高中数学导数专题复习

专题一专题一 第第 5 讲讲 导数及其应用导数及其应用 一 选择题 每小题 4 分 共 24 分 1 已知函数 f x 的导函数为 f x 且满足 f x 2xf 1 ln x 则 f 1 A e B 1 C 1 D e 解析 f x 2f 1 令 x 1 得 f 1 2f 1 1 1 x f 1 1 故选 B 答案 B 2 2012 泉州模拟 已知曲线 y 3ln x 的一条切线的斜率为 则切点 x2 4 1 2 的横坐标为 A 3 B 2 C 1 D 1 2 解析 设切点为 x0 y0 y x 1 2 3 x x0 1 2 3 x0 1 2 解得 x0 3 x0 2 舍去 答案 A 3 2012 聊城模拟 求曲线 y x2与 y x 所围成图形的面积 其中正确的是 A S x2 x dx B S x x2 dx 1 0 1 0 C S y2 y dy D S y dy 1 0 1 0 y 解析 两函数图象的交点坐标是 0 1 1 1 故积分上限是 1 下限是 0 由于在 0 1 上 x x2 故求曲线 y x2与 y x 所围成图形的面 S x x2 1 0 dx 答案 B 4 函数 f x 在 2 2 上的最大值为 2 则 a 的取 32 231 0 e 0 ax xxx x 值范围是 A B 1 2ln 2 0 1 2ln 2 C 0 D 1 2ln 2 解析 当 x 0 时 f x 6x2 6x 函数的极大值点是 x 1 极小值点 是 x 0 当 x 1 时 f x 2 故只要在 0 2 上 eax 2 即可 即 ax ln 2 在 0 2 上恒成立 即 a 在 0 2 上恒成立 故 a ln 2 ln2 x 1 2 答案 D 5 设函数 f x ax2 bx c a b c R 若 x 1 为函数 f x ex的一个 极值点 则下列图象不可能为 y f x 图象的是 解析 设 h x f x ex 则 h x 2ax b ex ax2 bx c ex ax2 2ax bx b c ex 由 x 1 为函数 f x ex的一个极值点 得当 x 1 时 ax2 2ax bx b c c a 0 c a f x ax2 bx a 若方程 ax2 bx a 0 有两根 x1 x2 则 x1x2 1 D 中图象一定不满足该条件 a a 答案 D 6 设 a R 若函数 f x eax 3x x R 有大于零的极值点 则 a 的取值范 围是 A 3 2 B 3 C 3 D 3 4 解析 由已知得 f x 3 aeax 若函数 f x 在 x R 上有大于零的极值点 则 f x 3 aeax 0 有正根 当 3 aeax 0 成立时 显然有 a 0 此时 x ln 由 x 0 得到参数 a 的取值范围为 a 3 1 a 3 a 答案 C 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 7 2012 济南三模 曲线 y ex x2在点 0 1 处的切线方程为 解析 y ex 2x 所求切线的斜率为 e0 2 0 1 切线方程为 y 1 1 x 0 即 x y 1 0 答案 x y 1 0 8 2012 枣庄市高三一模 dx 1 04 x2 解析 dx 表示圆 x2 y2 4 中阴影部分的面积的 1 04 x2 大小 易知 AOB OC 1 6 dx S OBC S扇形 AOB 1 04 x2 1 22 1 23 1 2 6 3 2 3 答案 3 2 3 9 2012 泉州模拟 若函数 f x x a ln x a 为常数 在定义域上是增函 x 数 则实数 a 的取值范围是 解析 f x x a ln x 在 0 上是增函数 x f x 1 0 在 0 上恒成立 即 a 2 1 2 a xx x 2 x 而 2 2 4 x 2 x 2 2 x x 当且仅当 x 1 x 即 x 1 时等号成立 a 4 答案 4 三 解答题 每小题 12 分 共 36 分 10 2012 泉州模拟 已知函数 f x x3 ax2 bx a2 a b R 1 若函数 f x 在 x 1 处有极值为 10 求 b 的值 2 若对任意 a 4 f x 在 x 0 2 上单调递增 求 b 的最小值 解析 1 f x 3x2 2ax b 则Error Error Error Error 或Error Error 当Error Error 时 f x 3x2 8x 11 64 132 0 所以函数有极值点 当Error Error 时 f x 3 x 1 2 0 所以函数无极值点 则 b 的值为 11 2 解法一 f x 3x2 2ax b 0 对任意的 a 4 x 0 2 都 成立 则 F a 2xa 3x2 b 0 对任意的 a 4 x 0 2 都成立 x 0 F a 在 a 4 单调递增或为常数函数 所以得 F a min F 4 8x 3x2 b 0 对任意的 x 0 2 恒成立 即 b 3x2 8x max 又 3x2 8x 3 2 x 4 3 16 3 16 3 当 x 时 3x2 8x max 得 b 4 3 16 3 16 3 所以 b 的最小值为 16 3 解法二 f x 3x2 2ax b 0 对任意的 a 4 x 0 2 都成 立 即 b 3x2 2ax 对任意的 a 4 x 0 2 都成立 即 b 3x2 2ax max 令 F x 3x2 2ax 3 2 x a 3 a2 3 当 a 0 时 F x max 0 b 0 当 4 a 0 时 F x max b a2 3 a2 3 又 max b a2 3 16 3 16 3 综上 b 的最小值为 16 3 11 已知函数 f x exln x 1 求函数 f x 的单调区间 2 设 x 0 求证 f x 1 e2x 1 3 设 n N 求证 ln 1 2 1 ln 2 3 1 ln n n 1 1 2n 3 解析 1 由题知 函数 f x 的定义域为 0 由 f x exln x ln x 1 令 f x 0 解得 x 1 e 令 f x 0 解得 0 x 1 e 故 f x 的增区间为 减区间为 1 e 0 1 e 2 证明 要证 f x 1 e2x 1 即证 x 1 ln x 1 2x 1 ln x 1 ln x 1 0 2x 1 x 1 2x 1 x 1 令 g x ln x 1 2x 1 x 1 则 g x 1 x 1 3 x 1 2 x 2 x 1 2 令 g x 0 得 x 2 且 g x 在 0 2 上单调递减 在 2 上单调递增 所以 g x min g 2 ln 3 1 故当 x 0 时 有 g x g 2 ln 3 1 0 即 f x 1 e2x 1得证 3 证明 由 2 得 ln x 1 2x 1 x 1 即 ln x 1 2 3 x 1 所以 ln k k 1 1 2 2 3 k k 1 1 3 k k 1 所以 ln 1 2 1 ln 2 3 1 ln n n 1 1 2n 3 2n 3 2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 n n 1 3 n 1 12 设函数 f x a x a x 0 1 a R x2 1 1 若 f x 在 0 1 上是增函数 求 a 的取值范围 2 求 f x 在 0 1 上的最大值 解析 1 当 x 0 1 时 f x a 1 x x2 1 要使 f x 在 x 0 1 上是增函数 需使 f x 1 0 在 0 1 上恒成立 ax x2 1 即 a 在 0 1 上恒成立 x2 1 x 1 1 x2 而 在 0 1 上的最小值为 1 1 x22 又 a R 0 a 为所求 2 2 由 1 知 当 0 a 时 f x 在 0 1 上