111任意角（平行班教学设计）

1 1 11 1 1 任意角任意角 课题 任意角 方案二 方案二 设计与执教者 广州六中 张萍 weng zhangping 学情分析 教学对象是高一的学生 首先通过实际问题 拨手表 体操中的转体 齿轮旋转等 引 出角的概念的推广 引发学生的认知 然后用具体例子 将初中学过的过之间的角的概念推广0360 到任意角 在此基础上引出终边相同的角的集合 使学生可以在自己已有经验 生活经验 数学学习经验 的基础上 更好地认识任意角 象限角 终边相同的角等概念 教学三维目标 一 知识与技能一 知识与技能 1 推广角的概念 引入正角 负角 零角的定义 2 象限角的概念 3 终边相同的角的表示方法 二 过程与方法二 过程与方法 1 理解并掌握正角 负角 零角的定义 2 掌握所有与角终边相同的角 包括角 的表示方法 三 情感态度与价值观三 情感态度与价值观 树立运动变化观点 理解静是相对的 动是绝对的 并由此深刻理解推广后的角的概念 教学重点 理解正角 负角和零角的定义 掌握终边相同角的表示法 教学难点 终边相同的角的表示 课前准备 几何画板课件 教学过程设计 教学环节教学活动设计意图 一 课程 引入 教师提问 教师提问 你的手表慢了 5 分钟 你是怎样将它校准的 假如你的手表 快了 1 25 小时 你应当如何将它校准 当时间校准以后 分针转了多 少度 教师讲解 教师讲解 取出一个钟表 实际操作 我们发现 校正过程中分针需要正 向或反向旋转 有时转不到一周 有时转一周以上 这就是说角已不仅仅 局限于之间 这正是我们这节课要研究的主要内容 任意角 0360 创设问题情景 让 学生在问题解决的 过程中感知任意角 二 探究 新知 教师提问 教师提问 1 过去我们是如何定义的 角的范围是什么 展示投影 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所成的图形 如图 1 1 1 教师讲解 教师讲解 一条射线由原来的位置 绕着它的端点按逆时针OAO 鼓励学生自己回顾 角的概念 0360 积极用自己的语言 概括 引导学生转 向对任意角的探索 方向旋转到终止位置 就形成角 旋转开始时的射线叫做角的OB OA 始边 叫终边 射线的端点叫做叫的顶点 角的范围是OBO 0360 教师提问 教师提问 2 如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们 经常听到这样的术语 转体 即转体 2 周 转体 720 1080 即转体 3 周 等 都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的360 角 同学们思考一下 能否再举出几个现实生活中 大于的角或按不360 同方向旋转而成的角 的例子 这些说明了什么问题 又该如何区分和表 示这些角呢 教师讲解 教师讲解 展示课件 如自行车车轮 螺丝扳手等按不同方向旋转时成 不同的角 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性 为了区别起见 我们规定 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角 positive angle 按顺 时针方向旋转所形成的角叫负角 negative angle 如果一条射线没有做 任何旋转 我们称它形成了一个零角 zero angle 教师讲解 教师讲解 展示课件 如教材图 1 1 2 1 中的角是一个正角 它等于 图 1 1 2 2 中 750 正角 负角 这样 我们就把角的概念210 150 660 推广到了任意角 any angle 包括正角 负角和零角 为了简单起见 在不引起混淆的前提下 角 或 可简记为 教师提问 教师提问 3 能否以同一条射线为始边作出下列角吗 120 135 540 教师讲解 教师讲解 在今后的学习中 我们常在直角坐标系内讨论角 为此我们 必须了解象限角这个概念 角的顶点与原点重合 角的始边与轴的非负半轴重合 那么 角x 的终边 除端点外 在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 quadrant angle 如教材图 1 1 3 中的角 角分别是第一象30 210 限角和第三 结合具体实例 感 受角的概念推广的 必要性 利用新概念重新认 识问题 并加深任 意角的了解 让学生感受没有统 一的参照系时 角 的表示的不方便 为了讨论方便 在 直角坐标系中研究 角 并给出象限角 的概念 同时也为 下一步研究三角函 数奠定基础 象限角 要特别注意 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何 一个象限 称为非象限角 教师提问 教师提问 4 展示投影 练习 1 口答 锐角是第几象限角 第一象限角一定是锐角吗 再分别就直 角 钝角来回答这两个问题 2 回答 今天是星期三那么天后的那一天是星期几 7 k kZ 天前的那一天是星期几 100 天后的那一天是星期几 7 k kZ 教师提问 教师提问 5 探究 将角按上述方法放在直角坐标系中后 给定一个角 就 有唯一的一条终边与之对应 反之 对于直角坐标系中任意一条射线 如图 1 1 4 以它为终边的角OB 是否唯一 如果不惟一 那么终边相 同的角有什么关系 请结合 4 2 口 答加以分析 教师讲解 教师讲解 展示课件 不难发现 在 教材图 1 1 4 中 如果的终边32 是 那么角的终OB328 392 边都是 而 OB328321 360 39232 1 360 设 则角都是的 32360 SkkZ 328 392 S 元素 角也是的元素 因此 所有与角终边相同的角 连同32 S32 角在内 都是集合的元素 反过来 集合的任一元素显然与32 SS 角终边相同 32 一般地 我们有 所有与角终边相同的角 连同角在内 可构成一 个集合 即任一与角终边相同的角 都 360 SkkZ 可以表示成角与整数个周角的和 教师出示例题 教师出示例题 例 1 在范围内 找出与角终边相同的角 并0360 950 12 从具体问题入手 了解终边相同的角 的关系 由具体到一般 认 识终边相同的角的 关系及其表示 使学生能够熟练写 出终边相同的角的 集合 并判定其为 第几象限角 为以 后证明恒等式 化 简及利用诱导公式 求三角函数的值等 判定它是第几象限角 注 是指 0360 0360 解 所以在范围内 与 0 0 0 950 12129 483 360 0360 角终边相同的角是 它是第二象限角 950 12 0 950 12 小结 要求学生能在范围内 找出与已知角终边相同的角 并0360 判定其为第几象限角 为以后证明恒等式 化简及利用诱导公式求三角 函数的值等奠定基础 教师出示例题教师出示例题 例 2 写出终边在轴上的角的集合 y 解 在范围内 终边在轴上的角有两个 即 角 0360 y 0 90 0 270 因此 所有与角终边相同的角构成集合 0 90 00 1 90360 SkkZ 而所有与角终边相同的角构成集合 0 270 00 2 270360 SkkZ 于是 终边在轴上的角的集合y 00 12 90360 SSSkkZ 00 270360 kkZ 00 90180 kkZ 小结 让学生理解终边在坐标轴上的角的表示 教学中引导学生体会用 集合表示终边相同的角时 表示方法不唯一 要注意用简约的形式 教师出示例题教师出示例题 例 3 写出终边直线在上的角的集合 并把中yx SS 适合不等式的元素写出来 360 720 解 在直角坐标系中画出直线 可以发现它与轴的夹角是 yx x 0 45 在范围内 终边在上的角有两个 因此 0360 yx 0 45 0 225 终边直线在上的角的集合yx 00 45360 SkkZ 00 225360 kkZ 00 45180 kkZ 适合的元素是 S360 720 000 452 180315 000 451 180135 000 450 18045 000 451 180225 奠定基础 让学生理解终边在 坐标轴上的角的表 示 教学中引导学 生体会用集合表示 终边相同的角时 表示方法不唯一 要注意用简约的形 式 让学生表示终边在 已知直线的角 巩 固终边相同的角的 表示 000 452 180405 000 453 180585 小结 让学生表示终边在已知直线的角 巩固终边相同的角的表示 三 练习 巩固 1 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合 始终与轴的非负半轴重合 x 作出下列各角 并指出它们是第几象限角 0 420 0 75 0 855 0 510 2 在范围内 找出与下列各角终边相同的角 并指出它们是0360 第几象限角 0 54 18 0 395 8 0 1190 30 3 写出与下列各角终边相同的角的集合 并把集合中适合不等式 的元素写出来 00 720360 0 1303 18 0 225 4 若是第四象限角时 则 分别是第几象限的角 2 2 3 答案 1 解析 能作出给定的角 并判定是第几象限角 第一象限角 第四象限角 000 42036060 第二象限角 000 855720135 000 510720210 第三象限角 2 解析 能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角 并判定是第几 象限角 第四象限角 0 00 54 18360305 42 第一象限角 0 00 395 836035 8 第三象限角 0 00 1190 301440249 30 3 解析 用集合表示法和符号语言写出指定角终边相同的角的集合 并 在给定范围内找出与指定的角终边相同的角 0 0 1303 18360 kkZ 0 496 42 0 136 42 0 223 18 00 225360 kkZ 0 585 0 225 0 135 注意 1 2 是任意角 正角 负角 零角 3 终kZ 边相同的角不一定相等 但相等的角 终边一定相同 终边相同的角有 巩固知识 培养技 能 无数多个 它们相差的整数倍 360 4 解析 因为是第四象限角 所以 0000 360270360360 kkkZ 所以 所以得终边在第二 0000 12090120120 3 kkkZ 3 第三或第四象限 所以 所 0000 180135180180 2 kkkZ 以得终边在第二或第四象限 2 所以 所以得终边在 0000 7205402720720 kkkZ 2 第三或第四象限 也可在轴的负半轴上 y 四 拓展 与提高 1 若是第二象限的角 则是 0 180 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 集合 00 9036 AkkZ 00 180180B 则等于 AB A B 00 36 54 00 126 144 C D 0000 126 36 54 144 00 126 54 3 如图 1 1 6 终边落在阴影部分的角的集合是 A B 00 45120 00 120315 C 0000 36045360120 Zkkk D 0000 360120360315 Zkkk 4 若角与的终边关于轴对称 则与的关系是 x 若角与的终边关于原点对称 则与的关系是 若角与的终边关于轴对称 则与的关系是 y 答案 1 解析 是第二象限的角 所以 0000 36090360180kk 所以 0000 36018036090kk 所以 故选 A 0000 36018036090kk 引导学会逆向思考 加深对角的概念及 相关性质的理解 巩固知识 培养技 能 2 解析 当时 当时 0k 0 36 1k 000 903654 当时 2k 000 2 9036144 当时 1k 000 9036126 答案 C 3 解析 如图 1 1 6 阴影部分的角是从到 00 45360k 的角 故选 C 00 120360 Zkk 4 解析 若角与的终边关于轴对称 则 x 0 360 kkZ 则与的关系是 若角与的终边关于原 0 360 kk