元素a属于集合A，记作aA；元素a不属于集合A，记作aA。 符号和是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系。 aA与aA取决于a是不是集合A中的元素。两种情况有且只有一种成立。（4） 集合中元素的特征：确定性；互异性；无序性。（5） 集合的分类：有限集；无限集。（6） 集合的表示方法： 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法时注意叙述清楚。如：大于1且小于10的偶数构成的集合注意：用自然语言描述集合不要出现花括号。 列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在花括号内表示集合的方法。注意元素不能重复且元素之间用分隔号“，”。如：所有正奇数的集合为1，3，5，7，9， 描述法：把集合中元素的共同特征描述出来，写在花括号内表示集合的方法，它的一般形式是xI|P(x)，其中“x”是集合中元素的代表形式，它的范围是I；“P(x)”是集合中元素x的共同特征，竖线不可省略。如不等式2x-51的解集可表示为x|x 3或xR|2 x -51或x|2 x -51 韦恩（Venn）图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的整体。 区间法：（将会在后面的“1.2函数的概念及其表示法”中学习到。）（7） 特殊集合的表示：对于一些常用的数集，我们指定一些大写的拉丁字母专门表示这些集合：非负整数集（或自然数集）记作N；正整数集记作N+或者N*；整数集记作Z；有理数集记作Q；实数集记作R。例1考查下列每组对象能否构成一个集合：（1）著名数学家；（2）月成辅导学校所有高个子同学；（3）直角坐标平面内第一象限的一些点；（4）的近似值的全体；（5）不超过10的非负数。例2用符号或填空：（1）； （2）；（3）。例3按要求分别表示下面的集合：（1）用自然语言描述集合0，2，4，6，8，；（2）用列举法表示集合30的正约数；（3）用描述法表示集合“正偶数集”；（4）用描述法表示集合2，-4，6，-8，98，-100；（5）用列举法表示集合(x，y)|x+y=3，xN，yN。例4下面三个集合：；。（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？例5由实数所组成的集合，最多含有元素的个数为（）A.2B.3C.4D.5例6已知集合M=-2，若2M，求x。例7若，求实数的值。例8设集合A=1，B=，且A=B，求实数。例9已知集合S=a，b，c中三个元素分别是ABC的三边长，则ABC一定不是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形例10已知集合,其中为常数且R。（1） 若集合A是空集，求的范围；（2） 若集合A只有一个元素，求的值；（3） 若集合A中至多有一个元素，求的范围。1.1.2 集合间的基本关系（1） 子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说集合A包含于集合B，或说集合B包含集合A，记作：AB（或BA）。这时我们也说集合A是集合B的子集。注意：当A不是B的子集是记作AB（或BA）；任何一个集合是它本身的子集，即AA；空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，通常记为；空集是任何集合的子集，即A；子集具有“传递性”，即：如果AB，BC，那么AC。（2） 集合相等：如果集合A中的任何一个元素，都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。根据集合相等的定义可知：要证明A=B，只要证明AB且BA成立即可。（3） 真子集：如果AB，且AB，就说集合A是集合B的真子集，记作AB注意：空集是任何非空集合的真子集。（4） 有限集合的子集个数问题： 个元素的集合有个子集； 个元素的集合有个真子集； 个元素的集合有个非空真集。例11已知集合A1，3，21， B3，。若，求实数的值。例12已知集合，集合，若QP，求的值。例13已知集合，且，求取值范围。例14下列各组中的两个集合相等的有（）；A. B. C. D. 例15已知集合M满足1，2M1，2，3，4，5，满足条件的集合M有多少个？写出所有的满足条件的集合M。例16设集合M=，集合N=，则M与N的关系是（）A.M=NB.MNC. MND.MN例17已知A=，B=，且AB，求实数k的取值范围。1.1.3 集合的基本运算（1） 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的并集。记作AB。读作：A并B。其含义用符号表示为：用Venn图表示并集如下： BAA（2） 交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集。记作：AB。读作：A交B。其含义用符号表示为：。用Venn图表示交集如下： A B（3） 交集与并集的运算性质：；。（4） 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。（5） 补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。其含义用符号表示为：用Venn图表示交集如下：（6） 补集与交集、并集的性质反演律：；。例18 设U=三角形，M=直角三角形，N=等腰三角形，则MN= MN= CUM= CUN= CU（MN）= 例19 设集合例20 设集合A=x,集合B=x,若已知AB=2,3,5,则集合A、B分别为（ ）A3，5、2，3 B2，3、3，5 C2，5、3，5 D3，5、2，5例21已知全集，求。例22已知集合，若已知，求实数m的取值范围。例23 设A=x,其中xR,如果AB=B，求实数的取值范围。例24已知。例25已知集合例26设全集。已知，求集合A和集合B。例27 若M=，N=Z，则MN等于（ ）A B C0 DZ例28已知集合 的值或取值范围。例29定义AB=x|xA，且xB，若M=1,2,3,4,5,N=2,4,8，则NM= 。例30某班50个学生中，参加数学竞赛的25个，参加化学竞赛的32人，既参加数学竞赛又参加化学竞赛的人数最多是几人？最少又是几人？1.2 函数的概念及其表示法（1） 函数的定义：传统定义：在某一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于在某一个范围内的任一个x的值，都有唯一的y值与它对应，则称y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量。现代定义：设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域。（2） 映射的定义：一般地，设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合A、B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。如果集合A中的元素a对应到集合B中的元素b，那么其中集合B中的元素b是集合A中元素a对应的“象”；b是a的“原象”。由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射，它要求A、B非空且皆为数集。对应有以下几种形式：9413-32-21-1304560901-12-23-3149123123456开平方求正弦求平方乘以2 （1） （2） （3） （4）其中：一对多（如）、多对一（如）、一对一（如、）总结：根据映射的定义知“一对多”（如）不是映射；A中每一个元素都有象；B中每一个元素不一定都有原象，不一定只一个原象；A中每一个元素的象唯一。（3） 函数的定义域：函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x的取值范围，但要注意，在实际问题中，定义域要受实际意义的制约。如：的定义域是非负实数；圆半径R与面积S的函数关系的定义域为正数；的定义域是非零实数注：求函数的定义域的常见类型 当f(x)为整式时，定义域为； 当f(x)为分式时，定义域为使分母不为的x的集合； 当f(x)为二次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合； 当f(x)是由几个式子组成时，定义域是使得各个式子都有意义的x的值的集合。（4） 函数的对应法则：对应关系f是函数关系的本质特征，y=f（x）的意义是：y就是x在关系到f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径。如：f(x)=3x+5，f表示自变量的3倍加上5。（5） 函数的值域：函数的值域：自变量在定义于内取值时相应的函数值的集合。（6） 求函数的值域的常用方法：1观察法求函数值域例31求下列函数值域：（1） （2） （3） （4） 2配方法求二次函数值域例32已知函数，分别求它在下列区间上的值域。（1）； （2）； （3）； （4）提示：（1）函数的定义域不同，值域也不同； （2）二次函数的区间值域的求法：配方；作图；求值域。3部分分式法求分式函数的值域（分离常数法）例33求函数的值域。4利用“已知函数的值域”求值域例34求下列函数的值域：（1）； （2）； （3）； （4）5换元法求函数值域例35求函数的值域。6判别式法求函数值域例36 求函数的值域。（7） 两个函数相等的定义：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。例37试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=；（4）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1。提示：对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数（8） 区间的概念：设a、b是两个实数，且a1 Dx| x1或x03下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是（ ）A. , B. , C. , D. , 4若，则（ ）A. B. C. D. 5设集合，若，则的取值范围是（ ）A B C D1，26已知，且 则的值为（ ）A. 4 B. 0 C. 2m D. 7某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）OdtOdtOdtOdt A. B. C. D.8定义集合A、B的一种运算：，若，则中的所有元素数字之和为（ ）A9 B. 14 C.18 D.219已知函数若则（ ）ABCD与的大小不能确定10为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），加密规则为：明文对应密文如明文对应密文当接收方收到密文时，解密得到明文为（ ）ABCD选择题答案12345678910二、填空题（每小题4分,共16分）11函数对于任意实数满足条件，若则_12已知函数若，求=_13设，则_14设，则的定义域为_ 三、解答题（一共四大题，共44分）15（本小题满分11分）已知函数 （1）若且函数的值域为，求的表达式； （2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数k的取值范围； （3）设，且为偶函数，判断能否大于零? 16（满分11分）已知定义域为R的函数f（x）满足。 （1）若f（2）=3,求f（1）；又若f（0）=a，求f（a）；（2）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）= x0，求函数f（x）的解析表达式。17（本小题满分11分）设函数。 （1）在区间上画出函数的图像； （2）设集合。试判断集合和 之间的关系，并给出证明； （3）当时，求证：在区间上，的图像位于图像的上方。18（本小题满分11分）设a为实数，记函数的最大值为g（a）。 （1）设t，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）； （2）求g（a）； （2）试求满足的所有实数a。第二章 基本初等函数（I）2.1 指数函数2.1.1指数与指数幂的运算（1） 什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：若，则叫做a的平方根。同理，若，则叫做a的立方根。根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如8的立方根为2；零的平方根、立方根均为零。（2） n次方根的概念n次方根的定义及性质是平方根、立方根的定义及性质的推广，根式记号是平方根、立方根记号的推广。n次方根：一般地，若，则x叫做a的n次方根，其中n 1，且n,当n为偶数时，a的n次方根中，正数用表示，如果是负数，用表示，叫做根式.当n为奇数时，a的n次方根用符号表示，其中n称为根指数，a为被开方数。零的n次方根为零，记为小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况。（3） 根据n次方根的意义，可得：,它肯定成立。而表示an的n次方根，但是等式一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？若n为奇数，； 若n为偶数, 如小结：当n为偶数时，化简得到结果先取绝对值，再根据绝对值算具体的值，这样就避免出现错误。（4） 初中时的整数指数幂，运算性质有：；（5） 分数指数幂：观察以下式子，并总结出规律：0 为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同。即：规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义。说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：1）2）3）例1 求下列各式的值（1） 例2 求出下列各式的值 例3 若 例4 计算例5 计算：的结果例6 若（6） 与分数指数幂有关的混合运算：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序。例7 计算下列各式（式中字母都是正数）（1）（2）例8 计算下列各式（1）（2）0）（3）（4）例9 计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。例10（1）已知（常数），求的值；（2）已知，求的值。（3）已知，求的值；2.1.2 指数函数及其性质（1） 指数函数的定义：函数（0且1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。思考：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （1，且）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。若0，如在实数范围内的函数值不存在。若=1, 是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合。（2） 指数函数图象的研究：先来研究1的情况。用描点法画出函数的图象：取点列表如下（请填写空白部分）：124-xy0y=2x 再研究，01的情况，完成以下表格并绘出函数的图象421-xy0-xy0（3） 指数函数图象的特征和性质：图象特征函数性质101101向轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点（0，1）=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于10，10，1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于10，10，1（4） 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在（0且1）值域是（2）若（3）对于指数函数（0且1），总有（4）当1时，若，则；例11 已知指数函数（0且1）的图象过点（3，），求例12求下列函数的定义域：（1） （2）例13 比较下列各题中的各值的大小（1）1.72.5 与 1.73(2)与(3) 1.70.3 与 0.93.1例14设，且（，），则与的大小关系是（ ）A B C D例15若函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）A B C D例16已知函数的值域为，则的范围是（ ）A B C DO例17如图为指数函数，则与1的大小关系为 （ ） A B C D 例18已知函数，求证：函数在上为增函数。 例19要使函数在上恒成立。求的取值范围。例20已知求函数。例21设函数，求使的取值范围。例22（2004全国III理）解方程（2004全国III文）解方程2.2 对数函数2.2.1对数与对数运算（1） 对数的概念：一般地，若，那么数叫做以a为底N的对数，记作，叫做对数的底数，N叫做真数。如：，读作“2是以4为底，16的对数”； ，则，读作“是以4为底2的对数”。（2） 对数式与指数式的互化：在对数的概念中，要注意：1）底数的限制0，且12）指数式对数式幂底数对数底数指 数对数幂 N真数说明：对数式可看作一个记号，表示底为（0，且1），幂为N的指数或表示方程（0，且1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为（0，且1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算。（3） 两类特殊的对数： 以10为底的对数称为常用对数，常记为. 以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数，常记为. 以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.（4） 对数的运算：对数式可看作指数运算的逆运算，这样我们能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质。如：于是 由对数的定义得到，得：即：同底对数相加，底数不变，真数相乘。根据指数的性质按照以上的方法可以推出对数的其它性质：如果0且1，M0，N0，那么：1）2）3）4）（换底公式，换的底C只要满足C0且C1即可。）例23 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）54=645 （2） （3）（4） （5） （6）例24 求下列各式中x的值（1） （2） （3） （4）例25 将下列指数式与对数式互化，有的求出的值 .（1） （2） （3）（4） （5） （6）归纳小结： 0且1） 1的对数是零，负数和零没有对数对数的性质 0且1 例26（1）求且不等于1，N0）（2）计算的值例27 判断下列式子是否正确，0且1，0且1，0，则有（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7）例28 用，表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值。（1） （2） （3） （4）例29已知，且，求的值。例30 设，且，求的最小值。例31 解方程。例32 若,则( )(A)abc (B)cba (C)cab (D)bac例33 已知二次函数的最大值是3，求的值。例34如果方程lg2x+(lg7+lg5)lgx+lg7lg5=0的两根为、，求的值。例35 求值或化简； 2.2.2 对数函数及其性质（1） 对数函数的定义：一般地，我们把函数（0且1）叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+）注意两点：根据对数与指数式的关系，知可化为，根据指数的概念，要使有意义，必须规定0且1。因为可化为，不管取什么值，由指数函数的性质，0，所以。（2） 研究对数函数的图象：根据下表用描点法画出函数的图象，并在同一坐标系里按同样的方法画出的图象。 12468121610122.5833.584yx注意到：，若点的图象上，则点的图象上. 由于（）与（）关于轴对称，因此，的图象与的图象关于轴对称。所以，由此我们可以画出的图象。进一步探究：选取底数0，且1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内作出相应的对数函数的图象。观察下面的图象，你能发现它们有哪些特征吗？以下是用多媒体画出，和的图象：0（3） 对数函数性质：图象的特征函数的性质（1）图象都在轴的右边（1）定义域是（0，+）（2）函数图象都经过（1，0）点（2）1的对数是0（3）从左往右看，当1时，图象逐渐上升，当01时，图象逐渐下降。（3）当1时，是增函数，当01时，是减函数。（4）当1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0. 当01时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0。（4）当1时，1，则0 01，0当01时，1，则0 01，0例36 求下列函数的定义域（1） （2） （0且1）例37 比较下列各组数中的两个值大小（1） （2）（3）（0，且1）例38 已知函数的定义域为-1，1，则函数的定义域为 例39 求函数的值域。例40 已知0，按大小顺序排列m, n, 0, 1例41 已知01, b1, ab1。比较例42已知，54b3，用的值2.3 反函数（1）指数函数与对数函数的进一步研究：用列表描点法在同