高中物理力学综合试题及答案

物理竞赛辅导测试卷 力学综合物理竞赛辅导测试卷 力学综合 1 一 10 分 如图所时 A B 两小球用轻杆连接 A 球只能沿 竖直固定杆运动 开始时 A B 均静止 B 球在水平面上靠着固定 杆 由于微小扰动 B 开始沿水平面向右运动 不计一切摩擦 设 A 在下滑过程中机械能最小时的加速度为 a 则 a 二 10 分 如图所示 杆 OA 长为 R 可绕过 O 点的水平 轴在竖直平面内转动 其端点 A 系着一跨过定滑轮 B C 的不 可伸长的轻绳 绳的另一端系一物块 M 滑轮的半径可忽略 B 在 O 的正上方 OB 之间的距离为 H 某一时刻 当绳的 BA 段与 OB 之间的夹角为 时 杆的角速度为 求此时物块 M 的速度 vM 三 10 分 在密度为 0的无限大的液体中 有两个半径 为 R 密度为 的球 相距为 d 且 0 求两球受到的万有引力 四 15 分 长度为 l 的不可伸长的轻线两端各系一个小物体 它们沿光滑水平面 运动 在某一时刻质量为 m1的物体停下来 而质量为 m2的物体具有垂直连线方向的速 度 v 求此时线的张力 五 15 分 二波源 B C 具有相同的振动方向和振幅 振幅为 0 01m 初位相相差 相向发出两线性简谐波 二 波频率均为 100Hz 波速为 430m s 已知 B 为坐标原点 C 点坐标为 xC 30m 求 二波源的振动表达式 二波 的表达式 在 B C 直线上 因二波叠加而静止的各点 位置 六 15 分 图是放置在水平面上的两根完全相同的轻质弹簧和质量为 m 的物体组 成的振子 没跟弹簧的劲度系数均为 k 弹簧的一端固定在墙上 另一端与物体相连 物体与水平面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 当弹簧恰为原长时 物体位于 O 点 现将物体向右拉离 O 点至 x0处 不超过弹性限度 然后将物体由静止释放 设弹簧 被压缩及拉长时其整体不弯曲 一直保持在一条直线上 现规定物体从最右端运动至最 左端 或从最左端运动至最右端 为一个振动过 程 求 1 从释放到物体停止运动 物体共进行了 多少个振动过程 2 从释放到物体停止运动 物体共用了多少时间 3 物体最后停在什么 位置 4 整个过程中物体克服摩擦力做了多 少功 七 15 分 一只狼沿半径为 R 圆形到边缘按逆时针方向匀速 跑动 如图所示 当狼经过 A 点时 一只猎犬以相同的速度从圆 心出发追击狼 设追击过程中 狼 犬和 O 点在任一时刻均在同 A B O R A BC M O C y x vv B Ox0 A O R v0 一直线上 问猎犬沿什么轨迹运动 在何处追击上 八 15 分 经过用天文望远镜长期观测 人们在宇宙中已经发现了许多双星系统 通过对它们的研究 使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识 双 星系统由两个星体构成 其中两个星体的线度都远小于两星体之间的距离 一般双星系 统距离其他星体很远 可以当作孤立系统处理 现根据对某一双星系统的光度学测量确 定 该双星系统中每个星体的质量都是 M 两者相距 L 它们正围绕两者连线的中点做 圆周运动 1 试计算该双星体统的运动周期 T计算 2 若实验上观测到的运动周期 为 T观测 且 为了解释 T观测与 T计算的不同 目前有 计算观测 11 NNTT 一种流行的理论认为 在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质 作为一种简化 模型 我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种物质 而不考虑其他 暗物质的影响 试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度 九 20 分 一半径为 R 1 00m 的水平光滑圆桌面 圆心为 O 有一竖直的立柱固 定在桌面上的圆心附近 立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线 C 如图所示 一根不可伸长的柔软的细轻绳 一端固定在封闭曲线上的某一点 另一端系一质量为 m 7 5 10 2kg 的小物体 将小物块放在桌面上并把绳拉直 再给小物块一个方向与绳 垂直 大小为得初速度 物块在桌面上运动时 绳将缠绕在立柱上 已 1 0 0 4 smv 知当绳的张力为时 绳即断开 在绳断开前物块始终在NT0 2 桌面上运动 1 问绳刚要断开时 绳的伸直部分的长度为多少 2 若绳刚 要断开时 桌面圆心 O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线 正好与绳的伸直部分垂直 问物块的落地点到桌面圆心 O 的水平距 离为多少 已知桌面高度 物块在桌面上运动时未与立mH80 0 柱相碰 取重力加速度大小为 1 10 sm 十 25 分 如图所示为一半径为 R 的实心均质球 在朝地板下落之前球的质心静 止 但球绕着过质心的一条水平轴自转 角速度为 球上的最低点距地板的高度为 0 h 将球释放后 它因受重力而下落且被弹回到最高点高度等于 h 处 球与地板相碰时 的形变可以忽略 设球与地板之间的滑动摩擦系数为 已知量 假定球在真空下落 且碰撞时间为有限 小量 球的质量与重力加速度分别记为 m 和 g 球绕 过质心的轴的转动惯量为 求 1 反 2 5 2 mRI 弹偏向角 的正切值 2 球在第一次与地板碰撞 后到第二次碰撞前 它的质心通过的水平距离 0 h h R o c 物理竞赛辅导测试卷参考答案 力学综合 物理竞赛辅导测试卷参考答案 力学综合 一 解 A B 组成的系统机械能守恒 最初 EB 0 最后 EB 0 对 B 物体 某一位置总有杆对它作用力为零 则该处 EB最大 此时 EA最小 故gaA 二 解 速度分解如图所示 设 M 物体的运动速度为 vM 有 coscos RvvM 由几何关系有 sincos RH 得 R H sin cos 所以 M 物体的速度为 sin HvM 三 解 将两球心分别记为 O O 若只有球 O 单独处于无限大液体中 其受的合引力 为 0 如果将球 O 放回原处 相当于用密度为 的球代替 0的同体积液体 因为 0 代替的结果使 O 处的质量增加 3 4 0 3 Rm 因球 O 的质量为 3 3 4 Rm 则球 O 将受到来自球 O 的引力 故两球的相互引力为 2 0 62 2 0 9 16 d GR d mGm F 四 解 该系统的质心位于连线上 与第一个物体距离 并以速度 21 1 1 mm lm R 相对于平面运动 21 2 0 mm vm v 选择与质心相连的坐标系 O R A BC M v R vM 对第一个物体 1 2 0 1 R v mF 将 R1 v0代入得 lmm vmm F 21 2 21 五 解 设 B 点初位相 由题意知 C 点初位相0 而 rad s 2002 B 点的振动方程为tyB 200cos01 0 C 点的振动方程为 200cos 01 0 tyC 取 B 点为坐标原点 BC 为 x 轴正向 则波的表达式为 430 200cos01 0 x tyB 430 30 200cos 01 0 x tyC 在 BC 线上两波叠加为 48 6 430 200 cos 48 6 200cos 01 0 xtyyy CB 在 x 轴上合振动的位移为零 满足 0 48 6 430 200 cos x 即 2 12 48 6 465 0 kx 得 19 8 7 6 86 1215 2 kmkx 因为只有才是二波叠加区 x30 无 C 波 300 x 六 解 1 振子每次全振动的平衡位置与 O 的距离为 则mgkl 0 2 k mg l 2 0 当时 振子不振动 00 lx 当时 振子振动规律如下 00 lx 振子的振动相对平衡位置是简谐振动 故关于平衡位置对称 每振动一次与原点距离减小 0 2l 故 n 次振动后距离为 00 2nlxLn 当时 振子将停止 0 lLn 即 000 2lnlx 0 00 2l lx n 所以振动次数为 为 f 的整数部分 0 00 0 00 2 1 2 l lx Int l lx IntN Intf 2 振子振动周期 k m T 2 所以振动时间为 k m Nt 2 3 以 O 点为原点建立坐标系 取向右为正方向 振子停止的位置在 2 1 00 Nlxx N 4 振子每次振动过程经过的路程为 2 2 000 nllxsn 所以 N 次振动过程的总路程 2 00 NlxNSN 克服摩擦力做功为 42 0000 NlxkNlSklW N 七 解 有题设条件狼 犬速度相等可知 0 vv 并且在追击中任意瞬间 狼 犬在 如图所示的 B C 点 在一直线上 即 且始终有 0 vv 其中CDvr R v r v 0 即与的 速端 在一条直线上 v 0 v v0 A OR B D v0 vr v C 22 0 0 vvv R r v v r R rR v vr 22 所以 即OCDvCvr 0 t 设犬运动的距离为 而 所以 rOC tROC sin tRr sin 故犬沿半径为的圆弧 在时刻位于处 即在的 b 点追上狼 2 R 0 2v R t Rr 2 犬的运动亦可分解为两个分运动来求解 八 解 1 双星均绕它们的连线中点做圆周运动 设运动速率为 v 向心加速度满足 下面的方程 2 22 2L GM L v M L GM v 2 周期 GM L L v L T 2 2 2 计算 2 根据观测结果 星体的运动周期 计算计算观测 TT N T 1 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力 故它一定还受到其他指向中心的 作用力 按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质 均匀分布在球体内的暗物质对 双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量 M 位于中心处的质点相同 考虑 暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度 v观 则有 2 2 2 2 2 2L L MM G L GMv M 观 L MMG v 2 4 观 因为在轨道一定时 周期和速度成反比 由 式得 vNv 111 观 把 式代入 式得 M N M 4 1 设所求暗物质的密度为 则有 M NL 4 1 2 3 4 3 故 3 2 1 3 L MN 九 解 1 因桌面是光滑的 轻绳是不可伸长和柔软的 且在断开前绳都是被拉紧的 故在绳断开前 物块在沿桌面运动的过程中 其速度始终与绳垂直 绳的张力对物 块不做功 物块速度的大小保持不变 设在绳刚要断开绳的部分的长度为 x 若此 时物快速度的大小为 vx 则有 1 0 vvx 绳对物块的拉力仅改变物快速度的方向 是作用于物块的向心力 故有 2 x mv x mv T x 2 0 2 0 由此得 3 0 2 0 T mv x 带入数据得 4 mx60 0 2 设在绳刚要断开时 物块位于桌面上的 P 点 BP 是 绳的伸直部分 物块速度 v0的方向如图解所示 由 题意可知 OB BP 因物快离开桌面时的速度仍为 vo 物块离开桌面后便做初速度为 vo的平抛运动 设平抛运动经历的时间为 t 则有 5 2 2 1 gtH 物块做平抛运动的水平射程为 6 tvs 01 由几何关系 物体落地地点与桌面圆心 O 的水平距离 s 为 7 2 2 22 1 xxRss 解 5 6 7 式 得 2 2 22 0 2 xxR g H vs 带入数据得 ms5 2 十 解 1 碰撞前平动动能应等于球的重力势能的减少量 因此碰撞前球心下落速 度 v0满足 Ro c s B P x S1 22 xR 1 2 0 2 1 mvmgh 解得 2 ghv2 0 令和分别为碰撞后瞬间球心速度的水平和垂直分量 竖直方向可达高度为 x v2 y v2 h 于是 3 hgv y 2 2 2 由此 用 或用恢复系数 表述为 4 chgv y 2 2 考虑到力的冲量等于动量的改变量 和力的冲量矩等于角动量的改变量 碰撞开始 时 球必因具有初始角速度而发生相对滑动 因此存在两种可能性 0 整个碰撞过程中 摩擦力不足以使球的旋转减速到它与地板接触点停止相对滑动 从而进入纯滚动状态 在某一时刻 球与地板接触点的速度达到零值 从这时起摩擦力为 21 tttt 零 下面分别讨论两种情况 情况 此时 整个碰撞期间球均作相对滑动 摩擦力与法 向力的关系为 5 tNf kr 摩擦力的冲量为 6 xkyk t t kx mvghcmKdttNK 2 2 1 2 1 摩擦力的冲量矩为 7 2 1 20 2 1 IghcmRdttNRL k t t k 由此可解得碰后速度水平分量 v2x和角速度 0表述如下 8 ghcv kx 2 1 2 9 gh I cmR k 2 1 02 由 8 和 4 式可得 10 c c ghc ghc v v k k y x 1 2 2 1 tan 2 2 可见角 与 0无关 N mg fr O x y 至此 所有碰撞后的基本物理量都已经用题文所给量表述出来 基本情况解的成立 范围可以从 8 和 9 式获得 此解答成立的条件是碰撞结束时 球与地板接触 点有一沿 x 负方向的速度 因此 x vR 22 gh R c gh I cmR kk 2 1 2 1 0 即 11 1 1 2 2 0 I mR R cgh k 凡初始角速度低于此值者 均不属本情况解 情况 这种情况中 球进入纯滚动的时刻 t 必介于碰撞的初始时刻 t1和终止时刻 t2之间 而后 速度水平分量 v2x与最终角速度 2之间将一直保持下述关系 12 x vR 22 有 13 2 02 R v ImRv x x 由可解得 14 R ImR RI RImR I v x0 2 00 2 7 2 15 0 2 02 2 7 2 ImR I R v x 反弹偏向角 的正切值为 16