高等数学第9章参考答案.doc

精品文档 第八章 多元函数的微分法及其应用 1 多元函数概念 一、设.二、求下列函数的定义域：1、 2、 三、求下列极限： 1、 （0） 2、 () 四、证明极限 不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为, 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数 在整个xoy面上连续。 证明：当时，。当时， ，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy面上连续。六、设且当y=0时，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=，z 2 偏导数1、设z= ,验证 证明：，2、求空间曲线在点（）处切线与y轴正向夹角()3、设, 求 ( 1)4、设, 求 ， ， 解： ， 5、设，证明 : 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 连续； 不存在， 7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 （2fx(a,b)） 3 全微分1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 _ (A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是_ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在 （C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1） 2） 解： 3） 解：3、设， 求 解： =4、设 求： 5、讨论函数在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解： 所以在（0，0）点处连续。 ，所以可微。 4 多元复合函数的求导法则1、 设，求 解：=2、 设，求 3、 设， 可微，证明 4、 设，其中具有二阶连续偏导数，求， 解： , , = ,5、 设，其中具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求解： ， 6、 设，求解：。7、设，且变换 可把方程=0 化为 ， 其中具有二阶连续偏导数，求常数的值 证明： 得： a=38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,又， 求 和 (1) , (a+ab+ab2+b3) 5 隐函数的求导公式1、 设，求解：令，2、 设由方程确定，其中可微，证明 3、 设由方程所确定，其中可微，求 4、 设，求， ( ，)5、 设由方程所确定，可微，求解：令 ，则6、设由方程所确定，求 ()7、设z=z(x,y)由方程 所确定，求, , , 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程解：切线方程为 法平面方程2、 求曲线 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 ，法平面方程：3、 求曲面在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为 及法线方程4、 设可微，证明由方程所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明：令，则 ，所以在（）处的切平面与定向量（）平行。5、 证明曲面）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为证明：令，则 在任一点处的切平面方程为 在在三个坐标轴上的截距分别为在三个坐标轴上的截距的平方和为证明曲面上任意一点处的切平面都通过原点7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有 k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ： 两边对t 求导，并令t=1 设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为： +=0 此平面过原点（0，0，0） 7 方向导数与梯度1、 设函数， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。2）在点（1，3）处沿着方向的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为 , 方向导数达到最大值的方向为，方向导数达到 最小值的方向为。2、 求函数在（1，2，-1）处沿方向角为的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：方向导数 为，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 ，此时最大值为 3、 求函数在（1，1，-1）处沿曲线在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。解：，该函数在点（1，1，-1）处的方 向导数为，4、求函数在（1，1，-1）处的梯度。解：， 8 多元函数的极值及求法 1、求函数的极值。 答案：（，）极小值点 2求函数的极值 答案：极小值 3. 函数在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、 求函数在条件下的条件极值解： ，极小值为5、 欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。（长和宽2米，高3米）6、 在球面（）上求一点，使函数 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明 有证明：令令，解得驻点。所以函数在处达到极大值。极大值为。即，令得。 7、求椭球面被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的 长度解： ， 长半轴 ， 短半轴 第八章 自测题一、选择题：（每题2分，共14分）1、设有二元函数 则 A、存在；B、不存在；C、存在， 且在(0,0)处不连续；D、存在， 且在(0,0)处连续。2、函数在各一阶偏导数存在且连续是在连续的 A、必要条件； B、充分条件；C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。3、函数 在(0,0)点处 A、极限值为1； B、极限值为-1；C、连续； D、无极限。4、在处，存在是函数在该点可微分的 （A）必要条件； （B）充分条件； （C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。5、点是函数的 （A）极小值点； （ B）驻点但非极值点；（C）极大值点； （D）最大值点。6、曲面在点P(2,1,0)处的切平面方程是 （A）； （B）；（C）； （D）7、已知函数均有一阶连续偏导数，那么 (A); (B) ;(C) ; (D) 二、填空题：（每题分，共18分）1、 （ 0 ）、设，则（ ）、设则( 0 )、设，则在点处的全微分.、曲线在点处的切线方程为( )、曲线在点(1,1,1)处的切线方程为( )三、计算题（每题6分）1、设，求的一阶偏导数 ， 。2、设，求此函数在点处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 P到方向的方向导数( ，)、设具有各二阶连续偏导数，求解：、设 求和。 不存在，故不存在，同理，也不存在。 当时，有 、设由方程所确定，求 ( )、设，具有连续的二阶偏导数，可导，求 、设确定函数，求。 、设，式中二阶可导，求解：记，则，类似地，有四、（分）试分解正数