完全数的前世今生

公元前3世纪时 古希腊数学家对数字情有独钟 他们在对数的因数分解中 发现了一 些奇妙的性质 如有的数的真因数之和彼此相等 于是诞生了亲和数 而有的真因数之和居然 等于自身 于是发现了完全数 6是人们最先认识的完全数 发现完全数 研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1 2 3之和还等于6 他十分感兴趣地说 6象征着完满的婚姻以及健康和美丽 因为它的部分是完整的 并且其和等于自身 古希腊哲学家柏拉图在他的 共和国 一书中提出了完全数的概念 约公元前300年 几何大师欧几里得在他的巨著 几何原本 第九章最后一个命题首 次给出了寻找完全数的方法 被誉为欧几里得定理 如果2n 1是一个素数 那么自然数2n 1一定是一个完全数 并给出了证明 公元1世纪 毕达哥拉斯学派成员 古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著 算 术入门 一书中 正确地给出了6 28 496 8128这四个完全数 并且通俗地复述了欧几里 得寻找完全数的定理及其证明 他还将自然数划分为三类 富裕数 不足数和完全数 其意义 分别是小于 大于和等于所有真因数之和 千年跨一步 完全数在古希腊诞生后 吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找 可是 一 代又一代人付出了无数的心血 第五个完全数没人找到 后来 由于欧洲不断进行战争 希腊 罗马科学逐渐衰退 一些优秀的科学家带着他 们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯 印度 意大利等国 从此 希腊 罗马文明一蹶不振 直到1202年才出现一线曙光 意大利的斐波那契 青年时随父游历古代文明的希腊 埃及 阿拉伯等地区 学到了不少数学知识 他才华横溢 回国后潜心研究所搜集的数学 写 出了名著 算盘书 成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一 个人 并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星 斐波那契没有放过完全数的研究 他经过推 算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则 可惜没有人共鸣 成为过眼烟云 光阴似箭 1460年 还当人们迷惘之际 有人偶然发现在一位无名氏的手稿中 竟神 秘地给出了第五个完全数33550336 这比起第四个完全数8128大了4000多倍 跨度如此之 大 在计算落后的古代可想发现者之艰辛了 但是 手稿里没有说明他用什么方法得到的 又 没有公布自己的姓名 这更使人迷惑不解了 发现非一帆风顺 在无名氏成果鼓励下 15至19世纪是研究完全数不平凡的日子 其中17世纪出现了小 高潮 16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头 落下了口吃的疾患 后来靠自学成为一位著名数学家 他研究发现 当n 2和n 3至39的奇数时 2n 1 2n 1 是完全数 17世纪神数术大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著 数的玄学 中 一口气列出了28 个所谓完全数 他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个 可惜两人都没有给出证明和 运算过程 后人发现其中有许多是错误的 1603年 数学家克特迪历尽艰辛 终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的 同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216 217 1 和218 219 1 但他又错误地认为222 223 1 228 229 1 和236 237 1 也是完全数 这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了 公元前3世纪时 古希腊数学家对数字情有独钟 他们在对数的因数分解中 发现了一 些奇妙的性质 如有的数的真因数之和彼此相等 于是诞生了亲和数 而有的真因数之和居然 等于自身 于是发现了完全数 6是人们最先认识的完全数 发现完全数 研究数字的先师毕达哥拉斯发现6的真因数1 2 3之和还等于6 他十分感兴趣地说 6象征着完满的婚姻以及健康和美丽 因为它的部分是完整的 并且其和等于自身 古希腊哲学家柏拉图在他的 共和国 一书中提出了完全数的概念 约公元前300年 几何大师欧几里得在他的巨著 几何原本 第九章最后一个命题首 次给出了寻找完全数的方法 被誉为欧几里得定理 如果2n 1是一个素数 那么自然数2n 1一定是一个完全数 并给出了证明 公元1世纪 毕达哥拉斯学派成员 古希腊著名数学家尼可马修斯在他的数论专著 算 术入门 一书中 正确地给出了6 28 496 8128这四个完全数 并且通俗地复述了欧几里 得寻找完全数的定理及其证明 他还将自然数划分为三类 富裕数 不足数和完全数 其意义 分别是小于 大于和等于所有真因数之和 千年跨一步 完全数在古希腊诞生后 吸引着众多数学家和数学爱好者像淘金般去寻找 可是 一 代又一代人付出了无数的心血 第五个完全数没人找到 后来 由于欧洲不断进行战争 希腊 罗马科学逐渐衰退 一些优秀的科学家带着他 们的成果和智慧纷纷逃往阿拉伯 印度 意大利等国 从此 希腊 罗马文明一蹶不振 直到1202年才出现一线曙光 意大利的斐波那契 青年时随父游历古代文明的希腊 埃及 阿拉伯等地区 学到了不少数学知识 他才华横溢 回国后潜心研究所搜集的数学 写 出了名著 算盘书 成为13世纪在欧洲传播东方文化和系统将东方数学介绍到西方的第一 个人 并且成为西方文艺复兴前夜的数学启明星 斐波那契没有放过完全数的研究 他经过推 算宣布找到了一个寻找完全数的有效法则 可惜没有人共鸣 成为过眼烟云 光阴似箭 1460年 还当人们迷惘之际 有人偶然发现在一位无名氏的手稿中 竟神 秘地给出了第五个完全数33550336 这比起第四个完全数8128大了4000多倍 跨度如此之 大 在计算落后的古代可想发现者之艰辛了 但是 手稿里没有说明他用什么方法得到的 又 没有公布自己的姓名 这更使人迷惑不解了 发现非一帆风顺 在无名氏成果鼓励下 15至19世纪是研究完全数不平凡的日子 其中17世纪出现了小 高潮 16世纪意大利数学家塔塔利亚小时曾被法国入侵者用刀砍伤舌头 落下了口吃的疾患 后来靠自学成为一位著名数学家 他研究发现 当n 2和n 3至39的奇数时 2n 1 2n 1 是完全数 17世纪神数术大师庞格斯在一本洋洋700页的巨著 数的玄学 中 一口气列出了28 个所谓完全数 他是在塔塔利亚给出的20个的基础上补充了8个 可惜两人都没有给出证明和 运算过程 后人发现其中有许多是错误的 1603年 数学家克特迪历尽艰辛 终于证明了无名氏手稿中第五个完全数是正确的 同时他还正确地发现了第六个和第七个完全数216 217 1 和218 219 1 但他又错误地认为222 223 1 228 229 1 和236 237 1 也是完全数 这三个数后来被大数学家费尔马和欧拉否定了 从1952年开始 人们借助高性能计算机发现完全数 至1985年才找到18个 多么可 怜 等待揭穿之谜 迄今为止 发现的30个完全数 统统都是偶数 于是 数学家提出猜测 存不存在奇 数完全数 1633年11月 法国数学家笛卡尔给梅森一封信中 首次开创奇数完全数的研究 他认 为每一奇完全数必具有PQ2的形式 其中P是素数 并声称不久他会找到 可不仅直到他死时 未能找到 而且至今 没有任何一个数学家发现一个奇完全数 它成为世界数论又一大难题 虽然 谁也不知道它们是否存在 但经过一代又一代数学家研究计算 有一点是明确 的 那就是如果存在一个奇完全数的话 那么它一定是非常大的 有多大呢 远的不说 当代 大数学家奥尔检查过1018以下自然数 没有一个奇完全数 1967年 塔克曼宣布 如果奇完 全数存在 它必须大于1036 这是一个37位数 1972年 有人证明它必大于1050 1982年 有人证明 它必须大于10120 这种难于捉摸的奇完全数也许可能有 但它实在太大 以至超 出了人们能够用计算机计算的范围了 对奇完全数是否存在 产生如此多的估计 也是数学界的一大奇闻 关于完全数还有许多待揭之谜 比如 完全数之间有什么关系 完全数是有限还是无穷 多个 存在不存在奇完全数 人们还发现完全数的一个奇妙现象 把一个完全数的各位数字加起来得到一个数 再 把这个数的各位数字加起来 又得到一个数 一直这