高中常用函数性质及图像汇总

高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 1 高中常用函数性质及图像高中常用函数性质及图像 一次函数一次函数 1 函数函数 1 确定函数定义域的方法 确定函数定义域的方法 1 关系式为整式时 函数定义域为全体实数 2 关系式含有分式时 分式的分母不等于零 3 关系式含有二次根式时 被开放方数大于等于零 4 关系式中含有指数为零的式子时 底数不等于零 5 实际问题中 函数定义域还要和实际情况相符合 使之有意义 2 一次函数一次函数 1 1 一次函数的定义 一次函数的定义 一般地 形如 是常数 且 的函数 叫做一次函数 其中 x 是 ykxb kb0k 自变量 当时 一次函数 又叫做正比例函数 0b ykx 一次函数的解析式的形式是 要判断一个函数是否是一次函数 就是判断 ykxb 是否能化成以上形式 当 时 仍是一次函数 0b 0k ykx 当 时 它不是一次函数 0b 0k 正比例函数是一次函数的特例 一次函数包括正比例函数 2 正比例函数及性质 正比例函数及性质 一般地 形如 y kx k 是常数 k 0 的函数叫做正比例函数 其中 k 叫做比例系数 注 正比例函数一般形式 y kx k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k 0 时 直线 y kx 经过三 一象限 从左向右上升 即随 x 的增大 y 也增大 当 k0 时 图像经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 向上平移 当 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 2 b0 图象经过第一 三象限 k0 图象经过第一 二象限 b0 y 随 x 的增大而增大 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移 b 个单位 当 b0b0 图象从左到右上升 y 随 x 的增大而增大 经过第一 二 四象限经过第二 三 四象限经过第二 四象限 k0 时 向上平移 当 b0 时 直线经过一 三象限 k0 y 随 x 的增大而增大 从左向右上升 k0 时 将直线 y kx 的图象向上平移个单b 位 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 4 b0 或 ax b0 h0 k0 h0 h0 k0 k0 时 图象分别位于第一 三象限 同一个象限内 y 随 x 的增大而 减小 当 k0 时 函数在 x0 上同为减函数 k 0 时 函数 在 x0 上同为增函数 定义域为 x 0 值域为 y 0 3 因为在 y k x k 0 中 x 不能为 0 y 也不能为 0 所以反比例函数的图 象不可能与 x 轴相交 也不可能与 y 轴相交 4 在一个反比例函数图象上任取两点 P Q 过点 P Q 分别作 x 轴 y 轴 的平行线 与坐标轴围成的矩形面积为 S1 S2 则 S1 S2 K 5 反比例函数的图象既是反比例函数的图象既是轴对称图形轴对称图形 又是 又是中心对称图形中心对称图形 它有两条 它有两条对称对称 轴轴 y x y x 即第一三 二四象限角平分线 即第一三 二四象限角平分线 对称中心对称中心是坐标原点 是坐标原点 6 若设正比例函数 y mx 与反比例函数 y n x 交于 A B 两点 m n 同号 那么 A B 两点关于原点对称 7 设在平面内有反比例函数 y k x 和一次函数 y mx n 要使它们有公共交 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 14 点 则 n 2 4k m 不小于 0 8 反比例函数 y k x 的渐近线 x 轴与 y 轴 9 反比例函数关于正比例函数 y x y x 轴对称 并且关于原点中心对称 10 反比例上一点 m 向 x y 分别做垂线 交于 q w 则矩形 mwqo o 为 原点 的面积为 k 11 k 值相等的反比例函数重合 值相等的反比例函数重合 k 值不相等的反比例函数永不相交 值不相等的反比例函数永不相交 12 k 越大 反比例函数的图象离坐标轴的越大 反比例函数的图象离坐标轴的距离距离越远 越远 13 反比例函数图象是中心对称图形 对称中心是原点 指数函数指数函数 概念 一般地 函数 y a x a 0 且 a 1 叫做指数函数 其中 x 是自变量 函数 的定义域是 R 注意 指数函数对外形要求严格 前系数要为 1 否则不能为指数函数 指数函数的定义仅是形式定义 指数函数的图像与性质指数函数的图像与性质 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 15 规律 1 当当两两个个指指数数函函数数中中的的 a 互互为为倒倒数数时时 两两个个函函数数关关于于 y 轴轴对对称称 但但 这这两两个个函函数数都都不不具具有有 奇奇偶偶性性 2 当 a 1 时 底数越大 图像上升的越快 在 y 轴的右侧 图像越靠近 y 轴 当 0 a 1 时 底数越小 图像下降的越快 在 y 轴的左侧 图像越靠近 y 轴 在 y 轴右边 底底大大图图高高 在 y 轴左边 底底大大图图低低 3 四字口诀 大增小减大增小减 即 当 a 1 时 图像在 R 上是增函数 当 0 a 1 时 图像在 R 上是减函数 4 指指数数函函数数既既不不是是奇奇函函数数也也不不是是偶偶函函数数 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 16 比较幂式大小的方法 比较幂式大小的方法 1 当底数相同时 则利用指数函数的单调性单调性进行比较 2 当底数中含有字母含有字母时要注意分类讨论分类讨论 3 当底数不同 指数也不同时 则需要引入中间量引入中间量进行比较 4 对多个数进行比较 可用 0 或 1 作为中间量进行比较 底数的平移 底数的平移 在指数上加上一个数 图像会向左平移 减去一个数 图像会向右平移 在 f X 后加上一个数 图像会向上平移 减去一个数 图像会向下平移 对数函数对数函数 1 对数函数的概念对数函数的概念 由于指数函数 y ax在定义域 上是单调函数 所以它存在反函数 我们把指数函数 y ax a 0 a 1 的反函数称为对数函数 并记为 y logax a 0 a 1 因为指数函数 y ax的定义域为 值域为 0 所以对数函数 y logax 的 定义域为 0 值域为 2 对数函数的图像与性质对数函数的图像与性质 对数函数与指数函数互为反函数反函数 因此它们的图像对称于直线对称于直线 y x 据此即可以画 出对数函数的图像 并推知它的性质 33 指数式与对数式的互化式 log b a NbaN 0 1 0 aaN 34 对数的换底公式 且 且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论 且 且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 35 对数的四则运算法则 若 a 0 a 1 M 0 N 0 则 1 log loglog aaa MNMN 2 logloglog aaa M MN N 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 17 3 loglog n aa MnM nR 36 设函数 记 若的定义域为 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xf 则 且 若的值域为 则 且 对于的情形 需要R0 a0 xfR0 a0 0 a 单独检验 37 对数换底不等式及其推广 若 则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 当时 在和上为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 当时 在和上为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论 设 且 则 1nm 0p 0a 1a 1 log log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 对数恒等式 a 0 a 1 N 0 Na N a log nan n aacba aaaaacb a 1 1 21 loglog 3log2log1logloglog a b c a1 a2 an 均大于 0 且不等于 1 为了研究对数函数 y logax a 0 a 1 的性质 我们在同一直角坐标系中作出函数 y log2x y log10 x y log10 x y logx y logx 的草图 2 1 10 1 由草图 再结合指数函数的图像和性质 可以归纳 分析出对数函数 y logax a 0 a 1 的图像的特征和性质 见下表 a 1a 1 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 18 图 象 1 x 0 2 当 x 1 时 y 0 3 当 x 1 时 y 0 0 x 1 时 y 0 3 当 x 1 时 y 0 0 x 1 时 y 0 性 质 4 在 0 上是增函数 4 在 0 上是减函数 补 充 性 质 设 y1 logax y2 logbx 其中 a 1 b 1 或 0 a 1 0 b 1 当 x 1 时 底大图低底大图低 即若 a b 则 y1 y2 当 0 x 1 时 底大图高底大图高 即若 a b 则 y1 y2 比较对数大小的常用方法有 比较对数大小的常用方法有 1 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性单调性直接进行判断 2 若底数为同一字母 则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论分类讨论 3 若底数不同 真数相同 则可用换底公式换底公式化为同底再进行比较 4 若底数 真数都不相同 则常借助 1 0 1 等中间量中间量进行比较 3 指数函数与对数函数对比指数函数与对数函数对比 名称指数函数对数函数 一般形式y ax a 0 a 1 y logax a 0 a 1 定义域 0 值域 0 函 数 值 变 化 情 况 当 a 1 时 0 1 0 1 0 1 x x x a x 当 0 a 1 时 0 1 0 1 0 1 x x x a x 当 a 1 时 1 0 1 0 1 0 log x x x x a 当 0 a 1 时 1 0 1 0 1 0 log x x x x a 单调性当 a 1 时 ax是增函数 当 0 a 1 时 ax是减函数 当 a 1 时 logax 是增函数 当 0 a 1 时 logax 是减函数 图像y ax的图像与 y logax 的图像关于直线关于直线 y x 对称对称 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 19 幂函数幂函数 幂函数的图像与性质幂函数的图像与性质 幂函数随着的不同 定义域 值域都会发生变化 可以采取按性质和图像 n yx n 分类记忆的方法 熟练掌握 当的图像和性质 列表如下 n yx 1 1 2 1 3 2 3 n 从中可以归纳出以下结论 它们都过点它们都过点 除原点外 任何幂函数图像与坐标轴都不相交 任何幂 除原点外 任何幂函数图像与坐标轴都不相交 任何幂 1 1 函数图像都不过第四象限 函数图像都不过第四象限 时 幂函数图像过原点且在上是增函数 1 1 1 2 3 3 2 a 0 时 幂函数图像不过原点且在上是减函数 1 1 2 2 a 0 任何两个幂函数最多有三个公共点任何两个幂函数最多有三个公共点 n yx 奇函数偶函数非奇非偶函数 1n O x y O x y O x y 01n O x y O x y O x y 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 20 0n O x y O x y O x y yx 2 yx 3 yx 1 2 yx 1 yx 定义域RRR 0 x x 0 x x 奇偶性奇奇奇非奇非偶非奇非偶奇 在第 象限的增减 性 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递增 在第 象限 单调递减 幂函数 yx x R 是常数 的图像在在 第一象限的分布规律第一象限的分布规律是 所有幂函数 yx x R 是常数 的 图像都过点 1 1 当 2 1 3 2 1 时函数 yx 的图像都过原 点 0 0 当 1 时 yx 的的图像在第一象限是第一象限的平分线平分线 如 2 c 当 3 2 时 yx 的的图像在第一象限是 凹型凹型 曲线 如 1 c 当 2 1 时 yx 的的图像在第一象限是 凸型凸型 曲线 如 3 c 当 1 时 yx 的的图像不过原点 0 0 且在第一象限是 下滑下滑 曲线 如 4 c 当当 0 时时 幂函数 yx 有下列性质 高考 我们在拼搏 让奋斗持之以恒让奋斗持之以恒 cai 20120819 20130607 08 21 1 图象都通过点 1 1 0 0 2 在第一象限内都是增函数 3 在第一象限内 1 时 图象是向下凸的 10 时 图象是向上凸的 4 在第一象限内 过点 1 1 后 图象向右上方无限伸展 当当 0 时时 幂函数 yx 有下列性质 1 图象都通过点 1 1 2 在第一象限内都是减函数 图象是向下凸的 3 在第一象限内 图象向上与 y 轴无限地接近 向右无限地与x轴无限地接近 4 在第一象限内 过点 1 1 后 越大