2019_2020学年高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质练习新人教A版.docx

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【基础练习】1在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)f(2,1)f(1,2)f(0,3)()A45B60C120D210【答案】C2(2018年宁波模拟)若(1mx)6a0a1xa2x2a6x6，且a1a2a663，则实数m的值为()A1或3B3C1D1或3【答案】D3设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()A5B6C7D8【答案】B【解析】(xy)2m展开式中二项式系数的最大值为C，即aC.同理bC，13C7C，即，13，解得m6.4设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则a0a1a2a11等于()A2B1C1D2【答案】A【解析】令x1，得(1)212(1)19a0a1(21)a2(21)2a11(21)11，a0a1a2a112.故选A.5.(2019年六安期末)在(1+x)2+(1+x)3+(1+x)8的展开式中，含x2项的系数是_.(结果用数值表示)【答案】84【解析】展开式中，含x2项的系数是C22+C32+C42+C52+C62+C72+C82=C33+C32+C42+C52+C62+C72+C82=C93=84.6如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为_【答案】2n17(1x)5(32x)9a0(x1)14a1(x1)13a13(x1)a14，求：(1)a0a1a14的值；(2)a1a3a13的值【解析】(1)令x0，得a0a1a1439.(2)设Aa0a2a14，Ba1a3a13，则有AB39.令x2，有AB35，联立方程组，解得a1a3a13.8在(3x2y)20的展开式中，求：(1)二项式系数最大的项；(2)系数绝对值最大的项；(3)系数最大的项【解析】(1)二项式系数最大的项是第11项，T11C310(2)10x10y10C610x10y10.(2)设系数绝对值最大的项是第r1项，于是化简，得解得7r8.所以r8，即T9C31228x12y8是系数绝对值最大的项(3)由于第9项系数绝对值最大且为正，所以第9项系数最大T9C31228x12y8.【能力提升】9.(2019年广东深圳模拟)已知(1+)(2x-)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A.-80B.-40C.40D.80【答案】D【解析】令x=1，可得展开式中各项系数的和为(1+a)(2-1)5=2，解得a=1,则(1+)(2x-)5=(2x-)5+(2x-)5.其中，(2x-)5的展开式的通项为Tr+1=C5r(2x)5-r(-)r=(-1)r25-rC5rx5-2r，其中不含常数项，令r=2得T3=80x，所以该展开式中常数项为80.故选D.10若(x1)5a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，则(a5a3a1)2(a4a2a0)2的值等于()A0B32C32D1【答案】A【解析】令x1得到25a5a4a3a2a1a0，令x1得到0a5a4a3a2a1a0，所以(a5a3a1)2(a4a2a0)2(a5a4a3a2a1a0)(a5a4a3a2a1a0)0.11(2015年上海)在10的展开式中，x2项的系数为_(结果用数值表示)【答案】45【解析】1010，其二项展开式的通项公式为Tr1C(1x)10rx2 015r.当r0时不合题意，故r0，问题转化为求(1x)10的展开式中x2的系数，其二项展开式的通项公式为Tk1Cxk，令k2，则x2项的系数为C45.12.(2019年江苏)设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn，n4，nN*.已知a32=2a2a4(1)求n的值；(2)设(1+)n=a+b，其中a,bN*，求a2-3b2的值【解析】(1)由(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn,n4，可得a2=Cn2=n(n-1),a3=Cn3=n(n-1)(n-2),a4=Cn4=n(n-1)(n-2)(n-3).由a32=2a2a4，可得n(n-1)(n-2)2=n(n-1)n(n-1)(n-2)(n-3)，化简得2(n-2)=3(n-3)，解得n=5.(2)方法一:(1+)5=C50+C51+C52()2+C53()3+C54()4+C55()5=1+5+30+30+45+9=76+44,又(1+)n=a+b，其中a,bN*，所以a=76,b=44.所以a2-3b2=762-3442=-32.方法二:(1+)5=a0+a1+a2()2+a3()3+a4()