三角函数求值域专题

1 求三角函数值域及最值的常用方法 求三角函数值域及最值的常用方法 对三角函数的考查 历来都是高考的重点 也是基础 考试大纲中对三角函数的要求是重对三角函数的考查 历来都是高考的重点 也是基础 考试大纲中对三角函数的要求是重 基础 从近几年的高考试卷来看 三角函数的最值问题在高考中经常出现 本文总结归纳基础 从近几年的高考试卷来看 三角函数的最值问题在高考中经常出现 本文总结归纳 了三角函数求最值的几种类型 掌握这几种类型后 几乎所有三角函数的最值问题都可迎了三角函数求最值的几种类型 掌握这几种类型后 几乎所有三角函数的最值问题都可迎 刃而解 刃而解 类型类型 1 利用辅助角公式 利用辅助角公式 化为一个角的三 xbxaycossin sin 22 xba 角函数形式 例例 1 1 求函数的最值 并 24 7 4 cossin4sin3cos35 22 xxxxxxf 求取得最值时x的值 解 由降幂公式和倍角公式 得 x xx xf2sin2 2 2cos1 3 2 2cos1 35 332sin23cos32 xx 33 6 2cos 4 x 24 7 4 x 4 3 6 2 3 2 x 2 1 6 2cos 2 2 x 的最小值为 此时 无最大值 f x2233 24 7 x f x 例例 2 2 已知函数 2 2sin3cos2 4 f xxx 4 2 x I 求 f x的最大值和最小值 II 若不等式 2f xm 在 4 2 x 上恒成立 求实数m的取值范围 解 1 cos23cos21 sin23cos2 2 f xxxxx 12sin 2 3 x 又 4 2 x 2 2 633 x 即 212sin 23 3 x maxmin 3 2f xf x 2 2 2f xmf xmf x 4 2 x 2 max 2mf x 且 min 2mf x 14m 即m的取值范围是 14 练习 练习 函数xxycos3sin 在区间 0 2 上的最小值为 类型类型 2 化为 化为二次函数类型二次函数类型cxbxay sinsin 2 例例 3 求函数 y 2cos2x 5sinx 4 的值域 解解 原函数可化为 当 sinx 1 时 ymax 1 当 sinx 1 时 ymin 9 原函数的值域是 9 1 练习 练习 函数 2cos 2 1 cos Rxxxxf 的最大值等于 3 3 型 反解型 反解 利用正弦的有界性 或分离常数法 利用正弦的有界性 或分离常数法 dxc bxa y sin sin xsin 例例 4 4 求函数的值域 x x y sin2 1sin 解 由变形为 x x y sin2 1sin 1 sin21yxy 则有 21 sin 1 y x y 由 21 sin 1 1 y x y 222 21 1 21 1 1 y yy y 2 0 3 y 则此函数的值域是 2 0 3 y 例例 5 5 求函数的值域 1cos2 1cos2 x x y 法一 原函数变形为 可直接得到 或1cos 1cos2 2 1 x x y 3 y 3 1 y 3 此函数的值域是 3 3 1 法二 原函数变形为或 1 12 1 1cos 12 1 cos y y x y y x 3 y 3 1 y 此函数的值域是 3 3 1 练习 练习 求函数的值域 cos3 cos3 x y x 4 4 型如型如型型 dxc bxa xf cos sin 此类型最值问题可考虑如下几种解法 此类型最值问题可考虑如下几种解法 转化为再利用辅助角公式求其最值 cxbxa cossin 采用数形结合法 转化为斜率问题 求最值 例例 6 6 求函数的值域 sin cos2 x y x 解法解法 1 1 数形结合法 求原函数的值域等价于求单位圆上 的点 P cosx sinx 与定点 Q 2 0 所确定的直线的斜率的范 围 作出如图得图象 当过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜 率便是函数得最值 由几何知识 易求得过 Q sin cos2 x y x 的两切线得斜率分别为 结合图形可知 此函数 3 3 3 3 的值域是 33 33 解法解法 2 2 将函数变形为 sin cos2 x y x cossin2yxxy 由 解得 2 2 sin 1 y x y 2 2 sin 1 1 y x y 22 2 1yy 故值域是 33 33 y 33 33 例例 7 7 求函数 2cos 0 sin x yx x 的最小值 解法一 解法一 原式可化为sincos2 0 yxxx 得 2 1sin 2yx 即 2 2 sin 1 x y 故 2 2 1 1y 解得3y 或3y 舍 所以y的最小值为3 解法二 解法二 2cos 0 sin x yx x 表示的是点 0 2 A与 sin cos Bxx 连线的斜率 x Q P y O 4 其中点 B 在左半圆 22 1 0 aba 上 由图像知 当 AB 与半圆相切时 y最小 此时 3 AB k 所以y的最小值为3 点评 点评 解法一利用三角函数的有界性求解 解法二从结构出发利用斜率公式 结合图 像求解 练习 练习 求函数的值域 x x y cos2 sin2 5 5 型 换元法型 换元法 cos sincossinxxbxxay 含有的最值问题 解此类型最值问题通常令 xxxxcossincossin 与xxtcossin 再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题 注注xxtcossin21 2 22 t 意意 的范围的范围 t 例例 8 求函数 y 1 sinx 1 cosx 的值域 解 解 原函数即为 y 1 sinx cosx sinxcosx 原函数即为 反馈演练反馈演练 1 当0 4 x 时 函数 2 2 cos cos sinsin x f x xxx 的最小值是 2 函数 sin cos2 x y x 的最大值为 最小值为 3 若函数 4 sin sin