高考数学-新课标定积分应用--例题、习题及详解

图 3 定积分应用定积分应用 1 1 直角坐标系下平面图形面积的计算 直角坐标系下平面图形面积的计算 连续曲线及轴所围成的平面图形面积为 0 yf xf xxa xb 及x b a Af x dx 设平面图形由上下两条曲线 y f上 x 与 y f下 x 及左右两条直线 x a 与 x b 所围成 则面 积元素为 f上 x f下 x dx 于是平面图形的面积为 dxxfxfS b a 下上 连续曲线及轴所围成的平面图形面积为 0 xyyc yd 及y y d c Ay dy 由方程与以及所围成的平面图形面积为 1 xy 2 xy yc yd 12 d c Ayy dy 12 例 例 计算两条抛物线与所围成的面积 2 xy 2 yx 解解 求解面积问题 一般需要先画一草图 图 3 我们要求的是阴影部分的面积 需 要先找出交点坐标以便确定积分限 为此解方程组 2 2 yx xy 得交点 0 0 和 1 1 选取为积分变量 则积分区间为 根据公式 1 所求的面积x 1 0 为 3 1 3 1 3 2 1 0 3 1 0 2 xxxdxxxS 一般地 求解面积问题的步骤为 1 作草图 求曲线的交点 确定积分变量和积分限 2 写出积分公式 3 计算定积分 例例 2 2 计算抛物线 y2 2x 与直线 y x 4 所围成的图形的面积 解 1 画图 2 确定在 y 轴上的投影区间 2 4 3 确定左右曲线 4 2 1 2 yyyy 右左 4 计算积分 4 2 2 2 1 4 dyyyS18 6 1 4 2 1 4232 yyy 例例3 求在区间 2 上连续曲线 y ln x x轴及二直线 x 与x 2所围成平面 2 1 2 1 区域 如图2 的面积 解 已知在 2 上 ln x 0 在区间 2 1 1 2 上 ln x 0 则此区域的面积为 A dxx 2 2 1ln dxx 2 2 1ln dxx 2 1 ln 2 1 1 ln xxx 1 2 ln xxx 2 1 2ln 2 3 例例4 4 求抛物线 y2 x 与x 2y 3 0所围成的平面图形 图 3 的面积 A 解 该平面图形如图所示 先求出抛物线与直线的交点P 1 1 与Q 9 3 用x 1把图形 分为左 右两部分 应用公式 1 分别求的它们的面积为 1 0 1 dxxxA 1 0 2dxx 3 4 9 1 2 2 3 dx x xA 3 28 所以 3 32 21 AAA 本题也可把抛物线方程和直线方程改写成 x y2 1 y x 2y 3 2 y y 1 3 g 2 yg 并改取积分变量为y 便得 A 3 1 12 dyygyg 3 1 2 32 dyyy 3 32 例例5 5 求由两条曲线y x2 y 和直线y 1围成的平面区域 如图5 的 4 2 x 面积 解法一 此区域关于 y 轴对称 其面积是第一象限那部分面积的二倍 在 第一象限中 直线y 1与曲线y x2 与 y 的交点分别是 1 1 与 4 2 x 2 1 此区域的面积为 1 0 2 1 2 0 2 2 4 2dx x dxdxxA 3 4 解法二 将 y 轴看作是自变数 在第一象限的那部分区域是由曲线 yx yx2 和直线 y 1 所围成 y 作自变数 此区域的面积为 1 0 1 0 2 2 2dyydyyyA 3 4 例例 6 求下列曲线所围成的图形的面积 1 抛物线 与直线 2 2 x y 42 yx 2 圆 axyx2 22 解解 1 先画图 如图所示 并由方程 求出交点为 2 42 2 2 yx x y 1 8 2 解一解一 取为积分变量 的变化区间为 2 yy1 在区间 2 上任取一子区间 1 yyyd 则面积微元 Adyyyd 242 2 则所求面积为 9 A 2 1 2 d 242 yyy 32 3 2 4yyy 2 1 解二解二 取为积分变量 的变化区间xx 为 0 8 由图知 若在此区间上任取子区间 需分成 0 2 2 8 两部分完成 在区间 0 2 上任取一子区间 xxxd 则面积微元 1 Adx x d 2 2 在区间 2 8 上任取一子区间 xxxd 24xy 2 2 x y 8 2 2 1 x 0 y y y dy y 24xy 2 2 x y 8 2 2 1 x O x 0 y 1 图 6 2 1 yx yx D 图 4 则面积微元 2 Ad 4 2 1 2 x x xd 于是得 1 2 AAA A 2 0 d 2 2x x Ax xx d 2 22 8 2 9 2 3 3 22 x 2 0 2 3 3 22 x 2 2 4 x x 8 2 例例 7 7 求由曲线与直线所围成的平面图形的面积 xy2 2 4 xy 解解 作图 图 4 解方程组 4 2 2 xy xy 得两条曲线的交点坐标为 2 2 8 4 选取为积分变量 积分区间为y 2 4 根据公式 2 所求的面积为 dyyyS 2 1 4 2 4 2 18 4 2 32 6 1 4 2 1 yyy 练习题解答 1 求由曲线与直线所围图形的面积 xy xy 思路思路 由于所围图形无论表达为 X 型还是 Y 型 解法都较简单 所以选其一做即可 解解 见图 6 2 1 所围区域 D 表达为 X 型 或 D 表达为 Y 型 xyx x10 yxy y 2 10 1 0 dxxxSD 6 1 2 1 3 2 1 0 2 2 3 xx x 0 y 2 2 图 6 2 2 si nyx 1 D x 0 y 4 图 6 2 3 2 yx 2 2 2 2 4yx D 1 0 2 6 1 dyyySD 2 求在区间 0 2 上 曲线与直线 所围图形的面积 xysin 0 x1 y 解解 见图 6 2 2 所围区域 D 表达为 X 型 1sin 2 0 yx x 或 D 表达为 Y 型 yx y arcsin0 10 1 2 cos sin1 2 0 2 0 xxdxxSD 1 2 arcsin 1 0 ydySD 3 求由曲线与所围图形的面积xy 2 4 2 xy 思路思路 由于所围图形表达为 Y 型时解法较简单 所以用 Y 型做 解解 见图 6 2 3 两条曲线的交点 2 2 4 2 2 y x xy xy 所围区域 D 表达为 Y 型 22 4 22 yxy y x 0 y 1 图 6 2 5 yx 1 yx 2 1 D x 0 y 图 6 2 6 2 2yx 02 1 D 2 3 16 3 2 4 4 2 2 3 2 2 22 yydyyySD 由于图形关于 X 轴对称 所以也可以解为 2 3 16 3 2 4 2 4 2 2 0 3 2 0 22 yydyyySD 4 求由曲线与直线及所围图形的面积 x y 1 xy 2 x 思路思路 由于所围图形表达为 X 型 解法较简单 所以用 X 型做 解解 见图 6 2 5 两条曲线和的交点为 x y 1 xy 1 1 1 1 又这两条线和 分别交于2 x 2 1 2 2 2 所围区域表达为 X 型 D xy x x 1 21 2 2 2 1 1 113 ln ln2 22 D Sxdxxx x 5 5 抛物线分圆的面积为两部分 求这两部分的面积xy2 2 8 22 yx 思路思路 所围图形关于 X 轴对称 而且在第一象限内的图形表达为 Y 型时 解法较简单 解解 见图 6 2 6 设阴影部分的面积为 剩余面积为 1 D S 2 D S 两条曲线 的交于xy2 2 8 22 yx 舍去的解 2 2 4 x 所围区域表达为 Y 型 1 D 又图形关于 x 轴对 2 2 8 2 22 yx y y 称 x y xyln ayln byln 0aln1bln 图 6 2 8 3 4 2 3 4 2 2 6 8 2 2 8 2 2 0 3 2 0 2 2 0 2 2 1 y ydy y ySD 其中 2 2 2cos1 8cos22cos228 4 0 4 0 sin22 2 0 2 dt t tdttdyy ty 3 4 6 3 4 28 2 D S 7 求由曲线 与直线所围图形的面积 x ey x ey 1 x 思路思路 由于所围图形表达为 X 型时 解法较简单 所以用 X 型做 解解 见图 6 2 7 两条曲线和的交点为 0 1 又这两条线和分别交于 x ey x ey 1 x 和 1 e 1 1 e 所围区域表达为 X 型 D xx eye x10 2 1 1 0 1 0 eeeedxeeS xxxx D 8 求由曲线与直线及所围图形的面积xyln ayln byln 0 ab 思路思路 由于所围图形表达为 Y 型时 解法较简单 所以用 Y 型做 解解 见图 6 2 8 x 0 y 1 图 6 2 7 x ye 1 x ye D 在的定义域范围内所围区域 xlnD y ex bya 0 lnln abedyeS b a y b a y D ln ln ln ln 9 求通过 0 0 1 2 的抛物线 要求它具有以下性质 1 它的对称轴 平行于 y 轴 且向下弯 2 它与 x 轴所围图形面积最小 解解 由于抛物线的对称轴平行于 y 轴 又过 0 0 所以可设抛物线方程为 由于下弯 所以 将 1 2 代入 得到bxaxy 2 0 abxaxy 2 因此2 baxaaxy 2 2 该抛物线和 X 轴的交点为和 0 x a a x 2 所围区域 D 2 2 0 0 2 a x a yaxa x 2 3 2 0 23 2 0 2 6 2 2 2 3 2 a a x a x a dxxaaxS a a a a D 4 2 6 1 2 2 2 3 6 1 233322 aaaaaaaaSD 得到唯一极值点 所求抛物线为 4 axxy64 2 10 求位于曲线下方 该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形 x ey 的面积 思路思路 先求切线方程 再作出所求区域图形 然后根据图形特点 选择积分区域表达类型 解解 在任一点处的切线方程为 x ey x ey 0 xx 0 00 xxeey xx 而过 0 0 的切线方程就为 即 1 xeeyexy 所求图形区域为 21 DDD X 型下的 1 D x ey x 0 0 2 D x eyex x10 222 1 0 2 11 0 0 ee ex e edxexedxeS xxx D 11 设直线 y ax 与抛物线所围成的面积为 它们与直线 x 1 所围成的 2 yx 1 s 图形面积为 并且 a 1 确定 a 的值 使达到最小 并求出最小值 2 s 12 ss 解 1 当 0 a 1 时 1 223 0 111 323 a a saxxdxxax dxaa 1 222 0 111 0 20 222 a a saxxdxxax dxaas 得 1122 622 ss 是极小值即最小值 其值为 当时 0a 01 223 0 111 623 a saxxdxxax dxaa 2 111 0 0 223 sasas 单调减少 故时 取最小值 此时s 2 求变力做功的方法 求变力做功的方法 1 有一弹簧 假定被压缩 0 5cm 时需用力 1N 牛 顿 现弹簧在外力的作用下 被压缩 3cm