数列递推与通项

高二级数学竞赛辅导专题 第 1 页 共 4 页 数列递推与通项 一 一 观察法观察法 已知数列前若干项 求该数列的通项时 一般对所给的项观察分析 寻找规律 从而 根据规律写出此数列的一个通项 1 根据给出数列的前 n 项 写出下列的一个通项公式 1 11 103 1005 10007 2 7 77 777 7777 3 2 6 12 20 30 42 4 1 3 3 5 5 7 7 9 9 5 1 0 3 0 5 0 二 二 公式法公式法 1 当已知数列为等差或等比数列时 可直接利用等差或等比数列的通项公式 只需 求得首项及公差公比 2 已知数列的前 n 项和求通项时 通常用公式 2 1 1 1 nSS nS a nn n 2 已知下列数列的前 n 项和求通项公式 32 2 32 1 2 n n n s nns 练习 1 已知数列 an 中 a1 1 Sn 求 an 的通项公式 12 1 1 n n S S 用此公式时要注意结论有两种可能 一种是 一分为二 即分段式 另一种是 合二 为一 即 a1和 an合为一个表达式 高二级数学竞赛辅导专题 第 2 页 共 4 页 三 三 由递推式求数列通项由递推式求数列通项 迭加法 迭乘法 对于递推公式确定的数列的求解 通常可以通过递推公式的变换 转化为等差数列或 等比数列问题 有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列 称辅助数列法 辅助数列法 例 3 根据的首项和递推公式 写出数列的前 5 项及通项公式 n a n n n nn na a aa naaa 1 1 2 12 0 1 11 11 例 4 迭加法 已知数列 an 的前 n 项和 Sn满足 Sn Sn 2 3 n 1 n 3 且 2 1 S1 1 S2 求 an 的通项公式 2 3 例 5 已知数列 中 写出数列的前 5 项 n a 2 1 1 a 2 14 1 naa nn 变式变式 1 1 已知数列 中 求 求 n a 2 1 1 a 2 14 1 naa nn2006 a 变式变式 2 2 已知数列 中 求 求 n a 2 1 1 a 2 14 1 naa nnn a 高二级数学竞赛辅导专题 第 3 页 共 4 页 练习 2 在数列 an 中 a1 2 且 an 1 求 an 的通项公式 2 1 2 n a 四 转化为常见类型求解 四 转化为常见类型求解 1 倒数变换法 形如 为常数 且 的递推公式 可令 nnnn dacaaa 11 dc 0 0 dc 则可转化为型 n n n n b a b a 1 1 1 1 qpaa nn 1 2 对数变换法 例 6 数列中 且 求数列的通项公式 na 3 1 1 a 12 2 1 n n n a a a na 例 7 已知数列满足 求 n a 2 11 2 2 nn aaan n a 高二级数学竞赛辅导专题 第 4 页 共 4 页 例 8 已知数列满足 n a1 1 a12 1 nn aa Nn 求数列的通项公式 n a 例 9 求和法 利用公式 an Sn Sn 1 n 2 已知正数数列 an 的前 n 项和 Sn 求 an 的通项公式 n n a a 1 2 1 练习 2 数列中 是常数