高三数学一轮复习必备精品37：空间夹角和距离--备注：【高三数学一轮复习必备精品共42讲-全部免费-欢迎下载

1 D B AC 第第 37 讲讲 空间夹角和距离空间夹角和距离 备注 备注 高三数学一高三数学一轮轮复复习习必必备备精品精品共共 42 讲讲 全部免全部免费费 欢欢迎下迎下 载载 一 一 课标要求课标要求 1 能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离 2 能用向量方法解决线线 线面 面面的夹角的计算问题 体会向量方法在研究几何 问题中的作用 二 二 命题走向命题走向 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容 高考对本讲的考察主要有以下情况 1 空间的夹角 2 空间的距离 3 空间向量在求夹角和距离中的应用 预测 2010 年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角 求距离 课本淡化 了利用空间关系找角 求距离这方面内容的讲解 而是加大了向量在这方面内容应用的讲解 因此作为立体几何的解答题 用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法 在复习时应加 大这方面的训练力度 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察 三 三 要点精讲要点精讲 1 空间中各种角包括 异面直线所成的角 直线与平面所成的角以及二面角 1 异面直线所成的角的范围是 求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通 2 0 过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶 点选择在特殊的位置上 证明作出的角即为所求的角 利用三角形来求角 2 直线与平面所成的角的范围是 求直线和平面所成的角用的是射影转化法 2 0 具体步骤如下 找过斜线上一点与平面垂直的直线 连结垂足和斜足 得出斜线在平面的射影 确定出 所求的角 把该角置于三角形中计算 注 斜线和平面所成的角 是它和平面内任何一条直 线所成的一切角中的最小角 即若 为线面角 为斜线 与平面内任何一条直线所成的角 则有 3 确定点的射影位置有以下几种方法 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射影在 这个角的平分线上 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等 那么这一条直线在平面上 的射影在这个角的平分线上 两个平面相互垂直 一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的 交线上 利用某些特殊三棱锥的有关性质 确定顶点在底面上的射影的位置 2 a 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等 那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的外心 b 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等 那么顶点落在底面上的射 影是底面三角形的内心 或旁心 c 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直 那么顶点落在底面 上的射影是底面三角形的垂心 4 二面角的范围在课本中没有给出 一般是指 解题时要注意图形的位置和题 0 目的要求 作二面角的平面角常有三种方法 棱上一点双垂线法 在棱上任取一点 过这点在两个平面内分别引棱的垂线 这两条 射线所成的角 就是二面角的平面角 面上一点三垂线法 自二面角的一个面上一点向另一面引垂线 再由垂足向棱作垂线 得到棱上的点 即垂足 斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角 即为二面角的 平面角 空间一点垂面法 自空间一点作与棱垂直的平面 截二面角得两条射线 这两条射线 所成的角就是二面角的平面角 斜面面积和射影面积的关系公式 为原斜面面积 为射影面积 为斜 cos SSS S 面与射影所成二面角的平面角 这个公式对于斜面为三角形 任意多边形都成立 是求二面角的 好方法 当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 可直接应用公式 求出 二面角的大小 2 空间的距离 1 点到直线的距离 点 到直线的距离为点 到直线的垂线段的长 常先找或作aa 直线所在平面的垂线 得垂足为 过 作的垂线 垂足为 连 则由三垂线定理aa 可得线段 即为点 到直线的距离 在直角三角形 中求出 的长即可 a 点到平面的距离 点 到平面的距离为点 到平面的垂线段的长 常用求法 作出 点 到平面的垂线后求出垂线段的长 转移法 如果平面的斜线上两点 到斜足 的距离 的比为 则点 到平面的距离之比也为 特别地 nm nm 时 点 到平面的距离相等 体积法 2 异面直线间的距离 异面直线间的距离为间的公垂线ba ba 段的长 常有求法 先证线段 为异面直线的公垂线段 然后ba 求出 的长即可 找或作出过 且与 平行的平面 则直线 到平baa 面的距离就是异面直线间的距离 找或作出分别过且与 ba ba b 分别平行的平面 则这两平面间的距离就是异面直线间的距aba 离 根据异面直线间的距离公式求距离 3 直线到平面的距离 只存在于直线和平面平行之间 为直线上任意一点到平面间 的距离 3 4 平面与平面间的距离 只存在于两个平行平面之间 为一个平面上任意一点到另 一个平面的距离 以上所说的所有距离 点线距 点面距 线线距 线面距 面面距都是对应图形上两点 间的最短距离 所以均可以用求函数的最小值法求各距离 3 空间向量的应用 1 用法向量求异面直线间的距离 如右图所示 a b 是两异面直线 是 a 和 b 的法n 向量 点 E a F b 则异面直线 a 与 b 之间的距离是 n nEF d 2 用法向量求点到平面的距离 如右图所示 已知 AB 是平面 的 一条斜线 为n 平面 的法向量 则 A 到平面 的距离为 n nAB d 3 用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行 然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面 的距离问题 4 用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行 这时可以在一个平面上任取一点 将两平面间的距离 问题转化成点到平面的距离问题 5 用法向量求二面角 如图 有两个平面 与 分别作这两个平面的法向量 与 则平面 与 所成的角跟法向量与所成的 1 n 2 n 1 n 2 n 角相等或互补 所以首先必须判断二面角是锐角还是钝 2 n 角 6 法向量求直线与平面所成的角 要求直线 a 与平面 所成的角 先求这个平面 的法向量与直线 a 的夹角的余弦n a b E F A BC n 1 n 4 易知 或者 an cosan an 2 四 四 典例解析典例解析 题型 1 异面直线所成的角 例 1 1 直三棱住 A1B1C1 ABC BCA 点 D1 F1 分别是 A1B1 A1C1的中 0 90 点 BC CA CC1 则 BD1与 AF1所成角的余弦值是 A B C D 10 30 2 1 15 30 10 15 解析 1 连结 D1F1 则 D1F1 11 2 1 CB BC D1F1 11C B BC 2 1 设点 E 为 BC 中点 D1F1BE BD1 EF1 EF1A 或其补角即为 BD1与 AF1所 成的角 由余弦定理可求得 故选 A 10 30 cos 1 AEF 2 2009 广东卷 理 本小题满分 14 分 如图 6 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 2 点E是 正方形 11 BCC B的中心 点F G分别是棱 111 C D AA的中 点 设点 11 E G分别是点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面 11 DCC D内的 正投影为底面边界的棱锥的体积 2 证明 直线 1 FG平面 1 FEE 3 求异面直线 11 E GEA与所成角的正弦值 解 1 依题作点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 E 1 G 则 1 E 1 G分别为 1 CC 1 DD的中点 连结 1 EE 1 EG ED 1 DE 则所求为四棱锥 11FG DEE 的体积 其底 面 11FG DE面积为 111111 EDGRtFGERtFGDE SSS 221 2 1 22 2 1 又 1 EE面 11FG DE 1 1 EE 3 2 3 1 1 1111 EESV FGDEFGDEE z y x E1G1 5 2 以D为坐标原点 DA DC 1 DD所在直线分别作x轴 y轴 z轴 得 1 2 0 1 E 1 0 0 1 G 又 1 0 2 G 2 1 0 F 1 2 1 E 则 1 1 0 1 FG 1 1 1 FE 1 1 0 1 FE 01 1 0 1 FEFG 01 1 0 11 FEFG 即FEFG 1 11 FEFG 又FFEFE 1 1 FG平面 1 FEE 3 0 2 0 11 GE 1 2 1 EA 则 6 2 cos 11 11 11 EAGE EAGE EAGE 设异面 直线 11 E GEA与所成角为 则 3 3 3 2 1sin 例 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点 E 为棱 AB 的中点 求 D1E 与平面 BC1D 所成角的大小 用余弦 值表示 解析 建立坐标系如图 则 2 0 0A 2 2 0B 0 2 0C 1 2 0 2A 1 2 2 2B 1 0 0 2D 2 1 0E 1 2 2 2AC 1 2 1 2D E 0 2 0AB 1 0 0 2BB 不难证明为平面 BC1D 的法向量 1 AC 11 11 11 3 cos 9 AC D E AC D E AC D E A D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为 9 3 点评 将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角 题型 2 直线与平面所成的角 例 3 PA PB PC 是从 P 点出发的三条射线 每两条射线的夹角均为 那么直线 0 60 A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 6 D PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 A B C D 2 1 2 2 3 3 3 6 解 构造正方体如图所示 过点 C 作 CO 平面 PAB 垂足为 O 则 O 为正 ABP 的中心 于是 CPO 为 PC 与平 面 PAB 所成的角 设 PC a 则 PO 故aPD 3 3 3 2 即选 C 3 3 cos PC PO CPO 思维点拨 第 2 题也可利用公式直接求得 coscoscos 例 4 2009 北京卷文 本小题共 14 分 如图 四棱锥PABCD 的底面是正方形 PDABCD 底面 点 E 在棱 PB 上 求证 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与 平面 PDB 所成的角的大小 解法解法 1 1 本题主要考查直线和平面垂直 平面与平面垂直 直线与平面所成的角等基础知 识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PDABCD 底面 PD AC AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 7 O E 分别为 DB PB 的中点 OE PD 1 2 OEPD 又 PDABCD 底面 OE 底面 ABCD OE AO 在 Rt AOE 中 12 22 OEPDABAO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 解法解法 2 2 如图 以 D 为原点建立空间直角坐标系Dxyz 设 ABa PDh 则 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A aB a aCaDPh 0 0 0 0ACa aDPhDBa a 0 0AC DPAC DB AC DP AC DB AC 平面 PDB 平面AECPDB 平面 当2PDAB 且 E 为 PB 的中点时 112 0 0 2 222 PaEaaa 设 AC BD O 连接 OE 由 知 AC 平面 PDB 于 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角 1122 0 0 2222 EAaaaEOa 2 cos 2 EA EO AEO EAEO 45AOE 即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为45 点评 先处理平面的法向量 再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线面角 题型 3 二面角 例 5 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 为正方形 PA 平面 ABCD PA AB a E 为 BC 中点 1 求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小 用正切值表示 8 2 求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小 解析 1 延长 AB DE 交于点 F 则 PF 为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱 PA 平面 ABCD AD PA AB PA AB A DA 平面 BPA 于 A 过 A 作 AO PF 于 O 连结 OD 则 AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平 面角 易得 故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为 2 5 tan AOD 2 5 2 解法 1 面积法 如图 AD PA AB PA AB A DA 平面 BPA 于 A 同时 BC 平面 BPA 于 B PBA 是 PCD 在平面 PBA 上的射影 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 cos S PAB S PCD 2 450 即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45 解法 2 补形化为定义法 如图 将四棱锥 P ABCD 补形得正方体 ABCD PQMN 则 PQ PA PD 于是 APD 是两面所成二面角的平面角 在 Rt PAD 中 PA AD 则 APD 45 即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45 例 6 1 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F 分别是棱 AD AA1 AB 的中点 1 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 求二面角 B FC1 C 的余弦值 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中点 F1 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E1分别是棱 AD AA1的中点 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因为 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直线 EE1 平面 FCC1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 9 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的中点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 CC1 平面 ABCD 所以 CC1 BO 所 以 OB 平面 CC1F 过 O 在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC1 C 的一个平面角 在 BCF 为正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP 在 Rt OPF 中 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所以二 面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因为 ABCD 为 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC 设平面 CC1F 的法向量为 nx y z 则 1 0 0 n CF n CC 所以 30 0 xy z 取 1 3 0 n 则 1 31 131 00 22 n EE 所以 1 nEE 所以直 线 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB 设平面 BFC1的法向量为 1111 nx y z 则 1 11 0 0 n FB n FC 所以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n 则 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 10 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 由图可知二面角 B FC1 C 为锐角 所以二面角 B FC 1 C 的余弦值为 7 7 命题立意 本题主要考查直棱柱的概念 线面位置关系的判定和二面角的计算 考查空间 想象能力和推理运算能力 以及应用向量知识解答问题的能力 2 2009 安徽卷理 本小题满分 本小题满分 13 分 分 如图 四棱锥 F ABCD 的底面 ABCD 是菱形 其对角线 AC 2 BD 2 AE CF 都与平 面 ABCD 垂直 AE 1 CF 2 I 求二面角 B AF D 的大小 II 求四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 公共部分的体积 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 相交平面所成二面角以 及空间几何体的体积计算等知识 考查空间想象能力和推理论证能力 利用综合法或向量法 解决立体几何问题的能力 本小题满分 13 分 解 I 综合法 连接 AC BD 交于菱形的中心 O 过 O 作 OG AF G 为垂足 连接 BG DG 由 BD AC BD CF 得 BD 平面 ACF 故 BD AF 于是 AF 平面 BGD 所以 BG AF DG AF BGD 为二面角 B AF D 的平面角 由FCAC 2FCAC 得 4 FAC 2 2 OG 由 2 2 OBOG OBOD 得2 2 BGDBGO 11 向量法 以 A 为坐标原点 BD AC AE 方向分别为 x 轴 y 轴 z 轴的正方向建立空 间直角坐标系 如图 设平面 ABF 的法向量 1 nx y z 则由 1 1 0 0 nAB nAF 得 2 0 2 220 xy yz 令1z 得 2 1 x y 1 2 1 1 n 同理 可求得平面 ADF 的法向量 2 2 1 1 n 由 12 0n n 知 平面 ABF 与平面 ADF 垂直 二面角 B AF D 的大小等于 2 II 连 EB EC ED 设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H 则四棱锥 E ABCD 与四棱锥 F ABCD 的公共部分为四棱锥 H ABCD 过 H 作 HP 平面 ABCD P 为垂足 因为 EA 平面 ABCD FC 平面 ABCD 所以平面 ACFE 平面 ABCD 从而 PAC HPAC 由1 HPHPAPPC CFAEACAC 得 2 3 HP 又因为 1 2 2 ABCD SAC BD 菱形 故四棱锥 H ABCD 的体积 12 2 39 ABCD VSHP 菱形 评析 1 用法向量的方法处理二面角的 问题时 将传统求二面角问题时的三步曲 找 证 求 直接简化成了一步曲 计算 这表面似乎谈化了 学生的空间想象能力 但实质不然 向量法对学生的空间想象能力要 求更高 也更加注重对学生创新能力的培养 体现了教育改革的精神 2 此法在处理二面角问题时 可能会遇到二面角的具体大小 12 问题 如本题中若取时 会算得 从 2 3 1 2 3 2 n 2 1 cos 21 nBB 而所求二面角为 但依题意只为 因为二面角的大小有时为锐 120 60 角 直角 有时也为钝角 所以在计算之前不妨先依题意判断一下所 求二面角的大小 然后根据计算取 相等角 或取 补角 2 解析 球的半径是 R 三点都在球面上 两点和两点的球O1 A B C A B A C 面距离都是 则 AOB AOC 都等于 AB AC 两点的球面距离是 4 4 B C 3 BOC BC 1 过 B 做 BD AO 垂足为 D 连接 CD 则 CD AD 则 BDC 是二面 3 角的平面角 BD CD BDC 二面角的大小是 BOAC 2 2 2 BOAC 2 选 C 题型 4 异面直线间的距离 例 7 如图 已知正方体 棱长为 1 A 1 B 1 C 1 Da 求异面直线 与 的距离 1 B 1B 解法一 连结 交 的中点 取的中点 连结 1 CC 交于 连 则 过 作 交CB1 1 AC 1 ACOM 于 则 1 ACEF 又斜线的射影为 1 AC BDFEACBD 1 同理 为 与的公垂线 由于 为的中点 CBEFCBAC 111 EF CB1 1 CC MEC 1 BEB 2 1 1 BE ME BB MC 故 2 5 BMaMBBE 3 5 3 2 3 2 BM BE BO BF 3 2 BFa 3 2 aBFBEEF 3 3 22 解法二 转化为线面距 1 A 1 C 1 D 13 A B C DO S x y z 图 2 因为 平面 平面 故 与的距离就是 到平面CDB 11 CB1CDB 11 CB1 的距离CDB 11 由 即 得 BCBDCDBB VV 1111 aaha 2 2 2 1 3 1 2 4 3 3 1 ah 3 3 解法三 转化为面面距 易证平面 平面 用等体积法易得 到平面CDB 11 BDA1 的距离为 BDA1a 3 3 同理可知 到平面的距离为 而 1 CCDB 11 a 3 3 aCA3 1 故两平面间距离为 a 3 3 解法四 垂面法 如图 平面 CDB 111111111 OODBCADB 平面 平面平面 故 O 到平面 11D BCCOO 11 CCOO 11 CDB 11 CO1 111 DBO 的距离为斜边上的高 CDB 11 OCORt 1 a a aa CO OOOC h 3 3 2 3 2 2 1 1 解法五 函数最小值法 如图 在上取一点 M 作 MEBC 于 E 过 E 作 ENBD 交 BD 于 N 易知 MN 为 BD 与的公垂线时 MN 最小 CB1 设 BE CE ME EN xxa x 2 2 MN 22 2 1 xax 22 2 2 3 aaxx 32 3 2 3 2 2 a ax 当时 时 ax 3 2 aMN 3 3 min 例 8 如图 2 正四棱锥的高SABCD 底边长 求异面直线和2SO 2AB BD 之间的距离 SC 分析 建立如图所示的直角坐标系 则 22 0 22 A 22 0 22 B 1 A 1 B 1 C 1 D O 1 O 14 22 0 22 C 22 0 22 D 0 0 2 S 2 2 0 DB 22 2 22 CS 令向量 且 1 nx y nDB nCS 则 0 0 n DB n CS 1 2 2 0 0 22 1 2 0 22 x y x y 0 2 20 xy xy 2 2 x y 2 2 1 n 异面直线和之间的距离为 BDSC OC n d n 22 0 2 2 1 22 2 2 1 222 1 10 2 5 5 2 2 1 题型 5 点面距离 例 9 2009 江西卷文 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以BD的中点O为球心 BD为直径的球面交PD于 点M 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线PC与平面ABM所成的角 3 求点O到平面ABM的距离 解 方法 一 1 证 依题设 在以 为直径的球面上 则 因为 平面 则 又 所以 平面 则 因此有 平面 所以平面 平面 设平面 与 交于点 因为 所以 平面 则 由 1 知 平面 则 MN 是 PN 在平面 ABM 上的 射影 所以 PNM 就是PC与平面ABM所成的角 O A P B C M D O N A P B C M D z x y 15 且PNMPCD tantan2 2 PD PNMPCD DC 所求角为arctan2 2 3 因为 O 是 BD 的中点 则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半 由 1 知 平面 于 M 则 DM 就是 D 点到平面 ABM 距离 因为在 Rt PAD 中 4PAAD PDAM 所以M为PD中点 2 2DM 则 O 点到平面 ABM 的距离等于2 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 设平面ABM的一个法向量 nx y z 由 nAB nAM 可得 20 220 x yz 令 1z 则1y 即 0 1 1 n 设所求角为 则 2 2 sin 3 PC n PC n 所求角的大小为 2 2 arcsin 3 3 设所求距离为h 由 1 2 0 1 2 0 OAO 得 2 AO n h n 15 2009 江西卷理 本小题满分 12 分 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD是矩形 PA 平面ABCD 4PAAD 2AB 以AC的中点O为球心 AC为直径的球面交PD于 点M 交PC于点N 1 求证 平面ABM 平面PCD 2 求直线CD与平面ACM所成的角的大小 3 求点N到平面ACM的距离 解 方法一 1 依题设知 AC 是所作球面的直径 则 AM MC 又因为 P A 平面 ABCD 则 PA CD 又 CD AD 所以 CD 平面 则 CD AM 所以 A M 平面 PCD N O D M C B P A 16 所以平面 ABM 平面 PCD 2 由 1 知 AMPD 又PAAD 则M是PD的中点可得 2 2AM 22 2 3MCMDCD 则 1 2 6 2 ACM SAM MC 设 D 到平面 ACM 的距离为h 由 D ACMMACD VV 即2 68h 可求得 2 6 3 h 设所求角为 则 6 sin 3 h CD 6 arcsin 3 1 可求得 PC 6 因为 AN NC 由 PNPA PAPC 得 PN 8 3 所以 5 9NC PC 故 N 点到平面 ACM 的距离等于 P 点到平面 ACM 距离的 5 9 又因为 M 是 PD 的中点 则 P D 到平面 ACM 的距离相等 由 2 可知所求距离为 510 6 927 h 方法二 1 同方法一 2 如图所示 建立空间直角坐标系 则 0 0 0 A 0 0 4 P 2 0 0 B 2 4 0 C 0 4 0 D 0 2 2 M 设平面ACM的一 个法向量 nx y z 由 nAC nAM 可得 240 220 xy yz 令 1z 则 2 1 1 n 设所求角为 则 6 sin 3 CD n CD n 所以所求角的大小为 6 arcsin 3 3 由条件可得 ANNC 在Rt PAC 中 2 PAPN PC 所以 8 3 PN 则 10 3 NCPCPN 5 9 NC PC 所以所求距离等于点P到平面CA M距离的 5 9 设点 P到平面CA M距离为h则 2 6 3 AP n h n 所以所求距离为 510 6 h 927 思维点拔 注意点距 线面距 面面距的转化 利用平面互相垂直作 y x z D M C B P A A N A O 17 距离也是一种常用的方法 例 10 1 2009 湖北卷理 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥 S ABCD 的底面是正方形 SD 平面 ABCD SD 2a 2ADa 点 E 是 SD 上的点 且 02 DEa 求证 对任意的 0 2 都有ACBE 设二面角 C AE D 的大小为 直线 BE 与平面 ABCD 所成的角为 若 tantan1 g 求 的值 18 证法 1 如图 1 连接 BE BD 由地面 ABCD 是正方形可得 AC BD SD 平面 ABCD BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影 AC BE 解法 1 如图 1 由 SD 平面 ABCD 知 DBE SD 平面 ABCD CD 平面 ABCD SD CD 又底面 ABCD 是正方形 CD AD 而 SD AD D CD 平面 SAD 连接 AE CE 过点 D 在平面 SAD 内作 DE AE 于 F 连接 CF 则 CF AE 故 CDF 是二面角 C AE D 的平面角 即 CDF 在 Rt BDE 中 BD 2a DE a tan 2 DE BD 在 Rt ADE 中 2 2 2ADa DEaAEa 从而 2 2 2 AD DEa DF AE 在Rt CDF 中 2 2 tan CD DF 由tantan1 得 2 22 2 1222 2 18 由 0 2 解得2 即为所求 I 证法 2 以 D 为原点 DA DC DS 的方向分别作为 x y z 轴的正方向建立如 图 2 所示的空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 2 0 0 B 2a 2a 0 C 0 2a 0 E 0 0 a 2 2 0 2 2 ACaaBEaaa 22 2200AC BEaaa 即ACBE II 解法 2 由 I 得 2 0 0 2 2 2 EAaa ECaa BEaaa 设平面 ACE 的法向量为 n x y z 则由nEAEC n得 0 2xz0 z2n 2 0 2yz0 n EA n EC 即取 得 易知平面 ABCD 与平面 ADE 的一个法向量分别为 0 0 2 DCaDSa 与 0 2 0 22 sin cos 422 DC n DS BE DSBEDCn 0 0 2 2 22 tantansincos2 2 422 由于 0 2 解得2 即为所求 例 11 已知正三棱柱的底面边长为 111 CBAABC 8 对角线 D 是 AC 的中点 1 求点10 1 CB 到直线 AC 的距离 2 求直线到平面 1 B 1 AB 的距离 BDC1 解析 1 连结 BD 由三垂线定理可得 DB1 B A C D 1 A 1 B 1 C 19 A C B P E F 图 7 所以就是点到直线 AC 的距离 ACDB 1 DB1 1 B 在中 BDBRt 1 6810 2222 11 BCCBBB34 BD 212 2 1 2 1 BBBDDB 2 因为 AC 与平面 BD交于 的中点 设 则 DE 所以 1 CEBCCB 111 AB 平面 所以到平面 BD的距离等于 点到平面 BD的距离 等于 点 1 ABBDC1 1 AB 1 C 1 C 到平面 BD的距离 也就等于三棱锥的高 1 C 1 BDCC 所以 直线到 BDCCBDCC VV 11 1 3 1 3 1 1 CCShS BDCBDC 13 1312 h