数列通项公式及数列求和经典课例

数列通项公式及数列求和数列通项公式及数列求和 课例课例 一 设计理念 首先通过解剖导学案 让学生经历知识网络的自主构建 然后在汇报和例题解法展示活动中进行知 识网络的完善和思想 方法的总结提升 以导学案为载体 立足过程 增强解决数列综合题的能力 二 教材分析 教材的地位和作用 数列是高中数学的一个重要组成部分 数列是函数概念的继续和延伸 几乎每年高考试卷中都会出 现一道数列综合题 且这一部分内容与函数 几何等内容联系较广 数列的通项公式及前 n 项和公式都 可以看作项数 n 的函数 是函数思想在数列中的应用 数列以通项为纲 数列的问题 最终归结为对数列 通项的研究 而数列的前 n 项和可视为数列的通项 通项及求和是数列中最基本也是最重要的问 n S n a 题之一 与数列极限及数学归纳法有着密切的联系 是高考对数列问题考查中的热点 本点的动态函数 观点解决有关问题 为其提供行之有效的方法 学情分析 学生通过等差 等比数列的学习已具备了解决类似问题的一定能力 本节课通过对数列前 n 项和的 求法的介绍与应用 使学生更进一步掌握数列求和的通法与基本思路 教学目标 1 知识与技能 掌握由数列前项和表达式求通项公式的求法 n an n S n a 掌握由几种类型递推公式求数列的通项公式的方法 累加法 累乘法 配凑构造新数列 n a 法 掌握两类典型的数列求和方法 错位相减法 裂项相消法 2 过程与方法 通过各种方法的综合运用 加深对这些方法的理解 3 情感 态度与价值观 通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 重难点分析 重点 掌握由递推公式求通项 数列求和的方法 难点 错位相减法 裂项相消法 三 突破重难点的方法与手段 先通过导学案引导学生自主进行梳理 再进行展示交流 然后进行例题探究与展示 让学生充分经 历学习与探究过程 四 教法与学法 教法 教师通过导学案引导学生进行自主学习 学法 学生以导学案作为素材 在自主学习基础上进行汇报 展示 通过同伴互助不断完善知识网 络 五 教学手段与媒体 多媒体和导学案相结合 六 课前准备 教师 导学案 课件 学生 完成导学案上的问题 为小组展示做好准备 七 教学过程设计 教学 环节 教学 内容 双边 活动 设计 意图 小小 组组 展展 示示 活动一 类型类型 1 已知数列前项和表达式 求通项公式的 n an n a 方法 类型类型 2 形如的递推数列通项公式求法 1 nfaa nn 类型类型 3 形如的递推数列通项公式求法 1 nf a a n n 类型类型 4 形如的递推数列通项公式求法 1nn apaq 活动二 1 错位相减法 错位相减法 2 裂项相消法 裂项相消法 1 n nd 1 21 21 nn 学生代表展 示自主梳理 结果 培养学生自主 归纳总结能力 自信心和语言 表达能力 交交 流流 完完 善善 教师引导全 班学生对展 示结果进行 完善 通过同伴互助 逐步完善知识 网络 网 络 构 建 教教 师师 点点 评评 教师对学生 展示和交流 的结果进行 总结 点评 对学生展示活 动进行归纳 指出存在的问 题 例 题 研 讨 小小 组组 展展 示示 活动三 例 1 已知数列 n a前n项和为 n S 求下列条件下数列的通 项公式 n a 252 n n S 2 1 a 23 1 naa nn 1 1 a 2 1 1 na n n a nn 1 1 a 23 1 nn aa 活动四 变式训练 1 已知数列 n a前n项和为 n S 求下列条件下数列的通项公 教师引导学 生进行合作 探究和小组 代表展示结 果 培养学生的合 作意识和探究 精神 通过生 生是为碰撞相 互启迪 式 1 3 1 nn aS n nn aaa2 1 11 nn a n n aa 2 4 11 1 5a 且 1 34 nn aa 活动五 例 2 设 2Nnna n n 求数列 n a前n项和 n S 设 1 1 4 2 n bn Nn 求数列 n b前n项和 n T 交交 流流 补补 充充 教师引导全 班学生对展 示结果进行 评价 补充 发挥集体智慧 拓拓 展展 延延 伸伸 活动六 变式训练 若 则 1 3521 110 111 1 22 31 x xN x x x 对正整数 若曲线在处的切线与轴交n 1 n yxx 2x y 点的纵坐标为 则的前项和为 n a 1 n a n n 拓展学生的思 维 把学生的 思维进一步推 向深度 通通 法法 总总 结结 教师引导学 生总结数列 的通项与求 和的通性通 法 收 获 与 感 悟 知识点 数学方法 数学思想 情感 态度与价值观教师引导学 生从左栏三 个角度进行 反思 数学知识和思 维的内化 八 作业布置 1 求下列条件下数列的通项公式 n a 12 3 11 nn aaa134 2 11 naaa nn 1 2 3 2 11 n n n a a aa 23 1 11 nn SSS 2 23 4 2 1121 Nnnaaaaa nnn 1 6a 1 23n nn aa nN n nn Sa 2 8 3 23 1 11 nn SSS 2 设数列的前项和为 已知 n an n S 1 1 a 1 42 nn Sa I 设 证明数列是等比数列 II 求数列的通项公式 1 2 nnn baa n b n a 数列通项公式及数列求和 课例 一 课例描述 第一次授课 教学目标教学目标 1 掌握由求通项的求法 n s n a 2 掌握由几种类型递推公式求通项的方法 累加法 累乘法 配凑构造新数列法 n a 3 掌握两种数列求和的方法 错位相减法 裂项相消法 教学重点教学重点 掌握由递推公式求通项的几种方法 数列求和 错位相减法 裂项相消法 教学难点教学难点 用配凑法来构造新数列 等差或等比数列 并由此求出通项 n a 学情分析学情分析 学生已经系统地进行了第一轮总复习 对数列问题有了一定的分析解决问题的能力 但是 本节课内容多 类型多样化 解决的方法较多 学生不容易把握 教学过程教学过程 一 问题引入一 问题引入 已知数列前项和为 求下列条件下数列的通项公式 n an n S n a 252 n n S2 1 a23 1 naa nn 1 1 a 2 1 1 na n n a nn 1 1 a23 1 nn aa 思考 1 以上四个小题分别用什么方法 2 我们是怎么知道要用这些方法的 能不能把它模型化 二 方法讲解二 方法讲解 求通项求通项 类型类型 1 已知求 用公式 n S n a 1 1 1 2 n nn S n a SSn 类型类型 2 形如 叠加法 1 nfaa nn 112211 nnnnn aaaaaaaa 1 1 2 1 f nf nfa 类型类型 3 形如 叠乘法 1 nf a a n n 1232 1 12321 nnn n nnn bbbbb bb bbbbb 1 1 2 3 2 1 f nf nf nffb 类型类型 4 形如 配凑构造新数列法 1nn apaq 待定系数法 令满足 即 k 1 nn akp ak 1 1 nn apap k 上式与递推式作比较 应有 解出的值即可 1nn apaq 1 p kq k 求前求前项和项和n n S 1 错位相减法 错位相减法 若数列为等差数列 为等比数列 公比为 则数列的前项和可通过 n a n bq nnb an n S 而求得 nn qSS 2 裂项相消法 裂项相消法 公式 11 1 1 dnnddnn 三 例题精析三 例题精析 例 1 已知数列前项和为 求下列条件下数列的通项公式 n an n S n a 252 n n S2 1 a23 1 naa nn 1 1 a 2 1 1 na n n a nn 1 1 a23 1 nn aa 解 观察此等式 属于已知求 用公式 注意分类讨论 解得 n S n a 2 1 1 1 nSS nS a nn n 1 58 n n a 属于 用累加法 解得 1 nn aaf n 22 3 2 n nan 属于 用累乘法 解得 1 nn aaf n n an 1 属于 配凑构造等比数列法 解得 1nn apaq 132 1 n n a 经验总结 观察递推公式 分清类型 注意细节 例 2 设 求数列前项和 2Nnna n n n an n S 设 求数列前项和 1 1 4 2 n bn Nn n bn n T 解 n n nS2232221 32 1432 22322212 n n nS 由 得 132 22222 nn n nS 1 2 21 21 2 n n n 22 1 1 n n nS Nn 2 11 2 2 4 nnnn bn 2 11 2 4 1 2 1 2 3 1 1 2 nn Tn 2 1 1 1 2 1 1 2 nn 2 1 32 2 3Nn nn n 经验总结 观察通项 分清类型 采用适当方法 注意易错点 四 强化训练四 强化训练 1 已知数列前项和为 求下列条件下数列的通项公式 n an n S n a 1 3 1 nn aS n nn aaa2 1 11 且 nn a n n aa 2 4 11 1 5a 1 34 nn aa 答案 n n a 2 1 12 n n annan22 2 32 n n a 2 答案 10 xNx xx x 则若 110 1 1 32 1 21 1 12 531 1 2 1 2 n n ayxxxyn轴交点的纵坐标为处的切线与在若曲线对正整数 答案 项和为的前则数列n n an 1 22 1 n 五 高考链接五 高考链接 1 2010 年新课标全国卷 17 设数列满足 n a 12 11 23 2 n nn aaa 求数列的通项公式 n a 令 求数列的前项和为 nn nab n bn n S 2 2010 年山东卷 18 已知等差数列满足 的前项和为 n a26 7 753 aaa n an n S I 求及 n a n S II 令 求数列的前项和 1 1 2 n n a b Nn n bn n T 六 达标检测六 达标检测 1 求下列条件下数列的通项公式 n a 12 3 11 nn aaa134 2 11 naaa nn 1 2 3 2 11 n n n a a aa23 1 11 nn SSS 2 23 4 2 1121 Nnnaaaaa nnn 1 6a 1 23n nn aa nN n nn Sa 2 8 3 23 1 11 nn SSS 2 2009 年全国 2 卷 理科 19 题 设数列的前项和为 已知 n an n S 1 1 a 1 42 nn Sa I 设 证明数列是等比数列 1 2 nnn baa n b II 求数列的通项公式 n a 七 课堂小结七 课堂小结 求通项求通项 类型类型 1 已知求 用公式 n S n a 2 1 1 1 n