杨梅中学2012年12 月月考试题目

1 杨梅中学杨梅中学 20122012 年年 1212 月月考试题月月考试题 一 选择题 1 已知集合 则 RA N 的子集有 1 xxA A 1 个 B 4 个 C 2 个 D 8 个 2 已知是第四象限角 且 则 5 3 sin tan A B C D 4 3 3 4 4 3 3 4 3 下列函数中 在区间 0 1 上为增函数的是 A B C D xysin x y 1 xy 2 1 log xxy 2 4 圆过点 4 2 的最短弦所在直线的斜率为06 22 xyx A 2B 2C D 2 1 2 1 5 一个正方体的展开图如图所示 A B C D 为原正方体的 顶点 则在原来的正方体中 A B AB 与 CD 相交CDAB C D AB 与 CD 所成的角为CDAB 60 6 若一个等差数列前 3 项和是 34 最后 3 项和为 146 且所有项的和为 390 则这 个数列有 A 13 项 B 12 项 C 11 项 D 10 项 7 将一颗质地均匀的骰子 它是一种各面上分别标有点数 1 2 3 4 5 6 的正 方体玩具 先后抛掷 2 次 记第一次出现的点数为 记第二次出现的点数为m 向量 则和共线的概率为 n 2 2 nma 1 1 b a b A B C D 18 1 12 1 9 1 12 5 8 设函数是定义在上的奇函数 且对任意都有 xfRR x 4 xfxf 当时 则的值为 20 x x xf2 2011 2012 ff A 2 B C D 2 2 1 2 1 A BC D 2 9 为了得到函数的图象 只需将函数的 2 1 cossin3cos2 xxxyxy2cos 图象 A 向左平移个长度单位B 向右平移个长度单位 6 6 C 向左平移个长度单位 D 向右平移个长度单位 3 3 10 已知函数的极大值点和极小值点都在区间 0 2 23 axaxxxf 内 则实数 a 的取值范围是 11 A 0 2 B 0 2 C 2 D 3 23 11 若等边的边长为 平面内一点 M 满足 则ABC 32CACBCM 3 1 3 1 等于MBMA A B C 2D 3232 2 12 设椭圆的中心在原点 焦点在轴上 离心率 已知点到这个椭x 2 3 e 2 3 0 P 圆上的点的最远距离为 这个椭圆方程是 7 A B C D1 28 2 2 yx 1 312 2 2 yx 1 416 2 2 yx 1 4 2 2 y x 二 填空题 13 是虚数单位 若复数为纯虚数 则实数 m 的值为 ii 1 1 2 mmz 14 已知 且满足 则的最小值为 00 ba 3 ba ba 41 15 记不等式组表示的平面区域为 M 平面区域 M 的面积是 01 02 1 yx yx x 16 已知函数 f x 定义在正整数集上 且对于任意的正整数 都有x 且 则 f 2012 2 2 1 f xf x f x 1 2 3 6ff 3 三 解答题三 解答题 17 10 分 在中 分别是三内角 A B C 的对应的三边 已知ABC abc 222 bcabc 求角 A 的大小 若 判断的形状 22 2sin2sin1 22 BC ABC 18 12 分 已知盒中有 5 个红球 t 个白球共 5 t 个球 从盒中每次抽取一 个 球然后放回 连续抽取三次 设每次抽取时每个球被抽到的概率是相等的 若第一 次 第三次均抽到白球的概率为 求抽到白球次数的分布列和数学期望 1 36 19 12 分 在几何体 ABCDE 中 BAC DC 平面 ABC EB 平面 ABC F 2 是 BC 的中点 AB AC BE 2 CD 1 求证 DC 平面 ABE 求证 AF 平面 BCDE 求证 求二面角 D AF E 的大小 A BC D E F 4 20 12 分 已知函数和的图像在处的切xbxxfln 2 3 9 x x xg4 x 线互相平行 求的值 b 求的极值 xf 21 12 分 若椭圆过点 3 2 离心率为 O 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 3 的圆心为原点 直径为椭圆的短轴 M 的方程为 过 M4 6 8 22 yx 上任一点 P 作 O 的切线 PA PB 切点为 A B 1 求椭圆的方程 2 若直线 PA 与 M 的另一交点为 Q 当弦 PQ 最大时 求直线 PA 的直线方程 3 求的最大值与最小值 OBOA 22 12 分 设函数 f x x 其中 a R ln 2 a x 1 求 f x 的单调递增区间 2 求函数的 ee lnln e 0 g xxxx 5 单调区间 3 求证 e 2 e e e 2012 年秋 12 月月考数学 理 参考答案 题 号 123456789101112 BCADDA B AADDD 12 设椭圆方程为 为椭圆上的点 由得 0 1 2 2 2 2 ba b y a x yxM 2 3 a c ba2 34 2 1 3 2 3 2222 2 bybbyyxAM 若 则当时最大 即 故矛 2 1 bby 2 AM7 3 3 2 b 2 1 2 3 7 b 盾 若时 时 2 1 b 2 1 y734 2 b1 2 b 所求方程为 1 4 2 2 y x 13 1 14 3 15 25 4 16 4024 17 解 在中 又ABC 222 2cosbcabcA 222 bcabc 6 分 1 cos 23 AA 8 22 2sin2sin1 22 BC 1 cos1 cos1BC 分 2 coscos1 coscos 1 3 BCBB 22 coscoscossinsin1 33 BBB 6 31 sincos1 22 BB sin 1 6 B 为等边三角形 14 分0B 33 BC ABC 18 解 将事件 抽取一次得到白球 记作 A 则 P A t 5 t 在三次独立重复试验中 第一次 第三次均抽到白球的概率为 p A A P A P A 2 t 5 t 1 36 t 1 即盒中有 5 个红球 1 个白球 P A 1 6 设 是三次抽取中抽到白球的次数 则 B 3 1 6 的分布列为 0123 P 125 216 25 72 5 72 1 216 E 3 P A 3 1 6 1 2 答 抽到白球次数的数学期望为 1 2 19 解 DC 平面 ABC EB 平面 ABC DC EB 又 DC平面 ABE EB平面 ABE DC 平面 ABE 4 分 DC 平面 ABC DC AF 又 AF BC AF 平面 BCDE 8 分 由 2 知 AF 平面 BCDE AF EF 在三角形 DEF 中 由计算知 DF EF EF 平面 AFD 又 EF平面 AFE 平面 AFD 平面 AFE 12 分 20 解 对两个函数分别求导 得 x b xxf 2 2 3 9 3 x xx xg 依题意 有 4 4 gf 7 56 4 8 b 8 b 分 显然的定义域为 0 xf 由上问知 8 b x x x xxf 828 2 2 令 解得或 舍去 8 分0 x f2 x2 x 当时 当时 20 x0 x f2 x0 x f 在 0 2 上是单调递减函数 在上是单调递增函数 xf 2 在时取得极小值 xf2 x 且极小值为 12 分2ln84 2 f 解 当为实数时 则 z 01 065 2 a aa 或 且当时 为实数 5 分1 a6 a 1a6 az 当为虚数时 则 z 01 065 2 a aa 且 为虚数 10 分1 a6a z 当为纯虚数时 则z 01 067 065 2 2 a aa aa 为纯虚数 14 分1 az 8 21 解 1 由题意得 10 15 3 3 1 49 2 2 222 22 b a cba a c ba 所以椭圆的方程为 3 分1 1015 22 yx 2 由题可知当直线 PA 过圆 M 的圆心 8 6 时 弦 PQ 最大 因为直线 PA 的斜率一定存在 设直线 PA 的方程为 y 6 k x 8 又因为 PA 与圆 O 相切 所以圆心 0 0 到直线 PA 的距离为10 即 可得 10 1 68 2 k k 9 13 3 1 kk或 所以直线 PA 的方程为 3 分0509130103 yxyx或 3 设 则 AOP 2 AOBBOPAOP 则1 20 1 21cos2cos 2 22 OPOP OA AOB 8210 12210 minmax OPOP 10 200 cos 2 OP AOBOBOAOBOA 6 18 155 8 55 minmax OBOAOBOA 解 1 f x x 的定义域是 2 分ln 2 a x 0 2 1 22 axa fx xx 当时 对恒成立 即单调增区间是 20a 0fx 0 x 0 分 当时 由得 即单调增区间是 4 分0a 0fx 2 a x 2 a 证明 2 构造函数 6 分 ee lnln e 0 g xxxx 8 分 1e 1e x g x xx 当时 ex 0g x 9 即在上是单调增函数 10 分 ee lnln e g xxx e 因为 所以 e e 0gg 即 ee ln lne 0 所以 故 e 12 分 e e ln 2e 2 e e e 10 21 12 分 已知 OFQ 的面积为 2 且 6 OF FQm 1 设 m 4 求向量的夹角 正切值的取值范围 66 OFFQ 与 2 设以 O 为中心 F 为焦点的双曲线经过点 Q 如图 m 1 OFc c2 当取得最小值时 求此双曲线的方程 OQ 22 12 分 已知二次函数同时满足 不等式 2 Rxaaxxxf 的解集有且只有一个元素 在定义域内存在 使得不等式0 xf 21 0 xx 成立 设数列的前 n 项和 1 求表达式 21 xfxf n a nfSn xf 2 求数列的通项公式 n a 3 设 前 n 项和为 5 3 n a n b 1 1 2 6 nn nn n n bb bbb c n c n T 恒成立 求 m 范围对mnTn 2 nNn 11 21 1 1 sin 2 OFQ SOF FQOFQ tan cosOF FQOF FQOFQm 又 m 4 1 tan 4 6 分 66 2 设所求的双曲线方程为 a 0 b 0 Q x1 y1 x2 a2 y2 b2 1 则 x1 c y1 S OFQ y1 2 y1 1 26 又由 c 0 x1 c y1 x1 c c 1 c2 x1 c 8 分OF FQ OQ x12 y1212 当且仅当 c 4 时 最小 这时 Q 点的坐标为 或 12 分 6666 a2 4 b2 12 故所求的双曲双曲线方程为 x2 4 y2 12 1 14 分 22 解 1 的解集有且只有一个元素 0 xfQ 4004 2 aaaa或 当 a 4 时 函数上递减 故存在 使得不 2 0 44 2 在 xxxf 21 0 xx 等式成立 当 a 0 时 函数上递增 21 xfxf 0 2 在xxf 故不存在 使得不等式成立 综上 得 a 4 21 0 xx 21 xfxf 44 2 xxxf 2 由 1 可知 当 n 1 时 44 2 nnSn1 11 sa 当时 2 n 1 nnn ssa 4 1 4 1 44 22 nnnn 52 n 12 252 1 1 1 nn n ssa nnn 3 2 3 1 27 3 5 n n