大学物理-静电场练习题及答案

第七章 静电场 51 练习题 7 1 两个点电荷所带电荷之和为 Q 它们各带电荷为多少时 相互间的作 用力最大 解 这是一个条件极值问题 设其中一个点电荷带电 q 则另一个点电荷 带电 两点电荷之间的库仑力为qQ 2 0 4 1 r qqQ F 由极值条件 得0dd qF Qq 2 1 又因为 0 2 kx k 为大于零的常量 0 x 1 图 7 46 练习题 7 5 用图 解 1 将带电直线分割成无数个长度元 dx dx 的坐标是 x 它所带的电 荷元 dq dx dq 在 P 点产生的电场强度的大小为 2 0 d 4 1 d bx x E 因为所有电荷元产生的场强方向都相同 所以场强的矢量叠加可用代数方法 相加 于是带电直线在 P 点产生的电场强度为 l bx x E 0 2 0 d 4 1 lbb 11 4 0 lbb l 0 4 方向沿 x 轴的负方向 2 同样取电荷微元dq dx kxdx 2 0 d 4 1 d bx xkx E 同理 l bx xkx E 0 2 0 d 4 1 bl l b lbk ln 4 0 方向沿 x 轴的负方向 b xAOP 第七章 静电场 55 7 6 一个半径为 R 的半圆细环上均匀地分布电荷 Q 求环心处的电场强度 解 分析在求环心处的电场强度时 不 能将带电半圆环视作点电荷 现将其抽象为 带电半圆弧线 在弧线上取线元 dl 其电荷 此电荷元可视为点电荷 它在l R Q qdd O 点的电场强度为 0 2 0 d 4 1 drE R q 因圆环上电荷对 y 轴呈对称性分布 电场分布也是轴对称的 则有 0d L xx EE 点 O 的合电场强度为 习题 7 6 用图 sin d 4 1 sind d 2 0 R q EEEE LLL yy 其中 负号表示场强方向与 y 方向相反 将 带入上式 积分得 l R Q qdd ddRl 2 0 2 0 2 0 2 2 sin 4R Q R Q E 右 负号表示场强方向与 y 方向相反 第七章 静电场 56 7 7 一个半径为 R 的带电圆盘 电荷面密度为 求 1 圆盘轴线上距 盘心为 x 处的任一点的电场强度 2 当 R 时 P 点的电场强度为多少 P 3 当 x R 时 P 点的电场强度又为多少 练习题 7 7 用图 解 解 1 在半径为 R 的带电圆盘上取内半径为 r 外半径为 r dr 的细圆 环 如图所示 利用教材中例题 7 5 的结果可知 该细圆环上的电荷在 P 点产 生的场强为 3 23 2 2222 00 d 2 d d 44 xSxr r E xrxr 于是 整个圆盘上的电荷在 P 点产生的场强为 21 220 0 23 22 0 1 2 2Rx x rx rdrx E R 1 当时 R x 此时 上式可化为R 0 2 E 即此时可将带电圆盘看作无限大带电平面 3 当 x R 时 可将带电圆盘看作点电荷 此时 P 点电场强度为 2 22 00 4 44 Rq E xx 第七章 静电场 57 7 8 图 7 47 为两个分别带有电荷的同心球壳系统 设半径为和的球壳 1 R 2 R 上分别带有电荷和 求 1 I II III 三个区域中的场强 1 Q 2 Q 2 若 各区域的电场强度又为多少 1 Q 2 Q 画出此时的电场强度分布曲线 即 关系曲线 Er 解 解 1 在区域 I 做半径为 r R1的球形高 斯面 因为高斯面内无电荷 根据高斯定理 Sd S E i i q 内 0 1 即 04 2 1 rE 可得区域 I 中的电场强度为 E1 0 在区域 II 以为半径做球形高斯面 因为此高斯面内的电荷为 12 RrR Q1 由高斯定理得 Sd S E i i q 0 1 0 1 2 24 Q rE 由此可解得区域 II 的电场强度为 1 22 0 4 Q E r 在区域 III 做半径 r R2的球形高斯面 由于该高斯面内的电荷为 Q1 Q2 由高斯定理可得 Sd S 3 E i i q 0 1 0 21 2 34 QQ rE E3 12 2 0 4 QQ r R1 R2 Q1Q2 I II III 图 7 47 练习题 7 8 用图 第七章 静电场 58 2 当 时 根据以上结果 1 Q 2 Q 易知 区域 I 的场强为 E1 0 区域 II 的场强为 1 22 0 4 Q E r 区域 III 的场强为 E3 0 根据上述结果可画出如图所示关系曲线 Er 7 12 水分子的电偶极矩为 如果这个电偶极矩是由一对点 30 6 13 10C m 电荷 e 引起的 e 为电子电量 那么 它们的距离是多少 如果电偶极矩的取向 与强度为的电场方向一致 要使这个电偶极矩倒转成与电场相反的方 6 1 10 N C 向需要多少能量 用 eV 表示 解 解 1 由电偶极矩的定义 e pql 得 30 11 19 6 13 10 3 83 10 m 1 6 10 e p l q 2 若使电偶极矩倒转需要能量为 A 则 19611 19 5 2 2 1 6 10103 83 10 1 6 10 7 66 10 eV AqqeEl E lE l 0 2 20 1 4r Q rR2R1 E E r 关系曲线 第七章 静电场 59 7 13 计算练习题 7 8 中 区域中的电势 解 1 根据题 7 8 所得 区域中的电场分布 0 1 E 1 22 0 4 Q E r 2 21 0 3 4 1 r QQ E 可得区域 I 的电势为 12 12 2 12 1 123 112 22 00 d ddd dd 44 Er r RR rRR R RR U E rErE r QQQ rr rr 由此解得 12 1 012 1 4 QQ U RR 区域 的电势分布为 2 2 12 223 02 1 ddd 4 Er R rrR QQ UErE r rR 区域 的电势分布为 12 33 0 d d 4 Er rr QQ UE r r 2 若 则区域 的电势为 12 QQ 12 12 2 1 1 123 1 2 0 1 012 d ddd d 4 11 4 Er r RR rRR R R U E rErE r Q r r Q RR 区域 的电势为 R1 R2 Q1 Q2 I II III 第七章 静电场 60 2 1 22 02 11 dd 4 Er R rr Q UEr rR 区域 的电势为 33 d d0Er rr UE r 7 14 无限长 均匀带电圆柱面 半径为 R 单位长度上带电量为 试求 其电势分布 提示 选取距带电圆柱面轴线为 的点为电势零点 R 0 P 解 由于电荷分布具有轴对称性 所以应用高斯 定理很容易求出电场强度分布为 0 R r E R r E 0 2 r 电场强度方向垂直于带电圆柱面沿径向 选某一距 带电直线为的点为电势零点 R 0 P 如本题解图所示 当 R 时r 0dd 0 R r p P UrErE 这个结果可以一般地表示为 当 R 时r r r rEU P P R r R r d 2 dd 0 0 rE Rrln 2 ln 2 00 r R ln 2 0 第七章 静电场 61 7 16 同轴电缆是由两个很长且彼 此绝缘的同轴金属圆柱体构成 如图 7 49 所示 设内圆柱体的电势为 1 U 半径为 外圆柱体的电势为 外 1 R 2 U 圆柱体的内半径为 两圆柱体之间 2 R 为空气 求内圆柱体的 解 解 1 设内圆柱体单