大学物理学第5章作业题.pdf

5 9 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上 求证 1 在棒的延长 线 且离棒中心为r 处的电场强度为 2 在棒的垂直平分线上 离棒为r 处的电场强度为 若棒为无限长 即L 试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度 相比较 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度 此时棒的长度不能忽略 因 而不能将棒当作点电荷处理 但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一 维的长直线上 如图所示 在长直线上任意取一线元dx 其电荷为dq Qdx L 它在点P 的电场强度为 整个带电体在点P 的电场强度 接着针对具体问题来处理这个矢量积分 1 若点P 在棒的延长线上 带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向 相同 2 若点P 在棒的垂直平分线上 如图 A 所示 则电场强度E 沿x 轴方 向的分量因对称性叠加为零 因此 点P 的电场强度就是 证 1 延长线上一点P 的电场强度 利用几何关系 r r x统一积分变 量 则 电场强度的方向沿x 轴 2 根据以上分析 中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴 大小 为 利用几何关系 sin r r 统一积分变量 则 当棒长L 时 若棒单位长度所带电荷 为常量 则P 点电场强度 此结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同 图 B 这说明只 要满足r2 L2 1 带电长直细棒可视为无限长带电直线 5 10 一半径为R 的半球壳 均匀地带有电荷 电荷面密度为 求球 心处电场强度的大小 分析 这仍是一个连续带电体问题 求解的关键在于如何取电荷元 现 将半球壳分割为一组平行的细圆环 如图所示 从教材第5 3 节的例1 可以看出 所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同 将所有 带电圆环的电场强度积分 即可求得球心O 处的电场强度 解 将半球壳分割为一组平行细圆环 任一个圆环所带电荷元 在点O 激发的电场强度为 由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同 利用几何关系 统一 积分变量 有 积分得 5 12 两条无限长平行直导线相距为r0 均匀带有等量异号电荷 电 荷线密度为 1 求两导线构成的平面上任一点的电场强度 设该点到 其中一线的垂直距离为x 2 求每一根导线上单位长度导线受到另一 根导线上电荷作用的电场力 分析 1 在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在此 所激发的电场的叠加 2 由F qE 单位长度导线所受的电场力等于 另一根导线在该导线处的电场强度乘以单位长度导线所带电量 即 F E 应该注意 式中的电场强度E 是另一根带电导线激发的电场强 度 电荷自身建立的电场不会对自身电荷产生作用力 解 1 设点P 在导线构成的平面上 E E 分别表示正 负带电导 线在P 点的电场强度 则有 2 设F F 分别表示正 负带电导线单位长度所受的电场力 则 有 显然有F F 相互作用力大小相等 方向相反 两导线相互吸引 5 15 边长为a 的立方体如图所示 其表面分别平行于Oxy Oyz 和 Ozx 平面 立方体的一个顶点为坐标原点 现将立方体置于电场强度 k E1 E2 为常数 的非均匀电场中 求电场对立方体各表面及整个 立方体表面的电场强度通量 解 如图所示 由题意E 与Oxy 面平行 所以任何相对Oxy 面平行的 立方体表面 电场强度的通量为零 即 而 考虑到面CDEO 与面ABGF 的外法线方向相反 且该两面的电场分布 相同 故有 同理 因此 整个立方体表面的电场强度通量 5 17 设在半径为R 的球体内 其电荷为球对称分布 电荷体密度为 k为一常量 试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关 系 分析 通常有两种处理方法 1 利用高斯定理求球内外的电场分布 由题意知电荷呈球对称分布 因而电场分布也是球对称 选择与带电球 体同心的球面为高斯面 在球面上电场强度大小为常量 且方向垂直于 球面 因而有 根据高斯定理 可解得电场强度的分布 2 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布 将带电球分割 成无数个同心带电球壳 球壳带电荷为 每个带电球壳在壳内激发的电 场 而在球壳外激发的电场 由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布 解1 因电荷分布和电场分布均为球对称 球面上各点电场强度的大小 为常量 由高斯定理得球体内 0 r R 球体外 r R 解2 将带电球分割成球壳 球壳带电 由上述分析 球体内 0 r R 球体外 r R 5 18 一无限大均匀带电薄平板 电荷面密度为 在平板中部有一 半径为r 的小圆孔 求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场 强度 分析 用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊 的对称性电场 本题的电场分布虽然不具有这样的对称性 但可以利用 具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加 求出电场的分 布 若把小圆孔看作由等量的正 负电荷重叠而成 挖去圆孔的带电平 板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷 电荷面密度 的小圆盘 这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在 该处激发电场的矢量和 解 由教材中第5 4 节例4 可知 在无限大带电平面附近 为沿平面外法线的单位矢量 圆盘激发的电场 它们的合电场强度为 在圆孔中心处x 0 则 E 0 在距离圆孔较远时x r 则 上述结果表明 在x r 时 带电平板上小圆孔对电场分布的影响可 以忽略不计 5 21 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面 半径分别为R1 和R2 R1 单位长度上的电荷为 求离轴线为r 处的电场强度 1 r R1 2 R1 r R2 3 r R2 分析 电荷分布在无限长同轴圆柱面上 电场强度也必定沿轴对称分 布 取同轴圆柱面为高斯面 只有侧面的电场强度通量不为零 且 求 出不同半径高斯面内的电荷 即可解得各区域电场的分布 解 作同轴圆柱面为高斯面 根据高斯定理 r R1 在带电面附近 电场强度大小不连续 电场强度有一跃变 R1 r R2 r R2 在带电面附近 电场强度大小不连续 电场强度有一跃变 这与5 20 题分析讨论的结果一致 5 22 如图所示 有三个点电荷Q1 Q2 Q3 沿一条直线等间距分布 且Q1 Q3 Q 已知其中任一点电荷所受合力均为零 求在固定Q1 Q3 的情况下 将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功 分析 由库仑力的定义 根据Q1 Q3 所受合力为零可求得Q2 外力作 功W 应等于电场力作功W 的负值 即W W 求电场力作功的方法有 两种 1 根据功的定义 电场力作的功为 其中E 是点电荷Q1 Q3 产生的合电场强度 2 根据电场力作功与电势能差的关系 有 其中V0 是Q1 Q3 在点O 产生的电势 取无穷远处为零电势 解1 由题意Q1 所受的合力为零 解得 由点电荷电场的叠加 Q1 Q3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强 度为 将Q2 从点O 沿y 轴移到无穷远处 沿其他路径所作的功相同 请想一 想为什么 外力所作的功为 解2 与解1相同 在任一点电荷所受合力均为零时 并由电势 的叠加得Q1 Q3 在点O 的电势 将Q2 从点O 推到无穷远处的过程中 外力作功 比较上述两种方法 显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁 这 是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大 而求电势分布要简 单得多 5 27 两个同心球面的半径分别为R1 和R2 各自带有电荷Q1 和Q2 求 1 各区域电势分布 并画出分布曲线 2 两球面间的电势差为 多少 分析 通常可采用两种方法 1 由于电荷均匀分布在球面上 电场分布 也具有球对称性 因此 可根据电势与电场强度的积分关系求电势 取 同心球面为高斯面 借助高斯定理可求得各区域的电场强度分布 再由 可求得电势分布 2 利用电势叠加原理求电势 一个均匀带电的球面 在球面外产生的电势为 在球面内电场强度为零 电势处处相等 等于球面的电势 其中R 是球面的半径 根据上述分析 利用电势叠加原理 将两个球面 在各区域产生的电势叠加 可求得电势的分布 解1 1 由高斯定理可求得电场分布 由电势 可求得各区域的电势分布 当r R1 时 有 当R1 r R2 时 有 当r R2 时 有 2 两个球面间的电势差 解2 1 由各球面电势的叠加计算电势分布 若该点位于两个球面内 即r R1 则 若该点位于两个球面之间 即R1 r R2 则 若该点位于两个球面之外 即r R2 则 2 两个球面间的电势差 5 29 一圆盘半径R 3 00 10 2 m 圆盘均匀带电 电荷面密度 2 00 10 5 C m 2 1 求轴线上的电势分布 2 根据电场强度与电 势梯度的关系求电场分布 3 计算离盘心30 0 cm 处的电势和电场强 度 分析 将圆盘分割为一组不同半径的同心带电细圆环 利用带电细环轴 线上一点的电势公式 将不同半径的带电圆环在轴线上一点的电势积分 相加 即可求得带电圆盘在轴线上的电势分布 再根据电场强度与电势 之间的微分关系式可求得电场强度的分布 解 1 带电圆环激发的电势 由电势叠加 轴线上任一点P 的电势的 1 2 轴线上任一点的电场强度为 2 电场强度方向沿x 轴方向 3 将场点至盘心的距离x 30 0 cm 分别代入式 1 和式 2 得 当x R 时 圆盘也可以视为点电荷 其电荷为 依照点电荷电场中电 势和电场强度的计算公式 有 由此可见 当x R 时 可以忽略圆盘的几何形状 而将带电的圆盘当 作点电荷来处理 在本题中作这样的近似处理 E 和V 的误差分别不超 过0 3 和0 8 这已足以满足一般的测量精度 5 30 两个很长的共轴圆柱面 R1 3 0 10 2 m R2 0 10 m 带有 等量异号的电荷 两者的电势差为450 求 1 圆柱面单位长度上带 有多少电荷 2 r 0 05 m 处的电场强度 解 1 由习题5 21 的结果 可得两圆柱面之间的电场强度为 根据电势差的定义有 解得 2 解得两圆柱面之间r 0 05m 处的电场强度 5 34 在面上倒扣着半径为R 的半球面 半球面上电荷均匀分布 电 荷面密度为 A 点的坐标为 B 点的坐标为 求电势差